1、2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社1第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 5.1 概率及其相关概念概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社2确定性现象：确定性现象：在一定的条件下必然发生现象。如，微积分学的研究对象就是确定性现象。不确定性现象：不确定性现象：事先无法预料的现象。如，抛一枚硬币，究竟是正面向上还是反面向上事先 无法预料；概率论：概率论：是探讨随机现象的一门学科。什么是
2、什么是概率论概率论2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社3事件事件：指任何当时或将来可能存在的事情。比如，两千年前埃及夏季的降雨情况。必然事件必然事件：指在一定条件下肯定发生的事件。比如，三角形的内角和是180。随机事件随机事件：单独地看完全是随机发生的，发生的可能性有大有小的事件。比如，抛一枚硬币落下时是正面朝上还是反面朝上5.1.1 5.1.1 随机事件随机事件2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社4概率概率：是对随机事件发生的可能性或机会的一种测量。（介于0和1之间的一个数）注意：不可能发生的事件概率为0，肯定发生的事件概率为1。反之不成立！例5.
3、1.1 掷一颗骰子，问出现点数5的概率有多大？解：如果是一颗均匀的骰子，1到6点有同样的可能被掷到，在这6份可能中，5点占了一份，所以概率应是 。5.1.2 5.1.2 概率概率612022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社5例5.1.2 同时投掷二枚硬币A、B，问出现“两枚都正面朝上”的概率有多大？解：如果用H表示“正面朝上”，T表示“反面朝上”，那么所有可能出现的结果是：(H，H)，(H，T)，(T，H)，(T，T)其中(H，T)表示A枚出现正面，B枚出现反面，其它类似。不难断定，这4种结果出现的机会是相等的。因此出现“两枚都正面朝上”即(H，H)的概率是 。412022-
4、8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社6例5.1.3 给出英语文献中特定的字母比如E出现的概率。解：英语中共有26个字母，每个字母出现的可能性是不同的，所以 是不对的。可以接受的方法是通过对大量文献的统计获得相对有依据的结果，下面就是一份统计了约438023个字母得到的概率值：字母 概率字母 概率字母 概率字母 概率E 0.1268R 0.0594M 0.0244K 0.0060T 0.0978H 0.0573W 0.0214X 0.0016A 0.0788 L 0.0394Y 0.0202J 0.0010O 0.0776D 0.0389G 0.0187Q 0.0009I 0.070
5、7U 0.0280P 0.0186Z 0.0006N 0.0706C 0.0268B 0.0156S 0.0634F 0.0256V 0.01022612022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社7例5.1.4 请预测下届世界杯足球赛巴西队获冠军的概率。解：巴西队获冠军的概率是：？理由：比赛是公平的。问题：因为各队的实力不等。？理由：总共17届赛事中巴西队5次获得了冠军。问题：没有考虑到未来比赛中天时、地利、人和等诸般多变的因素。所以不论得到的概率值是多少，都带有强烈的主观意见。3211752022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社8比率比率即先将所有可能出现的情
6、况统统列出，然后将有关事件所占的份额（比例）作为其概率，其前提是出现各种情出现各种情况的可能性是一样的况的可能性是一样的。如例5.1.1和例5.1.2。频率的稳定值频率的稳定值即将某随机事件重复做了无数次时，统计有关事件发生的次数，以频率的稳定值作为概率。如例5.1.3。比率和频率的方法有时却行不通。如例5.1.4。因此，概率的定义有不同的背景。怎么计算怎么计算概率概率2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社9随机试验随机试验：指试验中会出现哪种结果不得而知，但一切可能出现的结果却是已知的试验，记为E。例：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况：将一枚硬币抛三次，观察出现正
7、面的次数：记录寻呼台一分钟内接到的呼叫次数：在一批光盘中任取一片，测试其使用寿命5.1.3 5.1.3 随机试验与样本空间随机试验与样本空间1E2E3E4E2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社10样本空间样本空间：指随机试验的一切可能结果的集合，用S表示。样本或基本事件样本或基本事件：指样本空间的元素，用e表示。事件事件：指样本空间的子集，用大写字母A,B,C表示。例：下面写出前面4个随机试验的样本空间：H,T；其中 ；分别表示：“正面朝上”，“反面朝上”：0,1,2,3；其中 ；分别表示：“不出现正面”，“出现一次正面”：0,1,2,3,；其中；分别表示：“无呼叫”，“
8、有一次呼叫”等：t|t0；事件A为“寿命小于1000小时”，则At|0t10005.1.3 5.1.3 随机试验与样本空间随机试验与样本空间1S2S4S,21TeHe1,021ee3S1,021ee2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社11设A和B是两个集合，1事件的包含，记为如果事件A的发生，必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A。对应于集合论中：A是B的子集。2和事件，记为A+B或指“事件A发生或事件B发生”，这是集合论中并的关系。3.积事件，记为 或AB 指“事件A及事件B同时发生”，这是集合论中交的关系。5.1.4 5.1.4 事件的表示和关系事件的表示和关系B
9、A BABA 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社124差事件，记为AB指“事件A发生而事件B不发生”。5互不相容的事件指事件A与事件B不能都发生，即AB=。6对立事件如果A，B互不相容，且A和B的并集构成样本空间S，即AB=且 则称事件A与事件B互为对立事件，A的对立事件记为；可以看出对立事件一定互不相容，但反之则未必。SBAASA2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社13例5.1.5 ：设事件A表示“计算机感染蠕虫病毒”，事件B是“计算机感染CIH病毒”，事件C表示“计算机内部软件系统发生冲突”，请给出 、在事件表示中的含义。解：计算机内部软件系统
10、发生冲突但未感染蠕虫病毒和CIH病毒。：计算机要么感染蠕虫病毒，要么感染CIH病毒，要么内部软件系统发生冲突。：计算机同时感染蠕虫病毒和CIH病毒。：计算机感染了蠕虫病毒但未感染CIH病毒。BACCBABABABACCBABABA2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社14第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 5.2 古典概率问题及计算方法古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社15上节
11、回顾概率概率：是对随机事件发生的可能性或机会的一种测量。（介于0和1之间的一个数）概率计算：比率比率，即将有关事件在所有可能出现的情况中所占的份额作为其概率，其前提是出现各种情况的可能性是一样的。频率的稳定值频率的稳定值，即将某随机事件重复做了无数次时，统计有关事件发生的次数，以频率的稳定值作为概率。2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社16定义定义5.2.1 古典概率问题：古典概率问题：若随机试验的样本空间是由有限个样本点组成，且每个样本点出现的可能性是相等每个样本点出现的可能性是相等的，称这一类型的概率求解问题为古典概率问题。其中事件A的概率计算公式为：P(A)=样本空
12、间的总点数的样本点数组成事件A2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社17例5.2.1 盒子中装有4个白球，2个红球，从中取球两次，每次随机取一个，考虑两种取球方式，(a)放回抽样，即第一次取一个球，观察其颜色后放回；(b)不放回抽样，即第一次取一个球后不放回，第二次从剩余的球中再取一球；分别计算事件A“取到两个球均是白球”、B“取到两只球均为红球”、C“取到两只球颜色相同”及 D“取到的两只球中至少有一只白球”的概率。解：取球的结果状态有限种，取到每个球的可能性是一样的，所以这是一个古典概率问题。样本空间S的总数第一次取球的可能数第二次取球的可能数)56(6626A，不放回
13、抽样（排列数可重复的排列），放回抽样2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社18 A的份数第一次取白球的可能数第二次取白球的可能数，不放回抽样，放回抽样124424A不放回抽样，放回抽样4.0564444.06644)(24AAP，不放回抽样，放回抽样66.056111.06622)(22ABP同理根据事件的集合表示法，可得：，C和D的详细计算在下一节介绍。BDBAC且2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社191合成乘法原理若一个过程可以分成两个阶段完成，第一阶段有m种不同的做法，第二阶段有n种不同的做法，则整个过程有mn种不同的作法，依此类推。2排列数是
14、指从n个元素中取出r个进行排列，不仅要考虑取出的是哪n个元素，还要注意它们的顺序（AB和BA是不同的），这样总的排列个数称为排列数。通常有以下几种情况：(a)可重复的排列：即放回抽样，同一元素允许被重复取到，排列数为(b)选排列：即不放回抽样，故不会有元素重复出现，排列数记为 (c)全排列：从n个不同元素中每次取出n个不同元素的排列，排列数为 一些排列组合的计算技巧一些排列组合的计算技巧rn)!(!)1()2)(1(rnnrnnnnArn!n2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社203组合数是指从n个元素中取出r个，只考虑取出的是哪r个，而不考虑先后次序，这样组合的个数记为
15、 。rnC!)!(!rrnnrACrnrn2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社21例5.2.2 有N张软件光盘，其中有D张是盗版的；现从中任取n张，问其中恰有k(kD)张是盗版的概率。解：在N张光盘中取n张，共有 种取法；在D张盗版光盘中取k张，共有 种取法；在余下的ND张光盘中取nk张，共有 种取法；由乘法原理知在N张光盘中取n张，其中恰有k张是盗版的取法共有 种，故所求概率为：nNCkDCknDNCknDNkDCCnNknDNkDCCCP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社22例5.2.3 将15名新员工（其中有3名是系统分析员）随机地平均分配到
16、三个研发小组中，问：(1).每个研发小组各分配到一名系统分析员的概率是多少？(2).3名系统分析员分配在同一个研发小组的概率是多少？解：利用合成乘法原理，可知15名新员工随机地平均分配到三个小组中的分法总数为：（1）每个研发小组各分配到一名系统分析员的做法可以分成两步：首先将3名系统分析员各分到一个小组（全排列数）有3！种做法；其次将余下的12名员工平均分配到三个小组有 种分法；由乘法原理共有 种做法，所求概率为：55510515CCC4448412CCC4448412!3CCC2747.0!35551051544484121CCCCCCP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出
17、版社23（接上页）（2）同理，首先将3名系统分析员分到同一个小组有3种做法；其次将余下的12名员工按数分配到三个小组有 种分法；由乘法原理共有 种做法，故所求概率为：5527512555102122257512CCCCCCCCC22575123CCC0659.035551051522575122CCCCCCP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社24例5.2.4一计算机中心一周曾遭受某病毒攻击12台次，观察到所有这12次攻击均发生在周二或周五，问是否可以推断该病毒的发作是有特定时间的。解：假设病毒的发作是没有时间限制的，则它在一周中的任一天发作都是等可能的，在这种情况下，这
18、12次均发生在周二或周五的概率 可能性为千万分之一的事件是一个极小概率事件，实际工作中认为几乎不可能发生，因此有理由怀疑原假设的正确性，从而推断该病毒的发作是有特定时间的。0000003.0721212P2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社25第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 5.3 概率的加法性质及应用概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社26上节回顾古典概率问题古典概率问题
19、：若随机试验的样本空间是由有限个样本点组成，且每个样本点出现的可能性是相等每个样本点出现的可能性是相等的，称这一类型的概率求解问题为古典概率问题。其中事件A的概率计算公式为：P(A)=样本空间的总点数的样本点数组成事件A2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社27性质性质5.3.1 任意两事件和的概率为：特别有A、B互不相容，则：性质性质5.3.2 一个概率模型中所有互不相容性事件的概率总和等于1。特别有：对立事件的概率和等于1，即)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP1)()(APAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社28例5
20、.3.1 （例5.2.1 续）由于 ，事件A、B是互不相容的，考虑放回抽样的情况，有：BDBAC且889.0)(1)()(556.0)()()(BPBPDPBPAPCP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社29例5.3.2 在1，2，1000这一千个正整数中任取一个数，求它能被2或3整除的概率。解：设事件A表示“取得的数能被2整除”；事件B表示“取得的数能被3整除”；则事件 表示“取得的数能被2或3整除”；注意到事件A、B并非互不相容，因为取到的数可能同时被2和3即6整除，易知这1000 个数中能被6整除的数共有166个，故有：根据性质5.3.1,得：BA5.0100050
21、0)(AP333.01000333)(BP166.01000166)(ABP667.0)()()()(ABPBPAPBAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社30例5.3.3 将n只球随机地放入N（Nn）个盒子中，试求每个盒子至多有一个球的概率（设盒子的容量不限）解：这是一个古典概率问题，因每一个球等可能地放入N个盒子中的任一个，故共有 种不同放法，而每个盒子至多有一个球共有 种不同放法，因而所求概率为：nNNNN)1()1(nNNNnnNnNANnNNNP)1()1(2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社31许多问题与上例具有相同的数学模型。如n（3
22、65）个人中至少有两人生日相同的概率问题，假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即1/365，则他们生日各不相同的概率依上式应为：根据性质5.3.2，n个人中至少有两人生日相同的概率为:下表列出了一些计算结果：nn365)1365(364365nnP365)1365(3643651n202330405064100P0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.99999972022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社32第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 5.4
23、 条件概率与乘法定理条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社33上节回顾性质性质5.3.1 任意两事件和的概率为：特别有A、B互不相容，则：性质性质5.3.2 一个概率模型中所有互不相容性事件的概率总和等于1。特别有：对立事件的概率和等于1，即)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP1)()(APAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社34事件A已发生的条件下另一事件B发生的概率记作P(B/A)例5.4.1 设某工厂生产的100件产品中有3件次品，
24、今依次取出两件（每次取后不放回），如果已经知道取出的第一件产品是正品，求在此条件下第二件产品也是正品的概率。解：从这100件产品中任取一件产品，则“取得的产品是正品”（设为事件A）的概率为：如果已知取出的第一件产品是正品，要求取出的第二件产品也是正品（设为事件B）的概率为：另外，易知：10097)(AP9996)/(ABP991009697)(ABP)()(100979910096979996)(APABPABP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社35定义定义5.4.1 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率定义为：定理定理5.4.1（乘法定理）类似地有：推广之可
25、得：)0)()()()/(APAPABPABP其中)0)()/()()(APABPAPABP)0)()/()()(BPBAPBPABP)0)()()()()(ABPAPABPABCPABCP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社36例5.4.2 某软件公司在软件研制完成后，通常需通过三道测试；已知软件未能通过第一道测试的概率为1/2；若第一道测试通过，未能通过第二道的概率为3/10；若前两道测试都通过，则未能通过第三道的概率为1/10；试求软件能通过所有这三道测试的概率。解：以 表示事件“软件通过第 道测试”；B表示事件“软件通过所有这三道测试”；则有 ，所以：)3,2,1
26、(iAii321AAAB 20063)211)(1031)(1011()()()()()(112213321APAAPAAAPAAAPBP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社37例5.4.3 已知某事件在时间(0,T)内发生的概率为p，且在该时段内的任何时刻发生是等可能的，若该事件在(0,t)(tT)内没有发生，求它在剩余的时间内发生的概率。解：设A表示“该事件在(0,t)内发生”，B表示“该事件在(t,T)内发生”,则B就表示”该事件在(0,t)内没有发生，而在剩余的(t,T)内发生，因为：即：最后得：pTtAP)()|()1()|()()(ABPpTtABPAPBAP
27、pBAPAP)()(pABPpTtpTt)|()1(pTtpTtABP1)1()|(2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社38第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 5.5 事件的独立性事件的独立性5.6 全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社39上节回顾性质性质5.3.1 任意两事件和的概率为：定义定义5.4.1 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率定义为：定理5.4.1（乘法定理）)()()
28、()(ABPBPAPBAP)0)()()()/(APAPABPABP其中)0)()/()()(APABPAPABP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社40独立事件：独立事件：两个互不关联的事件称为独立事件。例如“隔壁公司的张三被蚊子叮了一下”，与“今天硬盘价格上涨”。若连续两次投掷一颗骰子，第一次投出的点数和第二次投出的点数之间也没有任何关系。2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社41性质性质5.5.1 若A、B相互独立，则：，反之亦然。性质性质5.5.2 若A、B相互独立，则有：，反之亦然。性质性质5.5.3 若A、B相互独立，则以下各对事件：也相互
29、独立性质性质5.5.4 事件A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立)0)()()/(),0)()()/(APBPABPBPAPBAP)()()(BPAPABPBABABA与与与,2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社42例5.5.1 考虑一个使用二个磁盘驱动器的计算机系统，根据以往记录，这二个驱动器发生故障概率分别为：P(A)=，P(B)=，这里A表示“第一个驱动器发生故障”，B表示“第二个驱动器发生故障”，试分析驱动器发生故障的详细情况。（这里依经验我们假设A，B相互独立）解：A、B二者同时发生故障的概率应为：相反，二者同时无故障的概率为：10115115011511
30、01)()()(BPAPABP1501261514109)()()(BPAPBAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社43（接上页）一个故障而另一个无故障，其概率为：现在若将所求得的所有概率相加，则有任何时刻至少有一个发生故障的概率是：)(BAP1509151109或)()()()(ABPBPAPBAP)(BAP15014151410175121501151101115014150915012615012022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社44例5.5.2 某软件系统装有密码，若配置多组密码可以降低系统被破译的可能性，已知每一组密码被破译的概率为0.0
31、4，且各组密码是否被破译是相互独立的，问：（1）如果采用两组密码，系统被破译的概率是多少？（2）如果要使系统被破译的概率小于0.01%,至少需要用多少组密码？解：如果只采用一组密码，破译概率是4。（1）设 ，则所求的概率是：（2）假设要使系统被破译的概率小于0.01%,至少需要N组密码，则：所以，只要采用3组或更多组的密码，就能保证系统被破译的概率小于0.01%0016.0)()()2121APAPAAP（组密码被破译”表示“第iiAi)2,1(0001.004.00001.0)()()()2121NNNAPAPAPAAAP（86.2N2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社
32、45第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 5.6 全概率公式全概率公式5.7 贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社46上节回顾两个互不关联的事件称为独立事件独立事件。性质性质5.5.1 若A、B相互独立，则：，反之亦然。性质性质5.5.2 若A、B相互独立，则有：，反之亦然。)0)()()/(),0)()()/(APBPABPBPAPBAP)()()(BPAPABP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出
33、版社47例5.6.1 某宽带运营商提供给客户的Modem分别来自大陆、台湾、美国三个产地，份额分别为25%、35%、40%，三个产地产品的次品率分别为5%、4%、2%.现在从这些产品中随机地取一个，问它是次品的概率。解：不妨设 依次表示事件“产品是来自大陆、台湾、美国的”，A表示“产品为次品”，依题意有：P(B1)=25%,P(B2)=35%,P(B3)=40%,P(A/B1)=5%,P(A/B2)=4%,P(A/B3)=2%随机取一Modem的次品率=设Modem总量为n，则随机取一Modem的次品率 25%5%+35%4%+40%2%P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(
34、A3)P(B/A3)=3.45%321,BBB总量总的次品数Modemnnnn%2%40%4%35%5%252022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社48定义定义5.6.1 设 是样本空间S的一组事件，满足：（1）（即两两之间互不相容）（2）则称 为样本空间S的一个划分划分。上例中的 就是样本空间的一个划分。在划分下，考虑样本空间S中的一个事件A的概率，有：因为事件 两两互不相容，所以事件 也两两互不相容，从而，由性质5.3.1有：nBBB.,21njijiBBji,2,1,；，SBBBn.,21321,BBBnBBB.,21321,BBBnnABABABBBBAASA.).(
35、2121nABABAB.,21)(.)()().()(2121nnABPABPABPABABABPAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社49定义定义5.6.2 设 为样本空间S的一个划分，A是其中的一个事件，则这个公式称为全概率公式全概率公式。nBBB.,21),2,1(0)(niBPi)/()(.)/()()/()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社50例5.6.2暑假即将来临，公司准备在媒体上做广告推销某品牌的电脑，根据以往的经验，在电视、报纸、街头广告牌三种媒体上做广告被顾客看到的可能性分别
36、为:70，50，40；顾客看到一种媒体上的广告而决定购买的比率是20，看到两种媒体上的广告而决定购买的比率是60，若在三种媒体上都看到广告则一定会购买该品牌电脑，问若在三种媒体上都做广告，顾客的购买率是多少？解：设事件A：顾客购买该品牌电脑；：顾客看到 种媒体上的广告 ：在电视 、报纸 、街头广告牌 上做广告被顾客看到；根据已知条件有：iB)3,2,1(iiiC)1(i)2(i)3(i4.0)(,5.0)(,7.0)(1)/(,6.0)/(,2.0)/(321321CPCPCPBAPBAPBAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社51（接上页）将 看成样本空间的一个划分，
37、由全概率公式得：表示顾客看到 种媒体上的广告，故有：不妨设 之间是相互独立的，得：同理可得：最后得：iB)3,2,1(i)()(6.0)(2.0)/()()/()()/()()(321332211BPBPBPBAPBPBAPBPBAPBPAPiB)3,2,1(ii321332132132123213213211;CCCBCCCCCCCCCBCCCCCCCCCB36.04.0)5.01()7.01()4.01(5.0)7.01()4.01()5.01(7.0)()()()()()()()()()()(3213213213213213211CPCPCPCPCPCPCPCPCPCCCCCCCCCPB
38、P)3,2,1(iCi14.0)(41.0)(32BPBP458.014.041.06.036.02.0)(AP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社52第第5 5章章 概率论基础概率论基础5.1 概率及其相关概念5.2 古典概率问题及计算方法5.3 概率的加法性质及应用5.4 条件概率与乘法定理5.5 事件的独立性5.6 全概率公式5.7 5.7 贝叶斯公式与智能决策贝叶斯公式与智能决策 2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社53上节回顾定义定义5.6.2 设 为样本空间S的一个划分，A是其中的一个事件，则这个公式称为全概率公式全概率公式。nBBB.,
39、21),2,1(0)(niBPi)/()(.)/()()/()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社54例5.7.1 某公司专门生产计算机配件，对以往数据分析结果表明，当设备状态良好时，配件产品的合格率为90，而当设备状态不良时，其合格率为30；已知每日设备启动时状态良好的概率是75，某日早上第一件产品是合格品，问该日设备状态良好的概率是多少？解：设事件A表示“产品合格”，B表示“设备状态良好”，依题意有：要求的概率为 。综合运用条件概率公式、乘法定理及全概率公式可得：所以，当第一件产品是合格品时，此时设备状态良好的概率为
40、0.9。75.0)(3.0)/(9.0)/(BPBAPBAP)/(ABP9.0)75.01(3.075.09.075.09.0)()/()()/()()/()()()/(BPBAPBPBAPBPBAPAPABPABP5.7.1 5.7.1 贝叶斯贝叶斯(Bayes(Bayes)公式公式2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社55在上例中，概率0.75是由以往的数据分析得到的，叫做先先验概率验概率，而在得到信息（早上第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.9）叫做后验概率后验概率。定义定义5.7.1 设 为样本空间S的一个划分，A是其中的一个事件，且 ，则有:称该公
41、式为贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式或逆概率公式逆概率公式。nBBB.,21),2,1(0)(,0)(niBPAPi)/()(.)/()()/()()()()/(11nniiiiBAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社56例5.7.2 在计算机的图像表示中，一幅MN大小的黑白图像可以用元素为0（表示“白”）或1（表示“黑”）的MN阶矩阵来表示；现在假设一幅黑白图像白与黑的比例是0.6：0.4，图像在网上传输时由于受到干扰，当发出的像素点为“白”时，接受方以概率0.8收到“白”的信号，而0.2的可能收到的却是“黑”的信号；同样
42、，当发出的像素点为“黑”时，接受方分别以概率0.9和0.1收到信号“黑”和“白”，求当收到信号是“黑”时，原像素点确实是“黑”的概率。解：设事件A=收到信号“黑”，B=发出信号“黑”，依题意有：所要求的是 。由贝叶斯（Bayes）公式有：2.0)|(,9.0)|(,4.0)(BAPBAPBP)|(ABP75.06.02.04.09.04.09.0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社575.7.2 5.7.2 贝叶斯公式在智能决策中的应用贝叶斯公式在智能决策中的应用设样本空间的划分 这n个事件可以看作是
43、导致事件A发生的各种“因素”，是在事件A出现前“原因”出现的可能性，即先验概率。但是在试验中事件A的出现有助于对导致事件A出现的各种“因素”发生的概率作进一步探讨,即计算后验概率 贝叶斯决策贝叶斯决策，就是在已知 先验概率的情况下，做试验。再通过试验中事件A的具体情况得到的新信息，获得导致A出现的各种因素 发生情况的新知识。nBBB.,21)(mBPmBnBBB.,21mB)/(ABPm2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社58例5.7.3 仍然来考虑前面例5.7.1中这家专门生产计算机配件的公司，硬盘是其产品之一，为了提高其硬盘的质量，公司经理考虑增加投资来改进生产设备。
44、但从投资效果看，二个顾问提出了两种不同意见：Y1：改进生产设备后，高质量产品可占90%，Y2：改进生产设备后，高质量产品可占70%。根据二个顾问过去建议被采纳的情况，经理认为Y1的可信度只有40%，Y2的可信度有60%，即 P（Y1）=0.4，P（Y2）=0.6 这二个都是经理的主观概率。经理不想仅凭过去的经验来决策此事，为此他决定先通过小规模试验，观其结果再做决定。他组织进行了一项试验，试验结果（记为A）如下：A：试制5个产品，全是高质量的产品。经理希望知道此试验结果会如何改变他原来对Y1和Y2的看法，即要求后验概率P(Y1/A)与P(Y2/A)。2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）
45、高等教育出版社59（接上页）不妨设每一个产品的生产都是相互独立的，有：P(A/Y1)=(0.9)5=0.590，P(A/Y2)=(0.7)5=0.168。再由全概率公式算得P(A)=P(A/Y1)P(Y1)+P(A/Y2)P(Y2)=0.337。于是可求得后验概率为 P(Y1/A)=P(A/Y1)P(Y1)/P(A)=0.236/0.337=0.700 P(Y2/A)=P(A/Y2)P(Y2)/P(A)=0.101/0.337=0.300。这表明，经理应该根据试验A的结果调整自己的看法，把对Y1与Y2的可信度由0.4和0.6调整到0.7和0.3。经过试验A后，经理对增加投资改进质量的兴趣增大，
46、在决策上也有了依据。2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社60例5.7.4 一个软件工程师正在尝试对一个故障A进行诊断，他需要确定故障的原因是d1,d2,d3三种中的哪一种。为此，他将需要做两个试验，每个试验的结果都用不良（-）或良好(+)表示。显然共有四个可能的结果+，+-，-+，-。而长期的统计资料显示1万起故障中有3215起是归结于因素d1,有2125归结于d2,4660起归结于d3；并且已有资料详细记录了已知一种故障的情况下两次试验的可能结果的概率。试用贝叶斯方法分析故障的发生原因。具体分布情况和试验结果如下表所示：因素故障数统计(总数10000)试验结果+-+-d
47、1 d2d33215212546602110 301 704 100396 132 1187 410510 3568 73 5092022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社61解：根据上表任何一个工程师都可以知道每一种因素的先验概率，以及给定一个故障某种试验结果（+或-）的概率。例如，因素d1的先验概率是P(d1)=3215/10000=0.3215。对于因素d1两次试验得到结果+-的概率是P(+-|d1)=301/3215=0.094。利用贝叶斯公式计算对应结果的后验概率，即：P(di|+),P(di|+-),P(di|-+),P(di|-)(i=1,2,3),计算公式如下：
48、其它同理可得。计算结果见下表。31)()/()()/()()()/()/(iiiiiiiidPdPdPdPPdPdPdP2022-8-16计算机数学基础（叶东毅等）高等教育出版社62（接上页）从表可以看出，如果他的两次试验结果是+，那么故障由d1引起的概率（0.700）要远高于由d2,d3引起的概率（分别是0.132,0.168）；而如果试验结果是+-，那么故障由d3引起的机会要大得多；如果试验结果是-+，那么工程师面临的诊断选择将会困难一些：因为故障由d2引起的概率仅略大于d1引起的概率，但他至少可以排除d3.；但如果试验结果是-，工程师将要做出的选择会更困难：因为故障由d2引起的概率和d3引起的概率相差无几。在这种情况下，工程师必须依据进一步的试验或其它方面的观察来对故障做出诊断。后验概率d1 d2 d30.700 0.132 0.1680.076 0.033 0.891 0.357 0.605 0.0380.098 0.405 0.497
