1、3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念 第1课时 引入 客观世界中有各种各样的运动变化现象，例如天舟飞船在发射过程，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水的高度随时间的变化而不断降低，我国高速铁路的营业里程逐年增加，已突破2万公里.所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具，函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学和其它学科的重要基础。本章我我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函
2、数概念，通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程、方法。在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法。在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长 与边长的对应关系是lx 4lx 又如，你能用已有的函数知识判断与是否相同？2xyxyx 对于每一个确定的都有唯一的 与之对而且，所以 是应xllx 的函数。这个函数与相同吗4?yx 要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念。接下来我们就在初中的“变量说”(一般地，若在某一个变化过程中有两个变量x、y，且对
3、于x的每一个确定值，y都有唯一的值和它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数)的基础上，进一步学习函数的概念。探究新知(一)问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.思考(1):在这半小时内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？S=350t 对于t的每一个确定值，S都有唯一确定的值与之对应.S是t的函数.思考(2):有人说：“这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？不正确。思考(3):你认为应该如何表述S与t的对应关系才精确？S与t的对应关系是：S=350t 其中t
4、的变化范围是数集A1=t|0t0.5，S的变化范围是B1=|0t175 即对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系S=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应。因为以350km/h运行半小时以后的情况没法确定。问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。思考(1):你认为该怎样确定一个工人的每周所得？工作时间d(天)所得工资w(元)1 2 3 4 5 6350700 1050 1400 1750 2100或w=350d思考(2):一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？对于任意天数d，都有唯一确定的工资w与之
5、对应.w是d的函数.思考(3):你能仿照问题1中对S与t对应关系的精确实描述，给出本问题中w与d对应关系的精确实描述吗？即对于数集A2中的任意一个天数d，按照对应关系w=350d或以上表格，数集在B2都有唯一确定的工资w与之对应。w与d对应关系是：w=350d或以上的表格 其中d的变化范围是数集A2=1,2,3,4,5,6，w的变化范围是数集B2=350,700,1050,1400,1750,2100.思考(4):问题1和问题2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？不是。自变量取值集合A1和A2，函数值的集合B1和B2不一样.问题3：此图是北京市2016年11月23日空气质量
6、指数(AQI)变化图。思考(1):如何根据此图确定这一天内任一时刻t h的空气指数(AQI)的值I？.t0I0 思考(2):你能找到中午12时的AQI吗？这个值是否唯一存在？问题3：此图是北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI)变化图。思考(3):你认为本问题中I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法来描述I与t的对应关系吗？I与t的对应关系是：给出的图象 其中t的变化范围是数集A3=t|0t24，AOI值I的变化范围是数集B3=I|0I150.即对于数集A3中的任意时刻t，按照图中的曲线，在数集在B3都有唯一确定的AOI的值I之对应。I是t的函数。年份y2006200720082
7、009201020112012201320142015恩格尔系数r(0/0)36.6936.8138.1735.6932.1533.5333.8729.8929.3528.57思考(1):你认为按本表恩格尔系数r是年份y的函数吗？思考(2):如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？对每一个确定的年份y，按照此表，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应，所以r是y的函数。对于数集A4=2006,2007,2008,.,2015中每一个确定的年份y，按照此表给定的对应关系，在数集B4=r|0r1中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应。思考(3):如果我们引入B4=r|0r1，将对应关系表述为“对任意
8、一个年份y，都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗？问题5:上述四个问题的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？问题情境自变量集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合问题1问题2问题3问题41 00.5Att S=350t10175BSS 1B21,2,3,4,5,6A w=350d2350,700,1050,.,2100B 2B3 024Att给出的图象30150BII 333CCB 42006,2007,.,2015A 给出的表格4 01Brr 4C36.69%,36.81%,38.17%.28.57%(1)都包含两个非空数集；(2)都有一个对应关系；(3)对于数集
9、中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。共同特征：对应关系一般用来表示，其形式有解析式，图象，表格，甚至文字等等函数的定义 一般地，设A、B是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称:AB为从集合A到集合的一个函数.记作:y=(x),x A.其中,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(x)|xA叫做函数的值域.是函数不是函数(一对一)(多对一)(一对多)并未被对应是函数:思考1:下列各图是否表示从集合A到B的函数吗？函数的定义 一般地，设A
10、、B是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称:AB为从集合A到集合的一个函数.记作:y=(x),x A.其中,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(x)|xA叫做函数的值域.思考2:函数的值域与集合B一样吗？不一定。如问题1和问题2中的值域就是数集B1和B2，问题3的值域C3是B3=I|0I150的真子集，问题4的值域C4=0.3669,0.3681,0.3817,.,0.2857是C4=r|0r1的真子集.还有刚才的例子中的第一个，值域是2,4,8,不是B。函数的值
11、域是数集的子集。|(),yyf xxAB 它们之间是什么关系？思考3:函数的这个定义(集合-对应说)与我们初中的定义(变量说)有何不一样？更强调了自变量的取值范围和函数值的范围，对函数关系的表达更精确、更完整。思考4:你能说出一个函数构成要素有哪些吗？函数的三要素定义域，对应关系，值域。自变量x的取值范围A“”：是函数的核心，将变量x对应到变量y的方法或途径。其形式可以是解析式、图象、表格甚至文字等。除了用符号”f”来表示外，还常用”g,h,u,v.”等符号来表示定义域中的x在对应关系的作用下，对应到y的所有值组成的集合(x)|xA。记号”y=(x)”表示：y是x的函数 思考5:符号“(x)”
12、是否是表示与x的乘积？如何理解记号”y=(x)”?即“把变量x，在对应关系f的作用下，对应到y”或者说“y是变量x在对应关系f的作用下的结果”。对”y=(x)”的理解在不引起混淆的情况下，y=(x)可简记为(x)练习 1.集合A、B的对应关系如图所示.试问:AB是否为从集合A到集合的函数？如如果是，那么定义域、值域和对应关系各是什么？:AB是从集合A到集合的函数。这个函数的定义域为 A=1,2,3,4,5,值域为C=2,3,4,5,对应关系为 给出的图示解：2.设集合M=x|0 x2,N=y|0y2,给出下列四个图形中,能表示从集合M到集合N的函数关系的有_简析：当10 Ra0 R(0)ykx
13、 k (0)kykx (0)ya xba 2(0)yaxbxca 244|acby ya244|acby ya练习定义域为 A=t|0t26值域为 B=h|0h845,解：对应关系f:h=130t-5t2把A中的任意一个数t，对应到B中唯一确定的数130t-5t2.1.一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.v 炮弹的高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2.求此式所表示函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这年函数.(教材P63练习第1题)函数的定义域为 A=t|0t24,值域为 B=S|2S12.解：(1)2.2016年
14、11月2日8时到次日8时(次日的时间前加0表示)北京的温度走势如图所示.(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域和值域；(2)根据图象，求这一天12时所对应的温度.(教材P63练习第2题)记2016年11月2日8时，9时，10时.2016年11月3日8时为0，1，2，3.24.则 (2)2016年11月2日12时，按照图中曲线给出的对应关系，对应的温度约为9.3C例析其定义域为 A=R，值域为 B=y|y25解：对应关系 f 把A中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).例.函数解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的。它所反应的两个变量之间的关系，可以广泛地刻画一类事物中的变量关系
15、和规律。例如，正如正比例函数y=kx(k0)可以用来刻画匀速直线运动中路程和时间的关系，一定密度的物体质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。y=x(10-x)可看成一个二次函数，若将x的范围限制为0 x10，则可构建下列情景：矩形的周长为20，设其中一边的长为x，则矩形的面积y为 y=x(10-x)其定义域为x|0 x10，值域为B=y|y25,对应关系 f 把A中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).你还能构建其它以可用解析式 来描述其变量关系的问题情境 吗？思考：(10-)yxx 是的函数，且(1
16、0)yxyxx 其定义域为值，域为|010,|025AxxByy 探究2两段之积为米，则x 对应关系：将中每一个对应到中唯一确定(10)fyxxAxB 的 数。(10)xx 现将长为米的竹竿分为两段 ，设其中 情境1一段为米，:10 x 是的函数，且(10)yxyxx 其定义域为 1,2,3,4,5,A 设 表示排数，表示第 排到每 排的人数之和，则1xyx值域为，对应关系：9,16,21,24,25Bf 将中每一个对应到中唯一确定的数。(10)(10)yxxAxBxx 若干人竟成三角形形状进行表演 ，第1排 站情境2:9人，第2排站7人，以后每一排比前一排少2人，最后一排站1人。x10 x
17、练习教材练习第 题 1.构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式y=x来描述。63(4)P设一个正方形的面积为x，边长为y，则是的函数，且 yxyx 其定义域为值域为，对应关系：将A中的每一个面积x对应到B中的 唯一边长。|0,|0Ax xBy xfyxx 解：函数：，101yx 定义域|0,x x 值域|0;y y 函数：，2032lxx 定义域|0,x x 值域|0.l l 函数：，221002dxx 定义域|0,x x 值域|0;d d 解：教材习题第 题 如图，矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，那么你能得到关于这些量的哪些函数73(3.18)2.10?Pxyd
18、l课堂小结1.什么是函数？其三要素是什么？3.对于对应关系f，你有哪一些认识？2.与初中学过的函数概念相比，你又函数有什么新的认识？4.本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学 有什么体会对？对于函数的概念，要特别注意以下几点：(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准。(2)在理解函数的对应关系的特征f要通过具体的例子，对于“A中的任意一个数”，”B中有唯一确定的数“等关键语句要特别留意；(3)对应关系f的表现形式可以是解析式、图象、表格等，但它们的实质相同，我们在后续的学习中要逐步积累用适当的方式表示函数的经验。作业 教材P72习题3.1 第10，11，14，16题
