1、义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 三角形的证明等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定勾股定理等边三角形的性质等边三角形的判定直角三角形直角三角形的性质两个直角三角形全等的判定（HL）直角三角形的判定等边三角形勾股定理的逆定理垂直平分线的性质角平分线的性质等腰三角形等腰三角形图形图形性质性质判定判定等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形BACDABC两腰相等两腰相等等边对等角等边对等角三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形两边相等两边相等等角对等边等角对等边三边相等三边相等三角相等都等于三角相等都等于606
2、0度度三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形三边相等三边相等三角相等三角相等有一个角是有一个角是6060的等腰的等腰三角形三角形练习1.如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC，_=_;_=_.(2)AD是中线，_;_=_.(3)AD是角平分线，_ _;_=_.BACDBADCAD BDCDADBCBADCADADBCBDCDABCD 如图，在ABC中，点D在AC上，A=300,且BD=BC=AD，求DBA、BDC、C、ABC的的度数.练习1ABCD 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.变式练习 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.若
3、ADAE，求证：BDCE；解析：过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；图ABD GEC练习2证明：如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；ABD GEC一一.直角三角形的性质：直角三角形的性质：直角三角形：有一个角是直角的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。1.1.直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余；3.3.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；(勾股定理勾股定理)2.2.直角三角形中直角三角形中,30,30O O角所对直角边是斜边的
4、一半；角所对直角边是斜边的一半；直角三角形直角三角形二二.直角三角形的判定：直角三角形的判定：1.1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。2.2.有两个角是互余的三角形是直角三角形。有两个角是互余的三角形是直角三角形。3.3.若三角形中，较小两边的平方和等于较大边若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。理的逆定理）。三三.直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：AASAAS、ASAASA、SASSAS、SSSSSS、HLHL斜边和一条直角边对应相等的两
5、个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.ABCD练习练习3.3.已知：如图，已知：如图，A=90A=90，B=15B=15，BD=DC=10cm.BD=DC=10cm.求求ACAC的长的长.证明:两腰上的高相等的三角形是等 腰三角形AB=AC求证:已知：如图,在ABC中,BP,CQ是 ABC两腰上的高，BP=CQ,ACBPQ练习4OOB=OC求证:已知：如图,在ABC中,BP,CQ是 ABC两腰上的高，BP=CQ,ACBPQ变式练习 O几何证明几何证明 依据依据演绎推理演绎推理 定义定义公理公理定理定理命题命题逆命题逆命题互逆互逆逆定理逆定理互逆互逆线段的垂直平分线及其逆
6、定理线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理角的平分线及其逆定理 线段的垂直平分线线段的垂直平分线角平分线角平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等个端点的距离相等.MNAB,CA=CB(MNAB,CA=CB(已知已知)PA=PBPA=PB（线段垂直平分线上的任（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端意一点到这条线段两个端点的距离相等）点的距离相等）线段的垂直平分线线段的垂直平分线ACBPMN 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上.AB=AC(AB
7、=AC(已知已知)点点A A在线段在线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平等的点，在这条线段的垂直平分线上）分线上）在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 A AB BO O1 12 2P PE ED DCOPOP平分平分AOBAOBPDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PD=PE PD=PE（在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）这个角两边的距离相等）角平分线角平分线A AB BO O1 12 2P PE ED D C C 在一个角的内部（包括
8、顶点）且到角的两在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上边距离相等的点，在这个角的平分线上.OPOP平分平分AOBAOBPDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PD=PE.PD=PE.（在一个角的内部（包（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个距离相等的点，在这个角的平分线上）角的平分线上）.练习5.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，ABD的周长等于13厘米，则ABC的周长是 .ABDEC18厘米解题技巧：常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线
9、段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.变式练习.如图，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6cm，则DEB的周长为（）A.4cm B.6cm C.10cm D.不能确定DCAEB解：AD 是BC 的垂直平分线，AB=AC，BD=CD.点C 在AE 的垂直平分线上，AC=CE,AB=AC=CE,AB+BD=DE.如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E 3线段垂直平分线考点5例例 已知，如图在等腰已知，如图在等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，O O是底边是底边BCBC的中点，的中点，ODABODAB于于D,OEACD,OEAC于于E.E.（1 1）ODOD与与OEOE有什么数量关系；有什么数量关系；AD DCB BEOM（2 2）若）若BMBM是一腰上的高，是一腰上的高，BMBM与与ODOD，OEOE有什么数量关系，请说明理由有什么数量关系，请说明理由.不良的习惯会随时阻碍你走向成不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。名、获利和享乐的路上去。-莎士比亚莎士比亚
