1、函数的对称性与周期性一、 学习过程我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）求函数图像的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.1.函数的对称性（轴对称，中心对称）和周期性例题巩固：1.函数关于点 对称.2.函数关于轴对称，则 .3.若函数为奇函数，则关于点 对称.4.函数在上的最大值和最小值分别记为和，则= .思考：结论1：我们知道：若为偶函数，则它的图像关于对称，有；那么，若关于直线对称，则有 成立，反之
2、亦成立；结论2：同样地：若为奇函数，则它的图像关于对称，有那么，若关于对称，则有 成立，反之亦成立.（记忆上述结论，该结论可用于证明函数的对称性，或利用对称性解题）例1：若函数满足，则的值为 .变式训练：若函数满足，则的值为 .结论3：若函数满足，则关于直线 对称.若函数满足，则关于点 对称.例2：（1）若函数关于对称，当时，则当时， .（2）若函数关于（1,0）对称，当时，则当时， .（3）设函数是定义在R上的偶函数，它的图像关于直线对称，已知时，函数，则时， .例3：（1）已知定义在R上的函数满足，则的值为 .（2）已知函数是定义在R上的偶函数，且，对任意，有成立，则= .例4：证明：函数
3、的图像关于点（-1,0）中心对称.二、课后作业：1.函数关于直线 对称.2.函数关于点 对称.3.已知奇函数定义域为R，又对任意恒成立，则 ； ;则 .4.已知定义在R上的奇函数满足，且时，则的值为 .5.已知为奇函数，在上的最大值和最小时分别为和，则= .6.定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则下列结论正确的是 .在上是减函数 的图像关于直线对称在上是减函数 7.若函数关于对称，当时，求当时，求的解析式.8.已知二次函数对任意实数都有成立，且函数的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）若不等式的解集为，求实数和的值.9.设是R上的奇函数，当时，（1）试证：直线是函数的图像的一条对称轴；（2）当时，求的解析式.10.已知函数和的图像关于原点对称，且（1）求函数的解析式；（2）解不等式11.证明：函数的图像关于点对称.
