1、2.1 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用1 复习与回顾 1.什么是基本不等式？基本不等式中的等号在什么条件能成立？2.基本不等式的代数特征是怎样的，如何从几何图形上进行解释？对 任 意 的，有 当 且 仅 当时，等 号 成 立002ababa bab 基本不等式的常见变形：a+b2 ab ;2a+bab()2 代数特征：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当这两个正数相等时，二者相等.几何解释：圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O重合时，二者相等。3.用基本不等式求最值的条件是什么？什么样的代数式可以用基本不等式求最值？一正二定三相等(1)a、b要同为正数；
2、(2)求a+b的最值时,ab应为定值;求ab的最值时,a+b应为定值；(3)当a=b时,2()2ab 2()2ababab 由得，有最大值：2ab2ababab 由得，有最小值：由以上可知，若代数式可以化为两正数之和且积为定值的形式，或是两正数之积且和为定值的形式，并在这两正数可以取得相等时，就可以用基本不等式来求其最值。接下来我们就来学习一下如何用基本不等式来求代数式的最值。例1.(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少？解：思考1：我们若设相邻的两边长分别为xm和ym，则本题中什么值是定值，什么值是不能确定的？探究新知
3、(一)思考2：本题中我们要解决的问题可以转化上一节中的哪一种类型？xy两邻边的积xy是一个定值，周长2x+2y的值 是不确定的.两正数x，y的积xy是定值，求它们和x+y的最小值.设相邻的两边长分别为xm和ym，则100 xy xy 2xy 210020 2()40 xy xy 当且仅当 10时取等号。当这个矩形的边长均为10m时，所用的篱笆最短，最短的长度40m.例1.(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：思考3：我们若设相邻的两边长分别为xm和ym，则本题中什么值是定值，什么值是不能确定的？思考4：本题中我们要解决的问
4、题可以转化上一节中的哪一种类型？xy周长2(x+y)是一个定值，面积xy的值是不确定的.两正数x，y的和x+y是定值，求它们积xy的最大值.设相邻的两边长分别为xm和ym，则2()36xy xy2()2xy 1 8()8 12 xy 当且仅当 9时取等号。当这个矩形的边长均为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.18xy 即 例1.(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？简析：(1)思考5：若本题我们只设一个未
5、知数，你能解吗？x,xm设 矩 形 的 一 边 为1002()xx 矩形的周长为10022xx 10010 xxx 当且仅当，即等号成立1 0 0mx则 另 一 边 为40()m ,xm设 矩 形 的(一 边 为2)362(18)2xx m 则 另 一 边 为(18)xx 矩形的面积为2(18)2xx 281()m 189xxx 当且仅当，即时等号成立100 x18x 例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？思考1：长方体的体积公式是怎样的？本题中的
6、长方体哪些量是确定的，哪些量是未知的？思考2：由前面的分析知，水池的总造价是由哪个量来决定的？若设池底相邻的两边分别为xm和ym，你能写出水池的总造价z的表达式吗？VSh 底长方体的体积为48003,Vh 已知，480016003S 底因此但底面边长不确定，所以长方体的侧面积不确定。池底造价为：1501600 池底造价为：120 (2323)xy z总造价720()xy 240000720()xy 2400000 xy3 例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造
7、价是多少元？思考3：本题可以用基本不等式的数学模型求z的最小值吗？为什么？240000720()zxy 因为本题中求z的最小值实际上是求两个正数和x+y的最小值，而它们的积xy=1600是定值，所以可以用基本不等式。解：设池底相邻的两边分别为xm和ym，水池的总造价为z元480031600 xy 则池底面积 150 1600120(2323)zxy 240000720()xy 2400007202xy 240000720 2 1600 297600 40 xy 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 将水池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是2976000元 解：设水池底面一边的
8、长度为xm，水池的总造价为y元，根据题意，得 当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？x1600 x316001600 150120(2323)yxx 1600240000720()xx 16002400007202xx 240000720240297600 2976000y 当即时1600,40,xxx 思考5：若本题我们只设一个未知数，你能解吗？练习简析：1.用一
9、段长为30m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，当这个矩形边长为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？设矩形平等于墙的边长为am(0a18),垂直于墙的边长为bm，则230ab 其中(615)b 302ab 22ab 即 215ab 2 2 52a b 当 且 仅 当2,ab 即，时 等 号 成 立15215ab 当 矩 形 平 行 于 墙 的 边 为，另 外 两 边 都 为时，矩 形 面 积 最 大，最 大 面 积 为。2151522252mmm 本题中？思考有什么作用018,6:15ab 一是使为正数，二是让可成立 不等式能取等号。,2,a bab(教材P48练习第2题)简析：
10、2.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面边长取什么值时，所用的纸最少？设底面相邻的两边长分别为xm和ym，则底面积为xy长方体的表面积为322 44xy 当 且 仅 当44,xy 即时 等 号 成 立4xy 232162 2 162222xy 3244xy 2322 1664 当底面边长都为4m时，所用的纸最少。xy(教材P48练习第3题)探究新知(二)求两个正数乘积的最大值，对和有什么要求？和满足要求吗？思考不满足又该怎样变形？182:xx 解：(1)(82)xx 2(4)xx 由得04x 40 x (4)22xx 24 8 当且仅当，4xx 的最大值为(82)8xx 例利用基
11、本不等式解决下列问题：已知，求 的最大值 已知，求 的最小值。544453.(1)04(82);(2)42xxxxxx 即 时等号成立2x 将化为，使与的和为定值，822(4)4xxxx 或将化为，使与的和为定值。122822xxxx 求两个正数和的最小值，对它们的乘积有什么要求 与满足要求吗？不满足又该怎思考样变形？445:?42xx 解：(2)44542xx 由得54x ，4454500 xx （）4452453xx 4 3 7当且仅当，44545xx 的最小值为 445427xx 445(45)3xx 即 时等号成立74x 将化为，使与的乘积为定值.442(45)34545xxxx 例利
12、用基本不等式解决下列问题：已知，求 的最大值 已知，求 的最小值。544453.(1)04(82);(2)42xxxxxx 例利 用 基 本 不 等 式 解 决 下 列 问 题：已 知 ，求 的 最 小 值。544453.(2)42xxx 44542xx 由得54x 4542(5-4)xx 4当且仅当，45-454xx 的最大值为445421xx 445(45)3xx 即 时等号成立34x 求若将“”改为“”，还有最小思考值吗？1455542443:xxxx 你能求其最大值吗？，4545400 xx 4543(54)xx 45454xx 4543(54)341xx 练习利用基本不等式解决下列问
13、题：已知，求 的最大值 已知，求 的最小值。111(1)03(12);2(2)1xxxxxx (1)3(12)xx 16()2xx 212()62xx 136168 当且仅当，即取等号1124xxx 的最大值为33(12)8xx 11(2)xx 11(1)1xx 112(1)1xx 2 1 1 当且仅当，即取等号1101xxx 的最小值为111xx 简析：小结 1.基本不等式怎样的，什么条件下不等式的等号成立？其常见的变形有哪两个？2.用基本不等式求最值的条件是什么？3.本节课我们学习用基本不等式求最值的哪些类型？如果一个代数式不能直接用用基本不等式求最值，我们可以怎样进行变形？作业3.教材P48习题2.2 第6题.11.32-3xxx 已知，求的最小值.22.0,(2-3)3xxx 已 知求的 最 大 值.4.(选做题)教材P49习题2.2 第8题.
