1、1.2.2复合函数的导数复合函数的导数第1页，共27页。基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e若f(x)=e，则f(
2、x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x复习：复习：第2页，共27页。导数的运算法则导数的运算法则1?()g x()()()()f xg xf xg x()()()()()()f x g xfx g xf x g x2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg xcf(x)=Cf(x)(c为常数为常数)2()?()g xgx复习：复习：第3页，共27页。1).求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数.2).如何求函数
3、如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？的导数呢？把平方式展开把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导利用导数的四则运算法则求导.是否还有用其它的办法求导呢是否还有用其它的办法求导呢?想一想想一想?探探 究：究：第4页，共27页。二、新课二、新课复合函数的导数：复合函数的导数：1.复合函数的概念复合函数的概念:对于函数对于函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以示成可以示成x的的函数函数,那么称这个函数为函数那么称这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函复合函数数.记作记作y=f(g(x)函函 数数内层函数内层函数 外层函数外层函数 复合函数复合函数定义域
4、定义域值值 域域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)xAUDUDyBxAyB第5页，共27页。问题问题1:指出下列函数的复合关系：指出下列函数的复合关系：)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:log()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u uy y
5、u uv v v vx xx x第6页，共27页。2.求复合函数的导数求复合函数的导数如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,注注:1)y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的导数 的乘积的乘积.复合函数复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),y=f(u),u=gu=g(x x)的导的导数间关系为数间关系为2)2)法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量.3)3)在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 ,两者两者是不完全一样的是不完全一样的,前者表示对自变量前者表示对自变量x x的求导的求导,而
6、后者是对中间变量而后者是对中间变量 的求导的求导.)(x)()(xfxfx ()yf g u xguxyfgu;xuxuyy ()()().xfxf ux或或令令y=u2,u=3x-2,1218 xuyyxux则则 从而从而2,3,uxyu u第7页，共27页。.xuxyyu(1)()(),g().yf g xyf u ux那么3.复合函数的求导法则(2)(),g(),().yf u uv vh x那么.xuvxyyuv第8页，共27页。应应 用用 举举 例例例例1：求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1）y=(5x-6)2;（2）y=e-0.05x+1;（4）y=sin(x+);(,为常数
7、)(3)y=ln(x+2)复合函数求导的基本步骤：复合函数求导的基本步骤：分解分解求导求导相乘相乘回代回代 第9页，共27页。.2 2cos(2).cos2sin24.sin2cos2.2 2cos(2)4AyxByxxC yxxDyxsin2cos2yxx函数函数 的导数是的导数是()A练练 习：习：第10页，共27页。41(1);(1 3)1:.yx例求下列函数的导数 5ux5x445ux:1u1 3x,yy4u,u3,yyu11,12.(1 3)2uuux 解令则题型一题型一 复合函数的求导方法复合函数的求导方法第11页，共27页。21:.2 ycosx;例求下列函数的导数(2)令令u=
8、x2,则则y=cosu,yx=yuux=-sinu2x=-2x sinx2.第12页，共27页。(3).(2);31:ysinx例求下列函数的导数 xux3u2xy sinu,y,3).3yucosu 22cos(2x 令则第13页，共27页。21:.(4)1.yx例求下列函数的导数1212u2xx2 4u1x,yuyyu2 xxu1.212.1uxx令则规律技巧规律技巧:求复合函数的导数求复合函数的导数,要分清函数的复合关系要分清函数的复合关系,对于分式型对于分式型的可化为幂的形式求导的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量关键选好中间变量.最后将中间变量代最后将中间变量代回到原自变量的函数回
9、到原自变量的函数.第14页，共27页。25x2 121:.3 yln lnx;41(1);(y2)();(1 3e.)6yysin xx变式训练求下列函数的导数 6xu6556x:1u1 3x,yyyu1,15.(5u315u1 3)uux 解令则 222xux 2uxy sinu,yyuc,6)osu(x2xcosu2x).6cos(x6 令则第15页，共27页。xux 3ulnx,ylnu,1 11.yyuu xxlnx 令则 xux2uuxux2x2 1 3ulnx,ylnu,yyu 4u2x1,ye,yyue 4x1 14x e.1.u xxlnx 令则令则第16页，共27页。例例2:
10、求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=(x2-4)2;解解:(1)(方法方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16y=(x4-8x2+16)=4x3-16x.(方法方法2)y=2(x2-4)(x2-4)=2(x2-4)2x=4x3-16x.第17页，共27页。(2)y=log2(2x2+3x+1);(3)y=e sin(ax+b)222221(231)2 ylog2x3x12x3x1243.(231)2xxlnxxxln (3)y=e sin(ax+b)=e sin(ax+b)sin(ax+b)=e sin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b)=acos(ax+b)e sin(a
11、x+b).第18页，共27页。变式训练变式训练2:求下列函数的导数求下列函数的导数.132232223223223:(1)31(31),1(31)(31)312(31)6.3(31)yyxxxxxxxx 解323(1)31;(2)3.yxysin xsinx(2)y=(sin3x+sinx3)=3 sin2x(sinx)+cosx3(x3)=3 sin2xcosx+3x2cosx3.第19页，共27页。1、求下列函数的导数：、求下列函数的导数：xyeyxyxyx1ln)4(;)3(;)31()2(;)32()1(2322、求曲线、求曲线y=sin2x在点在点P(，0）处的切）处的切线方程。线方
12、程。第20页，共27页。题型二题型二 求导法则的综合应用求导法则的综合应用例例3:已知函数已知函数f(x)是关于是关于x的二次函数的二次函数,其导函数为其导函数为f(x),且且xR,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立恒成立,求函数求函数f(x)的解析式的解析式.解解:设设f(x)=ax2+bx+c(a0),则则f(x)=2ax+b.又又x2f(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立恒成立,第21页，共27页。变式训练变式训练3:已知函数已知函数f(x)是关于是关于x的三次函数的三次函数,且且f(0
13、)=3,f(0)=0,f(1)=-3,f(2)=0,求求f(x)的解析式的解析式.解解:设设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则则f(x)=3ax2+2bx+c.由由f(0)=3,得得d=3,由由f(0)=0,得得c=0,32323,1240,1,3.f 13,f20,f xx3x3.ababab 由得解得第22页，共27页。小结小结：复合函数的求导，要注意分析复合复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；数的求导法则求导；复合函数求导
14、的基本步骤是：复合函数求导的基本步骤是：分解分解求导求导相乘相乘回代回代 第23页，共27页。求下列函数的导数求下列函数的导数:解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)()(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx第24页，共27页。“可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函可导的奇函数的导函数为偶函数数为偶函数”.现在利用复合函数的现在利用复合函数的导数加以证明导数加以证明:证证:当当f(x)为为可导的偶函数可导的偶函数时时,则则
15、f(-x)=f(x).两边同时对两边同时对x求导得求导得:得得:故故 为为奇函数奇函数.)()()()(xfxfxfxxf)(xf 同理可证另一个命题同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函可导的周期函数的导函数也是周期函数数也是周期函数.证证:设设f(x)为为可导的周期函数可导的周期函数,T为其一个为其一个周期周期,则对定义域内的则对定义域内的每一个每一个x,都有都有f(x+T)=f(x).两边同时对两边同时对x求导得求导得:也是以也是以T为为周期的周期函数周期的周期函数.),()(xfTxTxf ).()(xfTxf)x(f第25页
16、，共27页。例例5:设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解:);(2)()()1(222xf xxxfy );1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin)(cos)(sin)3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 说明说明:对于抽象函数的求导对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结一方面要从其形式是把握其结构特征构特征,另一方
17、面要充分运用复合关系的求导法则另一方面要充分运用复合关系的求导法则.第26页，共27页。求证双曲线求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆与椭圆C2:4x2+9y2=72在交在交 点处的切线互相垂直点处的切线互相垂直.证证:由于曲线的图形关于坐标轴对称由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明不妨证明过过P点的两条切线互相垂直点的两条切线互相垂直.由于点由于点P在第一象限在第一象限,故由故由x2-y2=5得得,5,522 xxyxy;23|31 xyk同理由同理由4x2+9y2=72得得;94894,94822xxyxy .32|32 xyk因为因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直所以两条切线互相垂直.从而命题成立从而命题成立.第27页，共27页。
