1、n 概述概述n 线性相位线性相位 FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应n 窗函数法窗函数法n 频率取样法频率取样法n FIR数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构 第五章第五章FIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院2概述：概述：IIR 和和 FIR 比较比较n IIR与与FIR性能比较性能比较IIR数字滤波器数字滤波器幅频特性较好，但相频特性较差幅频特性较好，但相频特性较差 FIR数字滤波器数字滤波器可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用 FFT
2、计算计算(计算两个有限长序列的线性卷积计算两个有限长序列的线性卷积)但阶次比但阶次比 IIR 滤波器要高得多滤波器要高得多北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院3概述：概述：IIR 和和 FIR 比较比较n IIR 与与 FIR 设计方法比较设计方法比较IIR DF无限冲激响应，无限冲激响应，H(Z)是是 z-1 的有理分式，的有理分式，借助于模拟滤波器借助于模拟滤波器设计方法设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。以非线性相位为代价的。缺点：缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。
3、只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIR DF有限冲激响应，系统函数有限冲激响应，系统函数 H(Z)是是 z-1 的多项式，的多项式，采用直接逼采用直接逼近要求的频率响应近要求的频率响应。设计灵活性强。设计灵活性强。缺点：缺点：设计方法复杂；设计方法复杂；延迟大；延迟大；阶数高。阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元)FIR DF 的技术要求的技术要求通带频率通带频率p，阻带频率，阻带频率s 及最大衰减及最大衰减p，最小衰减，最小衰减s很重要的一条是保证很重要的一条是保证 H(z)具有具有线性相位线
4、性相位。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院4概述：概述：FIR DF 设计方法设计方法n FIR 数字滤波器数字滤波器设计设计 FIR 滤波器的任务滤波器的任务给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定 h(n)及及阶数阶数 N。三种设计方法三种设计方法 窗函数加权法窗函数加权法 频率采样法频率采样法 FIR DF 的的 CAD-切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院5概述：概述：FIR DF 零极点零极点n FIR滤波器的滤波器的I/O 关系：关系：10N
5、ry(n)h(r)x(nr)0 1 21(),.,h nnNn FIR 滤波器的系统传递函数：滤波器的系统传递函数：12110011NNNrNrh()zh()z.h(N)H(z)h(r)zz 在在 Z 平面上有平面上有 N-1 个零点；在原点处有一个（个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。）阶极点，永远稳定。n FIR 系统定义：系统定义：一个数字滤波器一个数字滤波器 DF 的输出的输出 y(n)，如果仅取决于，如果仅取决于有限有限个过去的输入和现在的输入个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.,x(n-N+1)，则称之，则称之为为 FIR DF。n FIR 滤波器的单位
6、冲激响应：滤波器的单位冲激响应：北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院6n FIR DF 的频率响应为：的频率响应为：FIR 滤波器的最重要特点是能实现线性相位。滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性具有线性相移特性的相移特性的 FIR 滤波器是滤波器是 FIR 滤波器中应用最广泛的滤波器中应用最广泛的一种。一种。1j()r0()()H()eNjjnnH eh n e Hr()：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。()=arg H(ejw)为数字滤波器的相位响应。为数字滤波器的相位响应。概述：概述：FIR DF 频率响应
7、频率响应北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院7n 信号通过信号通过线性滤波器线性滤波器时，其时，其幅度和相位可能会发生改变幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅频特性滤波器幅频特性|H()|和相频特性和相频特性()可能会随频率可能会随频率的变化而改变。的变化而改变。如：如：输入正弦信号输入正弦信号 Acos(n0)则：则：输出为输出为|H(0)|Acos(n0)，其中相移，其中相移(0)输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化 输出信号比输入信号滞后的样点数输出信号比输入信号滞后的样点数 n(位移位移)可由下式求得可由
8、下式求得:设：设：n00 000()n-滤波器在数字频率滤波器在数字频率0 处的相位延迟（位移）处的相位延迟（位移）由于相位延迟由于相位延迟 n 的不同，最终产生了相位失真。的不同，最终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法：使确保不产生相位失真的办法：使不同频率不同频率的信号通过滤波器时有的信号通过滤波器时有相同的延迟相同的延迟 n。概述：概述：相位失真相位失真北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院8n 对对不同的频率不同的频率有有恒定的相移恒定的相移，不同的相位延迟不同的相位延迟 n，会产会产生相位失真生相位失真.如：方波如：方波 y(t)可以用无数奇次谐波的正弦波
9、的叠加来得到：可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：41111y(t)sin(t)sin(3 t)sin(5 t)sin(7 t)sin(9 t)3579 若每个正弦波相移若每个正弦波相移/2 弧度：弧度：确保所有频率具有相同相位延迟的确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法简单方法：随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒定，即使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使系统的相位函数这种方法可通过使系统的相位函数()为频率为频率的的线性函数来实现。线性函数来实现。概述：概述：相位失真相位失真p41
10、111y(t)=cos(t)cos(3 t)cos(5 t)cos(7 t)cos(9 t)3579 可见相移之后正弦波之和已不再是方波。可见相移之后正弦波之和已不再是方波。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院9线性相移线性相移FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应n 三个内容三个内容 约束条件约束条件恒延时滤波恒延时滤波h(n)偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立 h(n)奇对称：仅恒群延时成立奇对称：仅恒群延时成立 频率响应频率响应Type I：h(n)偶对称、偶对称、N 为奇数为奇数Type II：h(n)偶对称、偶对称
11、、N 为偶数为偶数Type III：h(n)奇对称、奇对称、N 为奇数为奇数Type IV：h(n)奇对称、奇对称、N 为偶数为偶数 FIR DF 零极点分布零极点分布北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院10相延时：相延时：()()p 群延时：群延时：()()gdd 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时滤波恒延时滤波n 恒延时滤波恒延时滤波 滤波器的延时分为滤波器的延时分为相延时相延时和和群延时群延时两种两种10()()()()NjjnjrnH eh n eHe 令令j()=arg H(e)恒延时滤波器：恒延时滤波器：p()或或g()是是不随不随变化
12、的常量，变化的常量，这时这时滤波器具有线性相位特性。滤波器具有线性相位特性。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院11()（负号是因为系统必有时延）（负号是因为系统必有时延）由于由于 FIR 滤波器的传递函数为滤波器的传递函数为:1010()()()cossinNjjnnNnH eh n eh nnjn w(w)01010()sin()arg()arctan()cosNjnNnh nnH eh nn 故故:线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时n 恒相延时和恒群延时同时成立恒相延时和恒群延时同时成立 要使要使p、g 都不随都不随 变化变化,()必须
13、是一条过原点直线必须是一条过原点直线北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院12于是于是:1010()sinsintan()cos()cosNnNnh nnh nn 1100()sincos()cossinNNnnh nnh nn 100()in()Nnh n sn h(0)sin()h(N-1)sinh(n)sin-nh(N-0 h(1)sinh(0)sin()h(N-1 h(1 1-(hN-1)(N-2)s)s)sinin-(-n)si(nN(N-1-n-2)N-1in 0)线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时北京邮电大学信息与通信工程学院北京
14、邮电大学信息与通信工程学院13可以证明，当可以证明，当 112 ()()(0nN-1)Nh nh Nn 且且 12()()pgN 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时上式成立，此时上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的滤波器的必要条件必要条件是：是：不管不管 N 为偶数，还是为偶数，还是 N 为奇数，系统为奇数，系统冲激响应冲激响应 h(n)都关于中心点都关于中心点(N-1)/2 偶偶对称对称。当。当 N 为奇数时对称中心轴位于整数为奇数时对称中心轴位于整数样点上样点上;当当 N 为偶数时对称中心轴位于非整为
15、偶数时对称中心轴位于非整数样点上。数样点上。h(n)为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数012N 7nh(n)h(n)为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数012N 6nh(n)北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院1402()于是有：于是有：1010()sincos()tancot2sin()()cosNnNnh nnh nn 1100j()r()H()e()()cossinNNjj nnnH eh n eh nnjn 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时n 只要求恒群延时成立只要求恒群延时成立 若只要求群延时若只要求群延时g()为一常数，则
16、为一常数，则相移特性为不过原点的直线。相移特性为不过原点的直线。0()2 1010()sin()arg()arctan2()cosNjnNnh nnH eh nn 故故北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院151100()coscos()sinsinNNnnh nnh nn 10()cos()0Nnh nn 可以证明，当可以证明，当 112 ()()(0nN-1)Nh nh Nn 且且 12()gN 上式成立，此时上式成立，此时故故线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院16FIR滤波器
17、单独满足恒定群延时的必要条件为：滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应冲激响应 h(n)对中心点对中心点(N-1)/2 成成奇对称奇对称。此时，无论。此时，无论 N 为奇为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2 个取样点的延迟，还将个取样点的延迟，还将产生产生 90o 的相移，通常这类滤波器又被称为的相移，通常这类滤波器又被称为 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的应用价值。应用价值。N-1()22 111122
18、2NNNhh Nh 当当 N 为奇数时为奇数时，故，故102Nh 012N 7h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)012N 6h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n)线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院1700,()1 2()(1)N h nh Nn 相相时时延延和和群群时时延延同同时时成成立立n 奇对称：奇对称：()对所有的频率成分都有一个对所有的频率成分都有一个 90相移。相移。因此，因此，有四种类型的有四种类型的 FIR DF：线性相移线性相移 FIR DF 约束条件
19、约束条件n 线性相位约束条件线性相位约束条件 对于任意给定的值对于任意给定的值 N，当，当 FIR 滤波器的滤波器的 h(n)相对其中心点相对其中心点(N-1)/2 是对称时，不管是偶对称还是奇对称，是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是且群延时都是=(N-1)/2 。n 偶对称偶对称：()为过原点的，斜率为为过原点的，斜率为-的一条直线的一条直线0,()221 2()(1)N h nh Nn 仅仅群群时时延延同同时时成成立立INIINIIINIVN 类类型型 ：h(n)h(n)偶偶对对称称，为为奇奇数数类类型型：h(n)h(
20、n)偶偶对对称称，为为偶偶数数类类型型：h(n)h(n)奇奇对对称称，为为奇奇数数类类型型：h(n)h(n)奇奇对对称称，为为偶偶数数北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院18线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type In h(n)偶对称，偶对称，N 为奇数（恒相时延、恒群时延为奇数（恒相时延、恒群时延 此时，由于此时，由于 h(n)序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）拆分（前后对称部分、中心点）：1111121200121()()()()2NNNNjwjw
21、jnwjNnnwjnwnnNH eh n eh n eh n ehe h(n)为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数012N 6nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:1111122(1)2001()()(1)2NNNjwjwjnwj NwjnwnnNH eh n eh Nn eehe 由对称条件由对称条件1()()h nh Nn 则则 H(ej)表示为：表示为：北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院19线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type I111220111220111220(1)11221
22、()()21()21()12c s2o2NNjjnNNjnNNjnj NjnNNjjjjwjnnnNH eh nheNehh nNehheeeeeneeNn 令令 12Nnn 则上式为则上式为 1122112()2 1011()2()cos 22()cos()NNjjNNjjrnnNNH eehhnnea nneH 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院20 由此可以看出其线性相位特性。由于由此可以看出其线性相位特性。由于 cos(n)对于对于=0、2都是偶对称，都是偶对称，所以所以幅度响应幅度响应 Hr()对对=0、2也是偶对称也是偶对称。线性相移线性相移 FIR DF
23、 频率响应：频率响应：Type I其中其中1()()21()2()2Na nh n0Na nhn n0 振幅响应：振幅响应：120rH()()cosNna nn 相频响应：相频响应：N-1()-2 0246800.20.40.60.81h(n)0246800.20.40.60.81a(n)0120123frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=9Hr(w)北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院21n h(n)偶对称，偶对称，N
24、 为偶数（恒相时延、恒群时延为偶数（恒相时延、恒群时延 由于由于h(n)序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下分成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）两部分（前后对称部分，中心点处无值）：线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IIh(n)为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数012N 7nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:由对称条件由对称条件1()()h nh Nn 则则 H(ej)表示为：表示为：1112200()()()()NnNNNjjnjn
25、jnnnH eh n eh n eh n e11221001()()()()NNjjnj NjnnnH eh n eh Nn ee 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院22 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II令令 2Nnn，则上式为：，则上式为：120112120122()cos()(jnj NwjjnnnNNNjH eh neneeNnhe 11212212122212()()()cos()()cos()()NNjwjwnNNjwjnrNH eehnnweb nnweH 其中其中22212()(),.,/Nb nhn nN（注意（注意
26、n 从从1 开始，即开始，即 b(0)=0，或没有定义），或没有定义）北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院23线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II 与所设计的与所设计的 b(n)或或 h(n)无关，恒为无关，恒为 0。这种类型（即这种类型（即 h(n)偶对称，偶对称，N为偶数）为偶数）不不能用于高通或带阻滤波器能用于高通或带阻滤波器。（2）由于）由于 cos(n-1/2)对于对于=是奇是奇对称对称，所以，所以，Hr(w)对对=也是奇对称；也是奇对称；以以=0、2为偶对称为偶对称。振幅响应：振幅响应：N2rn 11H()b(n)cos (n-
27、)2 相频响应：相频响应：N-1()-2 024600.20.40.60.81h(n)0246800.20.40.60.81b(n)01200.511.52frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=8n 从从1开始开始Hr(w)注意：注意：（1）在在 =处，有：处，有：21102()()cosNrnHb nn 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院24111111222(1)(1)0001111112222001()22()(
28、)(1)()11()2 sin()2()sin()2212()sin2NNNjjnj Njnjnj NjnnnnNNNNjjnnNjH eh n eh Nn eeh n eeeNNeh njneh nnnjNehn 1120Nn n h(n)奇对称，奇对称，N 为奇数（恒群时延为奇数（恒群时延 h(n)长度为奇数，拆分成前后两部分：长度为奇数，拆分成前后两部分：线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件 h(n)=-h(N-1-n)，得，得:1111210012()()()()NNNj
29、jnjnjnNnnnH eh n eh n eh n e012N 6h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n)北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院25Hr(w)线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III12Nnn，则上式为：，则上式为：111222()()()sin()NNj jjrnH eec nneH 其中其中1212212(),.,()/Nc nhnnN令令振幅响应：振幅响应：121()()sinNrnHc nn （）相频响应：相频响应：2N-1()-2 02468-0.4-0.200.20.40.6h(n)0246800.2
30、0.40.60.81c(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi n 从从1开始开始北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院26与与 c(n)或或 h(n)的值无关，因此，这种类型的滤波器的值无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、带不适用于低通、带阻或高通滤波器设计阻或高通滤波器设计，而且，而且，这说明，这说明 jHr(w)是纯虚数，对于逼近理想是纯虚数，对于逼近理想数字希尔伯特变换和微
31、分器数字希尔伯特变换和微分器，它是很有用的。理想的希尔伯特变换是一，它是很有用的。理想的希尔伯特变换是一个全通滤波器，它对输入信号产生个全通滤波器，它对输入信号产生 90 度的相移，它频繁用于通信系统度的相移，它频繁用于通信系统中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导。中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导。(2)由于由于 sin(n)对于对于=0、2 都是奇对称，所以，都是奇对称，所以，Hr(w)以以=0、2为奇对称为奇对称。注意：注意：(1)在在 =0 和和 处，有：处，有：1210()()sinNjrnH ec nn 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响
32、应：Type III北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院27线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IVn h(n)奇对称，奇对称，N 为偶数（恒群时延为偶数（恒群时延1122212()()()()sin()()nNNjwjjrH eed nneH 012N 7h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)其中其中21 2 322(),.,NNd nhnn211()d()sin-2NrnHnn 122N （）=北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院28线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IV0
33、2468-0.4-0.200.20.40.6h(n)0246800.20.40.60.81d(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi Hr(w)与与 d(n)或或 h(n)的取值无关，因此传的取值无关，因此传输函数输函数 H(z)在在 z=1 处为零点。显处为零点。显然，这种类型然，这种类型不能用于实现低通滤波不能用于实现低通滤波器器。又有。又有，所以这类滤波器，所以这类滤波器适用于设适用于设计希尔伯特变换和
34、微分器计希尔伯特变换和微分器。注意：注意：(1)在在 =0 处，有：处，有：21102()()sin()NjrnH ed nn (2)由于由于 sin(n-1/2)在在=处偶对称，在处偶对称，在0、2 是奇对称，所以，是奇对称，所以，Hr(w)以以=偶对称，偶对称，0、2为奇对称为奇对称。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院29一般形式：一般形式：()()()jjrH eeH 偶对称：偶对称：12()N 奇对称：奇对称：122()N （两个恒时延条件）（两个恒时延条件）（一个恒时延条件）（一个恒时延条件）(Hr()为为 的实函数的实函数)线性相移线性相移 FIR DF
35、频率响应：频率响应：小结小结北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院30四类线性相位FIR滤波器第一类FIR 系统是 的线性组合，在 时，易取得最大值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和带阻滤波器的 都是偶对称的。第三、四类FIR 系统是 的线性组合，在 时，的值为零，且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的滤波器，如Hilbert变换器、差分器等。请使用时注意。N最好取为奇数奇数，以便以中心点为对称。cosn0()jH e()h nsinn0()jH e北京邮电大学信息与通信工程学院北京
36、邮电大学信息与通信工程学院31n 一般的一般的 FIR DF 的零、极点：的零、极点：1111100()()()()()()NNnNNnNnnf zH zh n zzh n zz 在在z=0处，有一个（处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；）阶的极点，故滤波器稳定；其零点要求其零点要求 f(z)=0，根据代数理论，它为，根据代数理论，它为 N-1阶多阶多项式，应有项式，应有 N-1 个根，所以有个根，所以有 N-1 个零点。如果个零点。如果 h(n)为实数值，其根肯定是共轭对称的。为实数值，其根肯定是共轭对称的。线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布北京邮电大学信息与通信工
37、程学院北京邮电大学信息与通信工程学院321()()h nh Nn 1,.,0Nn11001()()()NNnnnnH zh n zh Nn z 令：令：m=N-1-n)()()()(1)1(10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN于是：于是：)()(1)1(zHzzHN线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布n 线性相移线性相移 FIR DF 的零极点：的零极点：如果如果 zi 是是 H(z)的零点，即的零点，即 H(zi)=0 则则 H(z-1)=0，即，即 zi-1 亦为亦为 H(z)的零点。的零点。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程
38、学院33n 上面提到上面提到 zi 肯定是共轭的，故肯定是共轭的，故 zi*亦必为其零点亦必为其零点n 于是零点有：于是零点有：11,*,*iiiiz z zz1-1Za1Za21/bb线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布总结总结:(1)一般情况，一般情况，ijiierz ，有四个零点，有四个零点：ijiierz ijiierz *ijiierz 11ijiierz 11*)(2)r=1，单位圆上的零点：，单位圆上的零点：iijijiezez -(共轭对共轭对)(3)位于实轴上的实数：位于实轴上的实数：b,1/b(实轴上的倒数对实轴上的倒数对)。(4)zi=1：单零点：单零点
39、11*iiiizzzz例例：设设FIR滤波器的系统函数为：滤波器的系统函数为：求出该滤波器的单位取样响应求出该滤波器的单位取样响应h(n)，判断是否具，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性和相位特性。有线性相位，求出其幅度特性和相位特性。)9.01.29.01(101)(4321zzzzzH解解：对对FIR数字滤波器，其系统函数为：数字滤波器，其系统函数为：)9.01.29.01(101)()(432110zzzzznhzHNnn1()1,0.9,2.1,0.9,110h n h(n)由的取值可知()(1),5h nh Nn N()jH e所以，该所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性，设
40、其频滤波器具有第一类线性相位特性，设其频率响应函数为率响应函数为1()02342()()()110.92.10.9101(2.1 1.8cos2cos2)10Njjj ngnjjjjjH eHeh n eeeeee 1()(2.1 1.8cos2cos2)10gH幅度特性函数为：幅度特性函数为：相位特性函数为：相位特性函数为：1()22N 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院36思路：思路：理想数字滤波器理想数字滤波器设计的设计的 FIR 数字滤波器数字滤波器()()jjnddnHeh n e 10()()NjjnnH eh n e窗窗函函数数截截短短()()dh nh
41、 n 要求：要求：线性相位线性相位尽可能降低逼近误差尽可能降低逼近误差FIR DF 窗口法（傅里叶级数法）窗口法（傅里叶级数法）hd(n)无限长，且非因果无限长，且非因果 h(n)有限长，且因果有限长，且因果 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院37n 设所要求的设所要求的 DF 的频率响应是的频率响应是 Hd(ej)，需要注意：需要注意：它可能它可能是低通、高通、带通和带阻是低通、高通、带通和带阻 FIR DF，没有特指某种类型，没有特指某种类型的数字滤波器。的数字滤波器。n 不管是何种不管是何种 FIR DF，它的频率响应是频域中的周期函数，它的频率响应是频域中的周
42、期函数，周期为周期为 2，所以它可以展开为傅氏级数形式：，所以它可以展开为傅氏级数形式：()()jjnddnHehn e 12()()jjnddh nHeed 窗口法：窗口法：基本原理基本原理 式中式中 hd(n)是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。由傅里叶级数理论可得：由傅里叶级数理论可得：北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院38因此，所要求的因此，所要求的 DF 的系统函数便可求得：的系统函数便可求得：显然，显然，Hd(z)是非因果的，且是非因果的，且 hd(n)的持续时间为的持续时间为-+，物理，物理上不可实现。上不可实现。n
43、我们可以采用我们可以采用逼近逼近 Hd(ej)的方法的方法 首先把首先把 hd(n)先截短为有限项先截短为有限项，把，把 hd(n)截为截为2M+1项，得：项，得：()()nddnHzhn z 窗口法：窗口法：基本原理基本原理1()()MndnMH zh n z ()()nddnHzh n z 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院39 然后把截短后的然后把截短后的 hd(n)右移，使之变成因果性的序列。右移，使之变成因果性的序列。令令 H(z)等于等于 H1(z)乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)=hd(n-M),n=0,1,2,.,2M，则，则 210()()(
44、)MMMn MndnndMhH zzH zhnMn zz 20()()MnnH zh n z 20()()MjjnnH eh n e 频率响应频率响应 z=ej窗口法：窗口法：基本原理基本原理n显然显然H(z)是是物理可实现物理可实现的的其冲激响应其冲激响应 h(n)的的持续时持续时间间也是也是有限有限的的选择选择 hd(n)=hd(N-1-n)，保证保证H(z)具有线性相位具有线性相位。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院40对对 hd(n)的截短必然产生误差，即以的截短必然产生误差，即以|H(ej)|近似近似|Hd(ej)|。定义逼近误差为定义逼近误差为均方误差均方
45、误差：2212|()()|jjdHeH ed 而而 Hd(ej)可以展开为：可以展开为：1012()()cos()sin()jjnddnnnnnaH eh n eanbn 式中式中:020();()()()()dnddnddahah nhnbj h nhn窗口法：窗口法：性能分析性能分析n|H(ej)|对对|Hd(ej)|的逼近的逼近北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院41 因为因为|H(ej)|是对是对 hd(n)截短而产生的，假定：截短而产生的，假定：0112()cos()sin()MMjnnnnAH eAnBn 即当即当|n|M 时，时，An=0,Bn=0。所以把
46、上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：22222001112MMnnnnnnnnn MaAaAbBab 由于上式中每一项都是正的，由于上式中每一项都是正的，所以，只有当所以，只有当 001 2,.,nnnnAaAaBb nM时时2min 最小。最小。窗口法：窗口法：性能分析性能分析北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院42说明：说明：当用当用|H(ej)|Hd(ej)|时，要使时，要使 2=min，|H(ejw)|的的截短后的单位取样响应截短后的单位取样响应 h(n)的系数必须等于所要求的幅频的系数必须等
47、于所要求的幅频响应响应|Hd(ejw)|展成傅里叶级数的系数展成傅里叶级数的系数 hd(n)。有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近 其逼近误差为：其逼近误差为：22|()dnMhn 截短的长度截短的长度 M 越大，逼近误差越大，逼近误差2 愈小愈小（因为（因为 hd(n)值愈小）。值愈小）。窗口法：窗口法：性能分析性能分析北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院43n 将将 hd(n)截短：截短：0(),|(),dh n nMh n else相当于将相当于将 hd(n)与一窗函数与一窗函数 wR(n)相乘，即相
48、乘，即()()()dRh nh n wn窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应其中其中10,|(),R nMwn else 在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够“看到看到”多少个原来的多少个原来的冲激响应，冲激响应，“窗窗”这个用词的含义也就在此。这个用词的含义也就在此。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院44n 窗函数的频谱窗函数的频谱 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应jM-jM-jMjjnjnRR-jnn-M2M+12M+1-jj-j222-jj-j222e-eeW(e)w(n)ee1-e(2M1)Nee-esinsin22
49、sinsinee-e22 =此矩形窗谱为一钟形偶函数，此矩形窗谱为一钟形偶函数，在在+2/N 之间为其主之间为其主瓣，主瓣宽度瓣，主瓣宽度 =4/N，在主瓣两侧有无数幅度逐渐在主瓣两侧有无数幅度逐渐减小的旁瓣减小的旁瓣,见图所示。见图所示。22sin(/)()sin(/)jRNWe 2/N-2/N主瓣主瓣第第1个旁瓣个旁瓣第第2个旁瓣个旁瓣北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院451212()()()()()jjjdRjjdRH eHeWeHeWed n 截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应为便于
50、分析，我们假定为便于分析，我们假定|Hd(ejw)|是理想低通滤波器是理想低通滤波器 LPF。式中积分等于式中积分等于由由 c 到到 c 区间内区间内 WNej(w-)下的面积，随着下的面积，随着变化，变化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间间，使得此面积发生变化，使得此面积发生变化，也即也即|H(ejw)|的大小产生波动。的大小产生波动。-wc0wc()jRWe 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院4602N2NWR()-c0cHd()0.50.50.08950.08950.04680.046
