1、盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏1盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏2导数的应用举例导数的应用举例 1 解解:(1)由已知由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于命题等价于 f(x)在在-1,2 上的最大值小于上的最大值小于 m.单调递增区间是单调递增区间是(-,-)和和(1,+).23 设设 f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数求函数 f(x)的单调递增、递减区间的单调递增、递减区间;(2)当当 x-1,2 时时,f(x)m 恒成立恒成立,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.12令令 f(x)0 得得-x0 得得 x1.23
2、y=f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1);2323令令 f(x)=0 得得 x=-或或 1.12f(1)=3 ,f(2)=7,f(-1)=5 ,12f(-)=5 ,232722f(x)在在-1,2 上的最大值为上的最大值为 7.70.x-.53故故当当 x1 时时,f(x)0;当当-1x1 时时,f(x)0.当当 x=-1 时时,f(x)取得极大值取得极大值;当当 x=1 时时,f(x)取得极小值取得极小值.函数函数 f(x)的的极大值比极小值大极大值比极小值大 4,f(-1)-f(1)=4.即即(-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4.整理得整理得 a+b=-3.由由,得得
3、 a=-1,b=-3.故故 a,b 的值分别为的值分别为-1,-3.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏4导数的应用举例导数的应用举例 3 设函数设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数求函数 f(x)的单调的单调区间、极值区间、极值;(2)若当若当 x a+1,a+2 时时,恒有恒有|f(x)|a,试确定试确定 a的取值范围的取值范围.13解解:(1)由已知由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1,a3a.令令 f(x)=0 得得 x=a 或或 x=3a.当当 x 变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(
4、-,a)a(a,3a)3a(3a,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极小值 极大值极大值 由上表可知由上表可知,f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(a,3a),单调递单调递减区间是减区间是(-,a)和和(3a,+).当当 x=a 时时,f(x)取极小值取极小值 f(a)=-a3+b;43当当 x=3a 时时,f(x)取极大值取极大值 f(3a)=b.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏5导数的应用举例导数的应用举例 3 设函数设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数求函数 f(x)的单调的单调区间、极值区间、极值;(2)若当若当 x a
5、+1,a+2 时时,恒有恒有|f(x)|a,试确定试确定 a的取值范围的取值范围.13解解:(2)0a1,2aa+1.f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2 在在 a+1,a+2 上为减函数上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.当当 x a+1,a+2 时时,恒有恒有|f(x)|a,即即-af(x)a 恒成立恒成立.4a-4-a 且且 2a-1a.解得解得 a1.45又又 0a1,故故 a 的取值范围是的取值范围是 ,1).45盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏6 已知函数已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在
6、x=0 处取得极值处取得极值,曲线曲线 y=f(x)过原点和点过原点和点 P(-1,2).若曲线若曲线 f(x)在点在点 P 处的切线与直线处的切线与直线 y=2x的夹角为的夹角为45,且倾角为钝角且倾角为钝角.(1)求求 f(x)的解析式的解析式;(2)若若 f(x)在在区间区间 2m-1,m+1 递增递增,求求 m 的取值范围的取值范围.导数的应用举例导数的应用举例 4 解解:(1)曲线曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点过原点,f(0)=0d=0.f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.函数函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 处取得
7、极值处取得极值,f(0)=0c=0.过点过点 P(-1,2)的切线斜率为的切线斜率为 f(-1)=3a-2b,而曲线而曲线 f(x)在在 点点 P 的切线与直线的切线与直线 y=2x 的夹角为的夹角为45,且倾角为钝角且倾角为钝角,解得解得 f(-1)=-3.又又 f(-1)=2,|=1 且且 f(-1)0 x0,f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,-2 和和 0,+).函数函数 f(x)在区间在区间 2m-1,m+1 递增递增,2m-12m-10.2m-1,m+1 (-,-2 或或 2m-1,m+1 0,+).解得解得 m-3 或或 m2.12即即 m 的取值范围是的取值范围是(-
8、,-3 ,2).12盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏8导数的应用举例导数的应用举例 5 已知函数已知函数 f(x)=x3-ax2-3x.(1)若若 f(x)在区间在区间 1,+)上是增函上是增函数数,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围;(2)若若 x=-是是 f(x)的极值点的极值点,求求 f(x)在在 1,a 上的最大值上的最大值;(3)在在(2)的条件下的条件下,是否存在实数是否存在实数 b,使得使得函数函数 g(x)=bx 的图象与函数的图象与函数 f(x)的图象恰有三个交点的图象恰有三个交点,若存在若存在,求出实数求出实数 b 的取值范围的取值范围;若不存在
9、若不存在,请说明理由请说明理由.13解解:(1)由已知由已知 f(x)=3x2-2ax-3.f(x)在区间在区间 1,+)上是增函数上是增函数,在在 1,+)上恒有上恒有 f(x)0,即即 3x2-2ax-30 在在 1,+)上恒成立上恒成立.则必有则必有 1 且且 f(1)=-2a0.a3解得解得 a0.故实数故实数 a 的取值范围是的取值范围是(-,0.由于由于 f(0)=-30 且且 3+b 0.解得解得 b-7 且且 b-3.故实数故实数 b 的取值范围是的取值范围是(-7,-3)(-3,+).盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏10导数的应用举例导数的应用举例 6
10、 已知函数已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点在点 x=1 处有极小值处有极小值-1,试确试确定定 a,b 的值的值,并求出并求出 f(x)的单调区间的单调区间.解解:由已知可得由已知可得:-1=f(1)=1-3a+2b,即即 3a-2b=2.又又 f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即即 6a-2b=3.f(x)=3x2-2x-1.由由,解得解得 a=,b=-.1213由由 f(x)=0 得得,x=1 或或-.13当当 x1 时时,有有 f(x)0;13当当-x1 时时,有有 f(x)0.13故故 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-)和和(
11、1,+);1313f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1).盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏11导数的应用举例导数的应用举例 7 解解:(1)ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c.(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)由由 ff(x)=f(x2+1)得得,c=1.已知已知 f(x)=x2+c,且且 ff(x)=f(x2+1).(1)设设 g(x)=ff(x),求求 g(x);(2)设设 (x)=g(x)-f(x),试问试问:是否存在实数是否存在实数 ,使使 (x)在在(-,-1)内为减函数
12、内为减函数,且在且在(-1,0)内是增函数内是增函数.f(x)=x2+1,g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.=x4+(2-)x2+2-.(x)=4x3+2(2-)x=2x(2x2+2-).(x)在在(-,-1)内为减函数内为减函数,(x)0 在在(-,-1)内恒成立内恒成立.-22(-1)2=2,-22.4.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏12又又(x)在在(-1,0)内为增函数内为增函数,(x)0 在在(-1,0)内恒成立内恒成立.即即 2x2+2-2x2 在在(-1,0)内恒成立内恒成立.当当 x(-1,0)时时,2x2b,点点(-1,2+b)在函数图
13、象上在函数图象上,且在且在直线直线 y=b 的上方的上方.函数函数 f(x)的图象不能总在直线的图象不能总在直线 y=b 的下方的下方.另另解解:当当 a=1 时时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.令令 f(x)=0 得得 x1=0,x2=.23而而 f()=-+b=+bb,234927 427 8函数函数 f(x)的图象不能总在直线的图象不能总在直线 y=b 的下方的下方.点点 (,+b)在函数图象上在函数图象上,且在且在直线直线 y=b 的上方的上方.2327 4盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏14导数的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知
14、函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b R).(1)若若 a=1,函数函数 f(x)的图象的图象能否总在直线能否总在直线 y=b 的下方的下方?说明理由说明理由;(2)若函数若函数 f(x)在在 0,2 上上是增函数是增函数,x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一个根的一个根,求证求证:f(1)-2;(3)若曲若曲线线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1,求求 a 的取值范围的取值范围.(2)证证:x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一个根的一个根,f(2)=0 即即-8+4a+b=0b=8-4a.又又 f(x)=-3x2+2ax,令令 f(x)=
15、0 得得 x1=0,x2=a.23函数函数 f(x)在在 0,2 上是增函数上是增函数,a2.23a3.f(1)=-1+a+b=7-3a-2,即即 f(1)-2.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏15导数的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b R).(3)若曲线若曲线 f(x)上任意不同上任意不同两点的连线的斜率小于两点的连线的斜率小于 1,求求 a 的取值范围的取值范围.(3)解解:设设 P(x1,y1),Q(x2,y2)为为曲线曲线 y=f(x)上任两点上任两点,x1 x2.曲线曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于
16、上任意不同两点的连线的斜率小于 1,x1 x2,亦即亦即 1 恒成立恒成立.-(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2)x1-x2 1,y1-y2 x1-x2-x13+ax12+b-(-x23+ax22+b)x1-x2 即即 1,x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立恒成立.而而 x1x2 (x1+x2)2 恒成立恒成立,141+(x1+x2)2-a(x1+x2)(x1+x2)2 恒成立恒成立.14 (x1+x2)2-a(x1+x2)+10 恒成立恒成立.34a2-30.-3 a 3.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏16导数
17、的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b R).(3)若曲线若曲线 f(x)上任意不同上任意不同两点的连线的斜率小于两点的连线的斜率小于 1,求求 a 的取值范围的取值范围.另另解解:设设 P(x1,y1),Q(x2,y2)为为曲线曲线 y=f(x)上任两点上任两点,不妨不妨 x1x2.曲线曲线 f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于上任意不同两点的连线的斜率小于 1,x1x2,1,y1-y2 x1-x2 x1-x2x1-x2.即即 f(x1)-f(x2)x1-x2.f(x1)-x1f(x2)-x2.记记 g(x)=f(x)-x,则则 g(x1)g(
18、x2).g(x)为为 R 上的减函数上的减函数.g(x)0 即即-3x2+2ax-10 对对 x R 恒成立恒成立.a2-30.-3 a 3.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏17导数的应用举例导数的应用举例 9 已知函数已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:对任意对任意 x1,x2 m,n),不等不等式式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx解解:由题设由题设 f(x)=(+-1)2-+1.xmnx2nm令令 t=+,xmnx1m2,t
19、=-.1mx2n由由 t 0 得得 mx0 得得 mn xn.t(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函数上是增函数.函数函数 y=(t-1)2-+1 在在 1,+)上是增函数上是增函数,2nmf(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函数上是增函数.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏18导数的应用举例导数的应用举例 9 已知函数已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:对任意对任意 x1,x2 m,n),不等
20、不等式式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx对任意的对任意的 x1,x2 m,n),有有(2)证证:由由(1)知知 f(x)在在 m,n)上的最小值为上的最小值为 f(mn)=2(-1)2,nm最大值为最大值为 f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2 nmnm=()2-4 +4 -1.nmnmnm令令 u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm1mn2,1 2.nm10,5+125-12h(u)在在(1,2 上是增函数上是增函数.=4 2-5.故对任意故对任意 x1,x2 m,n),|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成
21、立.h(u)h(2)=4-8+4 2-1 盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏19导数的应用举例导数的应用举例 10 某厂生产某种产品某厂生产某种产品,已知该产品已知该产品的月产量的月产量 x(吨吨)与每吨产品与每吨产品的价格的价格 p(元元/吨吨)之间的关系式为之间的关系式为 p=24200-x2,且生产且生产 x 吨的吨的成本为成本为 R=50000+200 x 元元.问问该厂该厂每月每月生产多少吨产品才能使生产多少吨产品才能使利润达到最大利润达到最大?最大利润是多少最大利润是多少?(利润利润=收入收入-成本成本)15解解:设设每月每月生产生产 x 吨的利润为吨的利润为
22、 y 元元,则则 x0,且且 y=(24200-x2)x-(50000+200 x)15=-x3+24000 x-50000.15由由 y=-x2+24000=0 得得 35x=200(-(-200舍去舍去).在在 0,+)上只有一个点上只有一个点 x=200 使使 y=0,它就是最大值点它就是最大值点,且最大值为且最大值为 -2003+24000 200-50000 15=3150000(元元).故每月故每月生产生产 200 吨产品时利润最大吨产品时利润最大,最大利润是最大利润是 315 万元万元.盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏20导数的应用举例导数的应用举例 11
23、 要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场,现在铁丝网长为现在铁丝网长为 l m,只围三边只围三边,另一边为一道墙另一边为一道墙,问长和宽为多少时问长和宽为多少时,才能使所围养才能使所围养鸡场面积最大鸡场面积最大?解解:设长为设长为 x m,宽为宽为 y m.则则 x+2y=l.由由 x,y 均为正数得均为正数得,0 xl.注注:本题亦可用二次函数知识解答本题亦可用二次函数知识解答.xyy=.l-x 2面积面积 S=xy=x l-x 2=-x2+x.l212S=-x+.l2由由 S=0,得得 x=.l20 xl,S 在在(0,)内递增内递增,在在(,l)内递减内递减,l2l
24、2x=时时,S 取得极大值取得极大值,也是最大值也是最大值.l2l2即即 Smax=-()2+12l2l2l28=.此时此时,y=.l4故长故长,宽分别为宽分别为 m,m 时时,养鸡场面积最大养鸡场面积最大.l2l4盛年不重来,一日难再晨,及时当勉励,岁月不待人 欢迎收藏21导数的应用举例导数的应用举例 12 已知某厂生产已知某厂生产 x 件产品件产品的成本为的成本为 C=25000+200 x+x2(元元),问问:(1)要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产多少件产品应生产多少件产品?(2)若产品以每若产品以每件件 500 元售出元售出,要使利润最大要使利润最大,应生产多少件产品应生产多少
25、件产品?401解解:(1)设平均成本为设平均成本为 y(元元),则则 y=25000+200 x+x2 x401当且仅当当且仅当 x=1000 时取等号时取等号.(2)利润利润函数为函数为 L=500 x-(25000+200 x+x2)401=+200 40 xx25000 x2500040 x2 +200=250.故故要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产应生产 1000 件产品件产品.401=300 x-x2-2500.L=300-x.201令令 L=0 得得 x=6000,当当 x0;当当 x6000 时时,L 0,当当 x=6000 时时,L 取得最大值取得最大值.故故要使要使利润最大利润最大,应生产应生产 6000 件产品件产品.
