1、第一章第一章 统计案例统计案例 4.5.1函数的零点与方程的解高一数学必修第一册 第四章 指数函数和对数函数理解函数的零点、方程的根与图象交点 三者之间的关系;2.会借助函数的零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间;能借助函数的单调性及图象判断零点的个数.4.核心素养:直观想象、逻辑推理、数学抽象.学习目标 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年100年编成的九章算术,就给出了求一次方程、二次方程和三次方
2、程根的具体方法 方 程 解 法 史 话我的解是3和-1我的根有点难度,等你们学完这节你们就会了!一、探究新知1.求下列方程的解(1)21 0 x 2(2)23 0 xx(3)ln26 0 xx 12我的解是方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-11 2Oxy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点(-1,0),(3,0)一个交点(1,0)没有交点 结论:1.方程根的个数就是函数图
3、象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.2探究问题1):填表,观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系.方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-11 2Oxy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点(-1,0),(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点判别式 0=00)的根的根两个不相等的两个不
4、相等的实数根实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根x1x2x1(x1,0),(x2,0)(x1,0)结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.3.探究问题2):若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系,上述 结论是否仍然成立?结论:和上面一样,但要注意,方程的实数根就 是函数图象与x轴交点的横坐标,而不是点;因此我们可以借助求出函数与x轴的交点坐标来求一些疑难方程的根.4探究问题3):一
5、般函数的图象与方程根的关系会是怎样呢?画出下列函数的图象:.y3x+2,.y2x-8,.y=lnx+2x-6.2).区别:1).联系:数值上相等:求函数零点就是求方程的根.存在性相同:函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点零点对于函数而言,根对于方程而言 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x 叫 做函数y=f(x)的零点5.函数零点的定义注意:函数的零点与方程的根有什么联系和区别?注:零点是自变量的值,而不是一个点-1,41,-5 1).函数f(x)=x(x2-16)的零点为()A.(0,0),(4,0)B.0,4 C.(4,0),
6、(0,0),(4,0)D.4,0,4 2).求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)D6.巩固概念(代数法)求函数零点的步骤:(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0;(3)写出零点.1).求方程根的方法公式法求函数的零点法 2).求函数零点的方法代数法:求相应方程的根,得零点几何法:画函数图象得零点 7.研究函数的零点的作用观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:在区间-2,1上有零点_;f(-2)=_,f(1)=_,f(-2)f(1)_0(“”)在区间(2,4)上有零点_;f(2)=_,f(4)=_,f(2)f(4)_0(“”)观
7、察函数图象并填空:2-2-41O1-223 4-3-1-1yx1453-378.在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间a,b上存在零点?观察函数的图象并填空:在区间(a,b)上f(a)f(b)_0(“”).在区间(a,b)上_(有/无)零点;在区间(b,c)上f(b)f(c)_ 0(“”).在区间(b,c)上_(有/无)零点;在区间(c,d)上f(c)f(d)_ 0(“”).在区间(c,d)上_(有/无)零点;有有有xyOabcd8.在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间a,b上存在零点?xyOxyObaabcc 如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f
8、(b)0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点 即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根 巩固定理:下列函数在相应区间内是否存在零点?(1)f(x)=log2x,x0.5,2;(2)f(x)=2xln(x-2)-3,x3,5 9.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根xyObacxyOabcxyObacxyOabc例1 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例(1)已
9、知函数y=f(x)在区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(2)已知函数y=f(x)在区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()(3)已知函数y=f(x)在区间a,b 满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.()9.函数零点存在定理例1 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例(1)已知函数y=f(x)在区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(2)已知函数y=f(x)在区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a
10、,b)内没有零点.()(3)已知函数y=f(x)在区间a,b 满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.()abOxyabOxyabOxy画图象举反例说明:图1图2图3x 1 2 3 4 5 6 7f(x)23 9 7 11 51226 那么函数在区间1,6上的零点至少有()个 A.5个B.4个 C.3个D.2个CB1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:二、巩固新知2.函数f(x)=-x 3-3x+5的零点所在的大致区间为()A.(2,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(0,0.5)3.例2:求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.解:设函数f(x)=
11、lnx+2x-6.利用计算工具列出y=f(x)的 对应值如下表,xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972108642-2-451 2346xyOf(x)=lnx+2x-6其图象如图 由表格和图象可知,f(2)0,则f(2)f(3)0,由函数零点存在定理 函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点容易证明函数f(x)=lnx+2x-6在x (0,+)是增函数,所以它只有一个零点即相应的方程lnx+2x-6=0 只有一个实数解解法2:估算f(x)在各整数处的取值的正负:解法3:方程lnx+2x-6=0的实数解的个数转化为将函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数,再转化为函数 y=lnx与y=-2x+6的图象交点的个数y=2x+6y=lnxx1234f(x)-+6Ox1 2 3 4y+-3.例2:求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.1.函数零点与方程根的关系:2.用函数方程思想,数形结合思想,求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间 作业:课本P155 习题4.5 2、3题 三、课堂小结函数方程零点根数 值存在性个 数