1、5.5.2 简单的三角恒等变换（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 函数f(x)=sinx-cos(x+6)的值域为 ()A. -2,2B. -3,3C. -1,1D. -32,322. 函数y=2cos2x-4-1是 ( )A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为2的奇函数D. 最小正周期为2的偶函数3. 已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x，xR，则f(x)是 ( )A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为2的奇函数D. 最小正周期为2的偶函数4. 函数f(x)=cos
2、2x+2sinx的最小值和最大值分别为()A. -3，1B. -2，2C. -3，32D. -2，325. 关于函数f(x)=sin(x+4)+sin(4-x)，下列说法正确的是( )A. 是奇函数，最大值为2B. 是奇函数，最大值为2C. 是偶函数，最大值为2D. 是偶函数，最大值为26. 下列各点中，不是函数y=sinxcosx+3cos2x-32的图象的对称中心的是( )A. (3,0)B. (56,0)C. (-23,0)D. (-3,0)7. 已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-22(0)，若函数f(x)在(2,)上单调递减，则实数的取值范围是()A. 14,58B.
3、 12,54C. (0,12D. (0,148. 已知函数fx=cos4x-sin4x+3sin2x，将函数fx的图象向右平移6个单位长度，得到函数gx的图象，则下列说法正确的是( )A. gx是奇函数B. gx的最小正周期是2C. gx的图象关于直线x=4对称D. gx在52,83上单调递减9. 已知sin(-3)+3cos=13，则sin(2+6)的值为( )A. 13B. -13C. 79D. -79二、多选题10. 【多选题】对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是()A. f(x)在4,2上是递增的B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为D. f(
4、x)的最大值为211. 关于函数fx=4cos2x+4sinxcosx+6，下列说法正确的是( )A. 若x1,x2是函数fx的零点，则x1-x2是2的整数倍B. 函数fx的图象关于点-6,1对称C. 函数fx的图象与函数y=23cos2x-6+1的图象相同D. 函数fx的图象可由y=23sin2x的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到三、填空题12. 函数y=sinx+3sinx+2的最小正周期T=_13. 如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=_来截14. 已知2
5、+=，则函数y=cos-6sin的最大值是_15. 函数f(x)=cos4+xcos4-x的单调递减区间是_16. 若函数f(x)=asinx-bcosx在x=3时取到最小值-2，则常数a，b的值分别为_四、解答题17. 已知函数f(x)=4cosxsinx+6-1(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-6,4上的最大值和最小值18. 已知函数f(x)=sin2x+cos2x+12cosx(1)求f(x)的定义域和值域；(2)若-4,4，且f()=325，求cos2的值19. 已知函数f(x)=12cos2x+sinx(1-2sin2x2)，其中xR.(1)求使得f(x)12的x
6、的取值范围;(2)若函数g(x)=22sin(2x+34)，且对任意的x1，x20,t，当x1x2时，均有f(x1)-f(x2)0)=22sin2x+22(1+cos2x)-22=22sin2x+22cos2x=sin(2x+4)，由函数f(x)在(2,)上单调递减，且2x+4(+4,2+4)，得解得14+2k58+k,kZ，又0，k=0，实数的取值范围是14,58故选A8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查了运算能力和转换能力，属于中档题利用三角恒等变换得f(x)=2sin(2x+6)，从而可得g(x)=2s
7、in(2x-6)，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：由题意可得f(x)=cos2x-sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6)，则g(x)=2sin(2x-6)，从而g(x)的最小正周期T=22=，故A、B错误；令2x-6=k+2(kZ)，解得x=k2+3(kZ)，当x=4时，k=-16Z，故C错误；令2k+22x-62k+32(kZ)，解得k+3xk+56(kZ)，当k=2时，73x176，因为52,8373,176，所以D正确故选D9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查辅助角公式和二倍角公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题先把sin
8、(-3)+3cos=13化简，然后利用二倍角公式以及辅助角公式计算可得答案【解答】解：因为sin(-3)+3cos=13，所以，所以12sin+32cos=13，两边平方得，14sin2+34cos2+32sincos=19化简得14cos2+34sin2=-718，所以sin(2+6)=-79故选D10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象和性质以及二倍角公式，属于基础题利用二倍角公式求得f(x)=sin2x，然后利用三角函数的图象和性质逐个判断即可【解答】解：因为f(x)=2sinxcosx=sin2x，故f(x)在4,2上是单调递减的，A错误；对称中心为k2,0，kZ，B
9、正确；f(x)的最小正周期为，最大值为1，C正确，D错误故选BC11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了正弦、余弦函数的图象与性质，三角函数图象变换规则，属于中档题首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A错误；由三角函数的对称性可判断函数f(x)的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C选项；根据三角函数图象变换规则可判断D选项【解答】解：f(x)=4cos2x+4sinxcos(x+6)=2+2cos2x+23sinxcosx-2sin2x=1+3cos2x+3sin2x=23sin2x+3+1，画出函数图象，如图所示：f(x)的图象与x轴相邻的两个交点的距离不相等，且
10、不为2，故A错误，因为sin2-6+3=0，所以函数y=23cos(2x+3)的图象关于-6,0对称，则函数f(x)的图象关于点-6,1，故B正确，函数y=23sin(2x+3)+1=23cos(2x-6)+1，故C正确，函数f(x)的图象可由y=23sin2x先向上平移1个单位长度，再向左平移6个单位长度得到，故D错误故选：BC12.【答案】【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(x+)的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用，属于基础题利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式化简函数为，根据周期公式，即可求出结果【解答】解：因为=12sinxcosx+32cos2x=1
11、4sin2x+341+cos2x=14sin2x+34cos2x+34，所以函数的最小正周期故答案为13.【答案】12或512【解析】【分析】本题考查三角函数的应用，辅助角公式，以及三角形全等的有关知识，属于一般题目，设BC=b，GF=a，找出a，b关系，利用三角形全等，求得sin(x+4)=32，从而求出x的值【解答】解：设BC=b，GF=a，则a2=23b2，在GFC中，FC=acosx，GC=asinx容易得GFCFEB所以BC=BF+FC=GC+FC得b=asinx+acosx=2sin(x+4)=62a.因此sin(x+4)=32得x+4=3+2k或x+4=23+2k(kz)x(0,
12、2).从而x=12或512故答案为12或51214.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式在三角函数化简中的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题时要注意不要漏掉-1sinx1的条件由2+=，及诱导公式可得y=cos-6sin=-cos2-6sin=2sin2-6sin-1，由二次函数的性质，结合-1sin1可求函数的最值【解答】解：由2+=，可得=-2则y=cos-6sin=cos(-2)-6sin=-cos2-6sin=2sin2-6sin-1=2(sin-32)2-112-1sin1当sin=1，时，ymin=-5当sin=-1时，ymax=7故答案为
13、715.【答案】k,k+2，kZ【解析】【分析】本题主要考查余弦函数的图象与性质、二倍角公式及其应用比较基础利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：f(x)=cos(4+x)cos(4-x)=cos(x+4)sin(x+4)故可得，解得，故可得函数f(x)=cos4+xcos4-x的单调递减区间是k,k+2，kZ故答案为k,k+2，kZ16.【答案】a=-3，b=1【解析】【分析】利用辅助角公式可将f(x)=asinx-bcosx转化为f(x)=，a2+b2(sinx-)，依题意可知，a2+b2=2，=56+2k，kZ，从而可求得a，b的值本题考查两角和与差
14、的正弦函数，着重考查辅助角公式，求得，a2+b2=2，=56+2k，kZ，是关键，也是难点，属于中档题.【解答】解：f(x)=asinx-bcosx转化为f(x)=a2+b2sin(x-)，(其中tan=ba)，由题意知，a2+b2=2，3-=2m-2，=56+2k，kZ，f(x)=2sin(x-56)=2sinxcos(-56)+2cosxsin(56)=-3sinx-cosx，a=-3，b=117.【答案】解：(1)因为f(x)=4cosxsinx+6-1=4cosx32sinx+12cosx-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+6，所以f(x)的最
15、小正周期为;(2)因为-6x4，所以-62x+623故当2x+6=2，即x=6时，f(x)取得最大值2;当2x+6=-6，即x=-6时，f(x)取得最小值-1【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y=Asin(x+)的形式，即可求出函数的最小正周期;(2)先根据x的取值范围求得2x+6的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值18.【答案】解：(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1+12cosx=sinx+cosx=2sinx+4，由cosx0，得xk+2(kZ)，于是x+4
16、k+34(kZ)，f(x)的定义域为xxk+2,kZ，值域为y|-2y2.(2)f()=325，2sin+4=325，sin+4=35，-44，0+42，cos+4=45，cos2=sin2+2=sin2+4=2sin+4cos+4=2425【解析】本题考查了三角函数的定义域和值域、函数y=Asin(x+)的图象与性质、二倍角公式及其应用、辅助角公式的相关知识，试题难度一般(1)根据题意化简原函数，根据分母不为0即可求出定义域和值域；(2)根据函数解析式结合诱导公式和二倍角公式即可求解19.【答案】解：(1)由题意得，f(x)=12cos2x+sinx1-2sin2x2=12cos2x+12sin2x；令，得即，故x的取值范围为(2)由题意得，fx1-fx2gx1-gx2令=sin2x即hx1hx2故hx在区间0,t上为增函数由，kZ得出，kZ则函数hx包含原点的单调递增区间为即故正实数t的最大值为【解析】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题(1)化简函数fx的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；(2)构造函数hx=fx-gx，由单调性的定义得出hx在区间0,t上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t的最大值
