1、高等数学期中成绩高等数学期中成绩邵尧坤 73胡星夏 73施振强 72施少伟 72李力军 72陈燕 71陈庆美 70高金环高金环 70化工05111 6923 6931 6813 6719 6724 6430 617 6029 60生物05115 6914 6623 6619 6526 60生物0527 6713 663 6523 6111 60第1页，共30页。第十一章第十一章无穷级数无穷级数第2页，共30页。本章用到有关数列极限的一些知识本章用到有关数列极限的一些知识1。单调有界数列必收敛；。单调有界数列必收敛；2。如果一数列收敛于。如果一数列收敛于S，那么，其任一子数列均收敛于，那么，其任
2、一子数列均收敛于S。3。nlim,2SSn nlim,12SSn 则nlimSSn4设设nlim,1SSin nlim2SSkn 如果如果,21SS 则数列则数列nS发散；如果发散；如果,21SS 则数列则数列nS可能收敛也可能发散。可能收敛也可能发散。5.nlimaxNnNaxnn,0第3页，共30页。一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:nnnuuuuu3211一般项一般项其中其中 niinnuuuus121级数的前级数的前n项的和称为级数的部分和：项的和称为级数的部分和：,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 如果级数中的每一项都是
3、常数，称该级数为如果级数中的每一项都是常数，称该级数为常数常数项级数项级数 无穷级数简称级数无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。它总是无穷项的和。有限项之和不能称为级数有限项之和不能称为级数称为部分和数列，记作称为部分和数列，记作ns,.,.,21nsss第4页，共30页。2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。观察如下级数：观察如下级数：122121211n )11()11()11(n
4、321 111111（1）（2）（3）（4）级数（级数（1），（），（2）有确定的值，分别为）有确定的值，分别为2和和0，级数（，级数（3），），（4）无确定的值。因此，称级数（）无确定的值。因此，称级数（1），（），（2）是收敛的，级）是收敛的，级数（数（3），（），（4）是发散的。）是发散的。第5页，共30页。当当n无限增大时无限增大时,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s,即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和.并并写成写成nuuus21 如如果果ns没没有有极极限限,则则称
5、称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散.从而，常数项级数收敛（或发散）从而，常数项级数收敛（或发散）nlim注意到：注意到：1nnunlimnS因此，因此，nS存在存在(或不存在或不存在)。nlimniiu1=第6页，共30页。例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数(几几何何级级数数)nnnaqaqaqaaq20 )0(a的的收收敛敛性性.解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 第7页，共30页。,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当
6、当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn等比级数是一个常等比级数是一个常用的级数用的级数第8页，共30页。例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性.解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn第9页，共30页。)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21.21,和和为为级级数数收收敛敛 在用级数收
7、敛的定义来判定级数的敛散性时，在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时，“拆项拆项”是常用的方法之一。是常用的方法之一。第10页，共30页。三、基本性质三、基本性质性质性质 1 1 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛,则则 1nnku亦收敛亦收敛.性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus,1nnv,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛,其和为其和为 s.结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第11页，共30页。注意：注意：1。由性质。由性质2。可知，
8、两收敛级数的和或差是收敛级数。可知，两收敛级数的和或差是收敛级数2 2。两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如1111)11(,)1(1,)1(,1nnnn发散收敛而发散发散3。一收敛级数和一发散级数的和或差必发散。一收敛级数和一发散级数的和或差必发散111)(:,nnnnnnnvuvu发散求证发散收敛设用反证法：用反证法：111,),(nnnnnnnwvuw那末收敛如果记11,)(,2nnnnnuwv证毕也收敛与原假设矛盾可知由性质第12页，共30页。性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1knnu也也收收敛敛)1(k.且且其其逆逆
9、亦亦真真.证明证明:设设nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 这说明在级数前面减去有限项不影响级数的敛这说明在级数前面减去有限项不影响级数的敛散性，类似地可以证明在级数前面加上有限项也不散性，类似地可以证明在级数前面加上有限项也不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.nnuuus.21第13页，共30页。性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.证明证明注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例例如如 1111推论推论 如果
10、加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散,则原来级则原来级数也发散数也发散.收敛收敛 发散发散第14页，共30页。四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛.0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss .0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:级数收敛的必要条件只能用于判定级数是否发散？级数收敛的必要条件只能用于判定级数是否发散？不能用于判定级数是否收敛？不能用于判定级数是否收敛？第15页，共30页。注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数
11、的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数第16页，共30页。讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss ,0.级级数数发发散散)(210 n便便有有.这是不可能的这是不可能的调和级数调和级数11nn是一个常用的级数，它是发散的。是一个常用的级数，它是发散的。第17页，共30页。作业：作业：P1933（1）（）（3）4（1）（）
12、（3）（）（5）第18页，共30页。一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns nsss21必为单增数列正项级数的部分和数列ns即即因此，正项级数收敛有如下的定理因此，正项级数收敛有如下的定理第19页，共30页。且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收收敛敛,则则 1nn
13、u收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21第20页，共30页。nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发发散散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知比较审敛法的不便之处是必须有
14、一个敛散性已知的级数作为参考级数的级数作为参考级数.第21页，共30页。例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.级级数数发发散散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211)11,11,1(ppnxnxnxn第22页，共30页。npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数（等比
15、级数）几何级数（等比级数）,P-,P-级数级数,调调和级数（和级数（实际上就是实际上就是P=1P=1的的P-P-级数）级数）.第23页，共30页。例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数第24页，共30页。4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv
16、发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu其中其中1nnv是敛散性已知的用作比较的参考级数是敛散性已知的用作比较的参考级数第25页，共30页。证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第26页，共30页。由)2(nlim由)3(nlim有时当总存在任取可知,0,NnNMvunnnnnnvMuMvu即,也收敛收敛时当11,nnnnuv11,nnnnuv也发散发散时当,0,1,0时当一定存在如取那末NnNvun
17、nnnnnnnvuvuvu,1即必有nnMvu 第27页，共30页。设设 1nnu为为正正项项级级数数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;如如果果有有1 p,使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.推论：推论：第28页，共30页。例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.已用到罗必得法则已用到罗必得法则第29页，共30页。比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：1。只适用于判定正项级数的收敛性；。只适用于判定正项级数的收敛性；2。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；常用的是等比级数和常用的是等比级数和P级数。级数。3。技巧性较强。技巧性较强。第30页，共30页。
