1、 李文林第十章 分析的严格化-01一一、分析基础的严密化分析基础的严密化19世纪分析严格化世纪分析严格化,波尔察诺波尔察诺(1781-1848)1817年年发表发表纯粹分析证明纯粹分析证明,柯西柯西(1789-1851)1821年年分析教程分析教程,1823年年无限小计算教程无限小计算教程,魏尔斯特魏尔斯特拉斯的拉斯的语言语言,戴德金的单调有界数列收敛和实数分戴德金的单调有界数列收敛和实数分割理论割理论,康托尔的集合论可数集合与不可数集合康托尔的集合论可数集合与不可数集合,是实数集的基数是实数集的基数.02狄利克雷（18051859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune
2、,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）(一一)单复变函数单复变函数 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。(二二)分析基础分析基础 柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布
3、给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析即无穷小分析，简称分析)以以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。成功地建立了极限论。在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要
4、错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。的定义和一些判别法。柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤
5、收敛，其极限就是方程的所求解。(三三)常微分方程常微分方程数理弹性理论的奠基人之一分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815-1897)，德国数学家 1.在数学分析方
6、面在数学分析方面 他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。他改进了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。他改进了波尔查诺柯西、阿贝尔的方法，早在了波尔查诺柯西、阿贝尔的方法，早在1841年至年至1856年，作年，作中学教师的魏尔斯特拉斯，就给出了今天大学数学分析教科书中学教师的魏尔斯特拉斯，就给出了今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义（中一直沿用的连续函数的定义（-定义），以及完整的一套类定义），以及完整的一套类似的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了（似
7、的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了（1860）：）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。在任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。在1860年的一次演年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。成功地为微积分奠定来定义无理数，从而得到了整个实数系。成功地为微积分奠定理论基础的理论。理论基础的理论。为了说明直觉的不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在
8、一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。2.在解析函数方面 他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西、黎曼一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为
9、在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。3、在椭圆函数方面 椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函
10、数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。4、在代数领域、在代数领域 1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。系，并将这些结果推广到了双线性型。5、在变分学方面、在变分学方面 1879年，他证明了弱变分的年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值个条件，即函数取得极
11、小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。它成果。6、在微分几何方面、在微分几何方面 魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。魏尔斯特拉斯不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家，他高尚的风范和精湛的艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。他培养了一大批有成就的数学人才，其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅，俄国女数学家、作家、政论家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Ama
12、ndus，1843-1921，法国数学家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，法国数学家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846-1927，瑞典数学家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851-1935，法国数学家）、L.柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837-1921.，法国数学家）等。lim()0n mnnaa 尤利乌斯尤利乌斯威廉威廉理查德理查德戴德金（戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，18311916）最伟大的德国
13、数）最伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。戴德金学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。戴德金是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。18621912年任不伦瑞克高等技术学校教授，发展了年任不伦瑞克高等技术学校教授，发展了有理数和无理数可以构成一个（无空隙的）实数的连续有理数和无理数可以构成一个（无空隙的）实数的连续系统，前提是实数和直线上的点有着一对应的关系。系统，前提是实数和直线上的点有着一对应的关系。戴德金分割戴德金分割:假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称
14、为有理数的一个分割。戴德金在数学上有很多新发现。不少概念和定理以他的名字命名。主要贡献有以下两个方面：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术的定义。1872年，他的连续性与无理数出版，使他与G.康托尔、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人。在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论，将E.E.库默尔的理想数加以推广，引出了现代的“理想”概念，并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理。今天把满足理想唯一分解条件的整环称为“戴德金整环”。他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响。对于任一分割,必有3种可能,其中有且只有1种成立:A有一个最大元
15、素a，B没有最小元素。例如A是所有1的有理数，B是所有1的有理数。B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有1的有理数。B是所有1的有理数。A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。前面2种情况中，分割是有理数。这样，所有可能的分割构成了数轴上的每
16、一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。他于1916年2月12日在不伦瑞克去世。尽管他的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但仍然影响着现代数学的发展。格奥尔格康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845-1918）德国数学家，集合论
17、的创始人.康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年，康托尔两次在数学杂志上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。康托尔以一一对应为原则，提出了集合等价的概念，将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都
18、称为可列集合。1874年他在数学杂志上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。1872年他在数学年鉴发表了三角级数中一个定理的推广，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。以后，他又在数学年鉴和数学杂志两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应
19、，它就是无穷的，给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上，康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，18591919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，18651963），报告康托尔对他的工作的重要作用。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)
20、高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（18811966.）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。1873年康托尔给戴德金的一封信中提出实数集合是否可列的问题，不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数
21、集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。克罗内克（克罗内克（Kronecker，Leopold；18231891）德国数学家。对代数和代数数论，特别是椭圆函数理论有突出贡献。克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。克罗内克定理克罗内克定理 设为正无理数，为实数，则对任给正数，都存在两个正整数m,n,使得 n-m+。=0的特殊情况称为狄利克雷定理。克罗内克的数学观对后世有极大影响。他主张分析学应奠基于算术，而算术的基础是整数。他的名言是：“上帝创造了整数，其余
22、都是人做的工作”，反映了他对当时的分析学持批判态度。他作为直觉主义的代表人物，还曾极力反对G.康托尔的集合论。-李文林第十章 分析的严格化-02分析的扩展（一）复分析的建立（一）复分析的建立 德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。黎曼（18261866）Riemann，在1858年发表的关于素数分布的论文中，研究了黎曼函数，给出了函数
23、的积分表示与它满足的函数方程，他提出著名的黎曼猜想至今仍未解决。另外，他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。黎曼首先提出用复变函数论特别是用函数研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。（二）解析数论的形成狄利克雷（18051859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献，尤以分析、数论、位势伦为最.狄利克雷函数、狄利克雷级数、狄利克雷系数、狄利克雷指数、狄利克雷数据、狄利克雷型、狄利克雷抽屉原理、狄利克雷变分问题、狄利克雷除数问题、狄利克雷代数、狄利克雷范数、狄利
24、克雷分布、狄利克雷积分、狄利克雷核、狄利克雷空间、狄利克雷间断乘子、狄利克雷铺砌、狄利克雷区域、狄利克雷特征标、狄利克雷原理，以及多种狄利克雷定理等等.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。1863年狄利克雷撰写了数论讲义，对高斯划时代的著作算术研究作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。18381839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在分析方面，他最卓越的
25、工作是对傅里叶级数收敛性的研究.他在18221825年期间在巴黎会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.日本数学家丸山哲朗说：“把任意函数用三角级数表示出来的傅里叶方法，被狄利克雷所继承，他给出了傅里叶级数的收敛性证明.”即1829年在其论文关于三角级数的收敛性中，第一次对傅里也级数的收敛性给出了严谨的证明，得到函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件:“对于在-,内有定义且有限的，逐段连续且逐段单调的函数f(x),其傅里叶级数在（-,）内收敛于,在端点x=处收敛于.这一研究还促使他将函数作了一般化的推广.他在1829年给出如下具有典型意义的例子：1837年，狄利克雷证明了：对于一个绝对收
26、敛的级数，可以把它的项加以组合或重新排列，而不改变原级数的和.并且举例说明一个条件收敛级数经过一定的重新排列，而使其收敛和发生改变，例如：(1)将其重新排列 +.(2)(即（2）中的项是（1）中的头两个正项之后接第一个负项，然后是其次两个正项之后接第二个负项，如此等等)可以验证重新排列后的级数(2)式收敛于 .他曾明确指出，由连续函数构成的函数项级数，其和函数未必是连续函数.1837年，他在证明每个算术序列a+nb(式中a与b互素)包含无穷多个素数时，创立了狄利克雷级数：式中 是复数，他还证明了在序列a+nb中的素数的倒数之和是发散的.18381839期间，他得到了确定二次型类数的公式.他用“
27、若干在n个抽样中，存在n+1个事物，那么至少在1个抽样中，至少包含2个事物”的狄利克雷抽样法，阐明代数数域的单位群的结构.狄利克雷发展了代数数域中关于单位的一般理论，他的数论讲义(1863年)及其补编中有许多关于理想方面的重要内容.在此书第三版中，他还对阿贝尔群的特征指标作了一般性的描述.在1841年，他证明了关于在复数a+bi的级数中的素数的一个定理.他在20岁时的第一篇数学论文中，就证明当n=5时，费马大定理是正确的，但勒让德指出他的证明不完全，狄利克雷把自己的证明修改后，得出了完整的证明并于1828年发表，当时他年仅23岁.素数定理素数定理（三）数学物理方程让让巴普蒂斯巴普蒂斯约瑟夫约瑟
28、夫傅立叶傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830），法国数学家、物理学家。提出任一函 数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。柯瓦列夫斯卡娅（，18501891）俄国女数学家。德国哥廷根大学哲学博士。曾任瑞典斯德哥尔摩大学教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要贡献。1888年因解决刚体绕定点旋转问题而获得法兰西科学院鲍廷奖，并成为圣彼得堡科学院院士，是俄国历史上获此称号的第一个女性。历史上的首位数学女博士历史上的首位数学女博士 柯瓦列夫斯卡娅呕心沥血，为数学的发展做出了重要贡献。索菲娅一生只发表过1
29、0篇数学论文。在两段时间内完成的：一是从1871年到1874年，在导师魏尔斯特拉斯教授指导下学习数学。论文重点基本上是放在分析中的理论问题上；二是从1881年至去世，研究重点基本上是在力学和数学物理方法上。就数学领域而言，柯瓦列夫斯卡娅最重要的贡献有两个：一是关于偏微分方程中现在称为柯西柯瓦列夫斯卡娅定理的证明，这是她1874年向哥廷根大学提出的三篇论文之一；二是关于刚体统定点旋转问题的工作，这使她在1888年获得法国科学院奖。柯瓦列夫斯卡娅的第一项工作属于偏微分方程领域。这些方程牵涉到一个多变量函数。这种函数的一个偏导数就是这个函数关于某一自变量的变化率。偏微分方程被看成是纯数学与应用数学的
30、基本领域。在关于偏微分方程的理论一文中，索菲娅柯瓦列夫斯卡娅证明了，在某种条件下一类给定的偏微分方程有且仅有一解。法国科学家柯西在1842年已经提出这个问题，并且给出了一个解答，但是1873年至1874年间，无论是魏尔斯特拉斯教授还是索菲娅柯瓦列夫斯卡娅都不知道他的工作。实际上，直到1875年法国人达布发表了一篇与索菲娅柯瓦列夫斯卡娅的结果类似的论文时，数学家们还没有普遍知道柯西关于这个问题的工作。在一场以魏尔斯特拉斯代表索菲娅为一方，埃尔米特代表达布为另一方所进行的确保优先权的争论中，柯西的解答才得以发现。索菲娅柯瓦列夫斯卡娅的结论及简明扼要的表述赢得了专家们的称赞。柯瓦列夫斯卡娅还曾经考察
31、了热传导方程，发现了某些偏微分方程即使有“形式幂极数”解，也没有分析解。柯西柯瓦列夫斯卡娅定理对于偏微分方程论是基本的，它是偏微分方程方面所有未来研究的起点。当代俄国数学家奥莱尼克对此曾表示同意，并且说：“柯瓦列夫斯卡娅的工作标志着偏微分方程一般理论的发展的开端。”索菲娅柯瓦列夫斯卡娅最重要的研究工作中的另一主题是关于刚体绕定点旋转这一经典问题。摆、陀螺与回转仪是这种类型的运动的例子。索菲娅柯瓦列夫斯卡娅基本上是从她开始数学生涯时就对这一问题感兴趣，并且一直感到借助于阿贝尔函数是可以解决这一问题的。数学家们对于分析刚体相对于定点的运动的研究已经有100多年的历史，但都没有解决这一难题，因此，它
32、被称为“数学水妖”。欧拉、勒让德、泊松和雅可比研究了两种经典的情况。柯瓦列夫斯卡娅分析了这个问题的第三种情况。她研究的这类刚体，难度是最大的。索菲娅柯瓦列夫斯卡娅的答案不但正确，而且推理过程清晰、简洁，使人一目了然。这是与她对阿贝尔函数透彻的掌握程度有关，这使得她的论证过程显得轻而易举、势如破竹。一位数学家评论了她分析问题的方法说：“她处理方法的聪明之处，反映在她机敏地想出了从简单逐渐转化为更复杂的路子，反映在她把非常困难的问题转化成不太困难问题的能力。”索菲娅柯瓦列夫斯卡娅的三篇著名的论文中，有一篇论述的是把阿贝尔积分化简成较简单的椭圆积分。对于这一问题，她使用了一些魏尔斯特拉斯的最新成果。
33、人们评价说她“以高度的技巧性有效地解决了一个很困难的问题”。索菲娅柯瓦列夫斯卡娅的第三篇论文，是论述土星光环的形状。这是古典天文学的一个问题。她首先假设这个环是流体的，然后在这一假设之下作了运算，她改进了拉普拉斯关于土星环模型的理论。拉普拉斯确认这些土星环是椭圆形的，索菲娅柯瓦列夫斯卡娅确定这些环必然是卵体形的，并且以某种方式显示出方向性。尽管后来的科学研究表明，她的结论并非完全正确，但她所使用的方法却具有实际意义，并为其他科学家所采用。I.L.富克斯（富克斯（1833-1902）I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833-1902），德国数学家。1858年获柏林大
34、学博士学位。1866年任教授，先后在炮兵工程学校（1867）、格廷根（1874）、海德堡（1875）和柏林（1882）等地的大学执教。1882年当选为科学院院士。1892年任纯粹与应用数学杂志编辑。他是魏尔斯特拉斯的学生，上学时受库默尔和魏尔斯特拉斯影响研究函数论，也曾一度倾心高等几何与数论，后来探讨的重点转到微分方程理论。富克斯在常微分方程的奇点理论方面，做出了重要贡献。19世纪中期，奇点邻域内的解的问题成为常微分方程理论世纪中期，奇点邻域内的解的问题成为常微分方程理论的主要研究课题。富克斯在的主要研究课题。富克斯在1866年的一篇论文中指出，在年的一篇论文中指出，在奇点邻域内的解可以用级数
35、表出。研究这一问题的理论被奇点邻域内的解可以用级数表出。研究这一问题的理论被称为线性微分方程的富克斯理论。正是有了线性微分方程称为线性微分方程的富克斯理论。正是有了线性微分方程的富克斯理论，使得数学家们成功地扩展了能明显积分的的富克斯理论，使得数学家们成功地扩展了能明显积分的线性常微分方程类。这一理论的另一个重要意义，就是亨线性常微分方程类。这一理论的另一个重要意义，就是亨利利庞加莱庞加莱(H.Poincar)和克莱因（和克莱因（F.Klein，）由此引进，）由此引进了一个新概念了一个新概念自守函数，成为一个新的研究课题。它不自守函数，成为一个新的研究课题。它不仅对各种应用是重要的，而且在微分
36、方程理论本身中也扮仅对各种应用是重要的，而且在微分方程理论本身中也扮演着重要的角色，自守函数中有一类重要者称为富克斯函演着重要的角色，自守函数中有一类重要者称为富克斯函数。这类函数在一种线性变换类作用下是不变的，这个变数。这类函数在一种线性变换类作用下是不变的，这个变换形成一个群，叫做富克斯群。这说明富克斯在线性常微换形成一个群，叫做富克斯群。这说明富克斯在线性常微分方程方面的贡献有深远的影响。分方程方面的贡献有深远的影响。亨利亨利庞加莱庞加莱(Jules Henri Poincar)法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854-
37、1912。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他被公认是域。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的世纪和当今的数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研究是数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研究是牛顿以来的第二
38、个伟大的里程碑，他对电子理论的研究牛顿以来的第二个伟大的里程碑，他对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。被公认为相对论的理论先驱。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，
39、它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在18811886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以
40、后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。庞加莱这一工作究竟给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：第一第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分(uniform first integral)。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算
41、机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。第二第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分(invariant integrals)的概念，并且使用它证明了著名的回归定理(recurrence theorem)。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象(first return map)的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristic expon
42、tents)，解对参数的连续依赖性(continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。第三第三，庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptotic solutions)，同宿轨道(homoclinic orbits)和异宿轨道(hetroclinic orbits)，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学
43、家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形(stable manifold)和不稳定流形(unstable manifold)正态相交(intersects transversally)所引起的同宿交错网(homoclinic tangle)，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。庞加莱对数学物理和偏
44、微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文，18951904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。庞加莱的思想预示了德拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱
45、猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的有理数域上的代数几何学一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱伯克霍夫维特定理。庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群
46、（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。庞加莱的哲学著作科学与假设、科学的价、科学与方法也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，
47、并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。阿达马 他早期就致力于把 A.-L.柯西在分析学上的局部理论推广到全局。在复域里其博士论文泰勒级数所定义的函数的解析开拓(1892)第一次把集合论引进复变函数论，更简单地重证了柯西有关收敛半径的结果；并探索了奇点在收敛圆上的位置及其性质，从而使收敛圆外的解析开拓更切实可行。这些成果至今仍是复变函数论的基本内容。他和他学生S.曼德尔勃罗伊合着泰勒级数及其解析开拓(1901)已成为经典著作。他在研究函数的极大模时得到了着名的三圆定理，并应用到整函数的泰勒级数系数极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系上，完善了(J.-)H.庞加莱的结果，获
48、得了1892年法国科学院大奖。他还证明了黎曼函数的亏格为零(1896)，对黎曼猜想的解决作出了贡献。证明了素数定理，从而建立解析数论的基础。素数定理素数定理 在实域里，他的贡献体现在常微分方程定性理论、泛函分析、线性二阶偏微分方程定解问题和流体力学上。在常微分方程方面，他用不同的方法稍后于.李亚普诺夫独立地证明了有关稳定性的结果。庞加莱的定性理论就是把常微分方程柯西问题的局部结果推广到全局。阿达马认为这个推广之所以成为可能，是因为庞加莱得到阿达马认为这个推广之所以成为可能，是因为庞加莱得到E.伽罗瓦用群处理代数方程解法的思想的启示，这种思想使他伽罗瓦用群处理代数方程解法的思想的启示，这种思想使
49、他关心并重视泛函分析工作。他在线性泛函的表示问题上的结关心并重视泛函分析工作。他在线性泛函的表示问题上的结果，开创里斯定理的先河。果，开创里斯定理的先河。1908年他关于泛函微商问题的论年他关于泛函微商问题的论文获巴黎科学院奖，他在这篇论文中得到了文获巴黎科学院奖，他在这篇论文中得到了u0的格林函的格林函数的一个非线性积分方程的重要成果，他注意到这个方程与数的一个非线性积分方程的重要成果，他注意到这个方程与边界边界s有关，而与方程无关，这至今还是泛函分析的一个重要有关，而与方程无关，这至今还是泛函分析的一个重要课题。他的课题。他的变分学教程变分学教程一书奠定了泛函分析的基础。一书奠定了泛函分析
50、的基础。1920年在泛函分析会议上作的报告年在泛函分析会议上作的报告泛函分析所起的科学作泛函分析所起的科学作用用是有影响的文献。他的行列式定理在是有影响的文献。他的行列式定理在E.I.弗雷德霍姆的弗雷德霍姆的证明中居重要地位。在偏微分方程方面，他坚持柯西提倡的证明中居重要地位。在偏微分方程方面，他坚持柯西提倡的定解问题方向，明确了定解问题的含义，完善了适定性的要定解问题方向，明确了定解问题的含义，完善了适定性的要求。他得出根据二阶方程的特征表达式分型求。他得出根据二阶方程的特征表达式分型(椭圆、双曲、抛椭圆、双曲、抛物物)的结论。那么，这三个型方程有没有共同点呢的结论。那么，这三个型方程有没有
