1、北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-专题二 线段的垂直平分线及角平分线的应用类型一 垂直平分线的性质1. 如图，在ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（ ）第1题图A. AC的垂直平分线上B. BAC的平分线上C. BC的中点D. AB的垂直平分线上2. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点3. 如图，在ABC中，AE=CE=1，DEAC，BCD的周长为5，则ABC的周长是 .第3题图4. 如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直
2、线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB=3，BC=1，则BCD的周长为 .第4题图5. 如图，在ABC中，C=90 ，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.（1） 判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2） 若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长.类型二 垂直平分线的逆定理6. 如图，点E是AOB的平分线上的一点，ECOA，EDOB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是（ ）A. ECD=EDCB. OC=ODC. OCD是等边三角形D. OE是线段CD的垂直平分线7. 如图，已知点E是AOB的平分
3、线上的一点，ECOB，EDOA，点C，D是垂足，连接CD，交OE于点F.（1） 请回答：OE是CD的垂直平分线吗？说明理由.（2） 若AOB=60 ，猜想OE，EF之间有什么数量关系？说明理由.类型三 角平分线的性质8. 已知，如图，C=90 ，B=30 ，AD是ABC的角平分线.（1） 求证：BD=2CD；（2） 若CD=2，求ABD的面积.9. 证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知、求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.（1） 已知：如图，OC是AOB的角平分线，点P在OC上， ， ，求证： .（请
4、你补全已知和求证）（2） 写出证明过程.类型四 角平分线的判定10. 如图，点D是EAF平分线上的一点，若ACD+ABD=180 ，请说明CD=DB的理由.11. （1）【感知】如图1，点P是AOB的平分线上一点，过点P作PCOA于点C，PDOB于点D，证明PC=PD（不需要证明）.图1（2） 【探究】如图2，在ABC中，C=90 ，AD是BAC的平分线，点E在AC边上，AED+B=180 .图2 求证：DB=DE； 请判断AB，AE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由.（3） 【拓展】如图3，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BAC=80 ，请直接写出CA
5、P的度数.图3类型五 尺规作图12. 如图，ABC是等腰直角三角形，A=90 .（1） 尺规作图：作ACB的平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2） 在（1）所作的图形中，延长CA至点E，使AE=AD，连接BE.求证：CD=BE，且CDBE.13. 作图题：（1） 为进一步打造“宜居北京”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图1所示.请利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置；（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）图1（2） 如图2，
6、两条公路OA和OB相交于O点，在AOB的内部有工厂C和D，现要在AOB的内部修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）图2答案专题二 线段的垂直平分线及角平分线的应用类型一 垂直平分线的性质1A2D37445（1） 解：DEDP.理由如下：PD=PA，A=PDA.EF 是BD 的垂直平分线，EB=ED，B=EDB.C=90 ，A+B=90 ，PDA+EDB=90 ，PDE=18090=90 ，DEDP.（2） 如图，连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8x.C=PDE=9
7、0 ，PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，即42+8x2=22+x2，解得x=4.75，即DE=4.75.类型二 垂直平分线的逆定理6C7（1） 解：OE是CD 的垂直平分线.理由如下： 点E 是AOB 的平分线上的一点，ECOB，EDOA，ED=EC.在ODE 和OCE 中，AOE=BOE,ODE=OCE,ED=EC,ODEOCEAAS.OD=OC，DOC是等腰三角形.OE 是DOC 的平分线，OE 是CD 的垂直平分线（等腰三角形三线合一）.（2） OE=4EF，理由如下：OE 是AOB 的平分线，AOB=60 ，AOE=BOE=30 .ECOB，EDOA，OE=2DE，ODF=OED
8、=60 ，EDF=30 ，DE=2EF，OE=4EF.类型三 角平分线的性质8（1） 证明：如图，过点D 作DEAB 于点E，C=90 ，AD是ABC 的角平分线，DE=CD.又B=30 ， 在RtBDE 中，DE=12BD，BD=2DE=2CD.（2） 解：C=90 ，B=30 ，AD是ABC 的角平分线，BAD=B=30 ，AD=BD=2CD=4， 在RtACD 中，AC=AD2CD2=23，ABD 的面积为12BDAC=12423=43.9（1） PDOA 于点D； PEOB于点E； PD=PE（2） 证明：在OPD 和OPE 中，POD=POE,PDO=PEO=90,OP=OP,OPD
9、OPEAAS，PD=PE.类型四 角平分线的判定10解：如图，过点D 分别作AE，AF的垂线，交AE 于点M，交AF 于点N，则CMD=BND=90 .AD 是EAF 的平分线，DM=DN.ACD+ABD=180 ，ACD+MCD=180 ，MCD=NBD.在CDM 和BDN 中，CMD=BND=90 ，MCD=NBD，DM=DN，CDMBDN，CD=DB.11（2） 证明：过点D 作DFAB 于点F，如图.AD 是BAC 的平分线，C=90 ，DFAB，CD=FD，DFB=C=90 .AED+B=180 ，且AED+DEC=180 ，B=DEC.在DCE 和DFB 中，DEC=B,C=DFB
10、,CD=FD,DCEDFBAAS，DE=DB. 解：AB，AE，CE之间的数量关系为AB=AE+2CE.理由如下：由知DCEDFB，CE=BF.C=90 ，DFAB，ACD=AFD=90 .AD 平分BAC，CAD=FAD.AD=AD，ACDAFDAAS.AF=AC.AB=AF+BF，AB=AC+CE.AC=AE+CE，AB=AE+CE+CE=AE+2CE.（3） 解：过点P 作PHBA 交BA 延长线于点H，PGAC于点G，PKCD于点K，如图.CP 平分ACD，PGAC，PKCD，PG=PK.BP 平分ABC，PKCD，PHBA，PK=PH，PG=PH，AP 平分HAC，CAP=12HAC.BAC=80 ，HAC=180BAC=100 ，CAP=50 .类型五 尺规作图12（1） 解：如图1，CD即为所作.图1（2） 证明：如图2，延长CD，交BE 于点F.图2ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，EAB=BAC=90 .又AE=AD，BAECAD，CD=BE，ABE=ACD.ABE+E=90 ，ECF+E=90 ，EFC=90 ，即CDBE.13（1） 解：如图1，连接AB，作出线段AB 的垂直平分线，在矩形中标出点M 的位置.图1（2） 如图2，点P即为所求.图2
