1、返返 回回第第八八章章 相量法相量法1.1.复数和正弦量复数和正弦量3.3.电路定律的相量形式电路定律的相量形式2.2.相量法的基础相量法的基础2.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.电路定律的相量形式电路定律的相量形式l 重点：重点：1.1.正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差返 回1.1.复数的表示形式复数的表示形式)1(j为虚数单位为虚数单位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 下 页上 页代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式8.1 8.1 复数复数返 回几种表示法的关系：几种表示法的关系：ab ba
2、Farctan|22或或sin|cos|F bFa下 页上 页FbReImao|F|baFj|jFeFF返 回则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法图解法下 页上 页F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返 回2.2.复数运算复数运算加减运算加减运算 采用代数式采用代数式乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式若若 F1=|F1|1 ，F2=|F2|22121)j(212j2j1221121|211|F|FeFFeFeFFFFF则则:2121)(j21j2j121 2121FFeFFeFeFFF下 页上
3、 页模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减返 回例例1-1?2510475)226.4 j063.9()657.3 j41.3(原式原式569.0 j47.1261.248.12解解下 页上 页例例2?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2.126j2.180原式原式04.1462.203.56211.79.2724.1916.70728.62.126j2.180329.6 j238.22.126j2.180365.2255.132j5.182返 回旋转因子旋转因子复数复数 ej=cos+jsin =1F ejFReIm0F ej下 页上 页旋转因子旋转因子返 回j
4、2sinj2cos ,22jej)2sin(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,je +j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReIm0FFjFjF下 页上 页注意返 回8.2 8.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w t+y)ti0Tl周期周期T 和频率和频率f频率频率f：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：赫单位：赫(兹兹)Hz单位：秒单位：秒sTf1正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f(t+kT)下 页
5、上 页波形波形返 回l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。1.1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页优点返 回2.2.正弦信号是一
6、种基本信号，任何非正弦周期信正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(kn1kkwtkAtf 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页结论返 回(1)(1)幅值幅值 (振幅、最大值振幅、最大值)Im(2)(2)角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3)初相位初相位yTf22w单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量
7、变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(w t+y)下 页上 页返 回同一个正弦量，计时起点不同，初相同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。位不同。一般规定一般规定：|y|。y=0y=/2y=/2下 页上 页iowty注意返 回例例2-1已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w103rad/s，1.1.写出写出 i(t)表达式；表达式；2.2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1tio10050t1解解)10cos(100)(3yttiycos100500t3y由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右
8、侧3y)310cos(100)(3tti有最大值有最大值当当 310 13tms047.110331t下 页上 页返 回3.3.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)相位差相位差：j =(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i规定规定：|j|(180)下 页上 页等于初相位之差等于初相位之差返 回lj 0，u超前超前i j 角角，或或i 滞后滞后 u j 角角,(u 比比 i 先先到达最大值到达最大值)；l j 0，i 超前超前 u j 角，或角，或u 滞后滞后 i j 角角,i 比比 u 先先
9、 到达最大值）。到达最大值）。下 页上 页返 回w tu,iu iyuyijoj 0，同相同相j =(180o)，反相反相特殊相位关系特殊相位关系w tu iow tu ioj=/2：u 领先领先 i/2 w tu io同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页返 回例例2-2计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)()30 100cos(10)()2(0201ttitti)2 100cos(10)()43 100cos(10)()1(21ttitti)45 200cos(10)()30 100cos(10)
10、()3(0201ttuttu)30 100cos(3)()30 100cos(5)()4(0201ttitti下 页上 页解解045)2(43j43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比较相位差不能比较相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。结论返 回4.4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值
11、随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流 ittiRWTd)(20TRIW2物物理理意意义义下 页上 页返 回下 页上 页均方根值均方根值定义电压有效值：定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w t+)返 回ttITITd )(cos1022mwTtttttTTT2121 d2)(2cos1d )(cos 0002wwmm2m707.0221 IITITI)cos(2)cos()(mtItItiwwII2 m下 页上
12、 页返 回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm或或若交流电压有效值为若交流电压有效值为 U=220V，U=380V 其最大值为其最大值为 Um311V Um537V下 页上 页注意 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。压水平时应按最大值考虑。返 回测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读测
13、量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。符号。UUuIIi,mm下 页上 页返 回8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：)(dddd2tuutuRCtuLCCCC)cos(2111ywtIi)cos(2222ywtIi下 页上 页RLC+-uCiLu+-返 回i1i1+i2 i3i2www角频率角频率 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，同
14、频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数下 页上 页I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位变换的思想变换的思想w tu,ii1 i2oi3结论返 回造一个复函数造一个复函数)j(2)(tIetFw对对 F(t)取实部取实部)()cos(2)(RetitItFw 任意一个正弦时间函数都任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。有唯一与其对应的复数函数。)j(2)()cos(2tIetFtIiww)sin(2j)cos(2tItIww无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物
15、理意义3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示下 页上 页结论返 回F(t)包含了三要素包含了三要素：I、w，复常数包含了两个要素：复常数包含了两个要素：I,。F(t)还可以写成还可以写成tteIeIetFwwyjj22)(j复常数复常数下 页上 页正弦量对正弦量对应的相量应的相量 )cos(2)(IItItiw相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意返 回 )cos(2)(UUtUtuw同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例3-13-1试用相量表示试用相量表示i,u.)V
16、6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oouti解解V60220 A,30100oo UI下 页上 页例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解A)15314cos(250ti.50Hz A,1550 fI已知已知返 回在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图IItIti)cos(2)(UUtUtu)cos(2)(wl 相量图相量图下 页上 页UI+1+j返 回4.4.相量法的应用相量法的应用同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减)2Re()cos(2)()2Re()cos(2)(j2222 j1111tteUtUtueUtUtuwww
17、wjj1212jjj1212()()()Re(2)Re(2)Re(22)Re(2()tttttu tu tu tU eU eU eU eUUewwwwwU21UUU相量关系为：相量关系为：下 页上 页结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。的加减运算。返 回i1 i2=i3321 III下 页上 页例例3-2V)60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604 V 306o2o1UUV )9.41314cos(264.9)()()(o21ttututu60430621UUU46.3 j23 j19.546.6 j19
18、.7V 9.4164.9o返 回借助相量图计算借助相量图计算+1+j301U602U9.41U首尾相接首尾相接下 页上 页V604 V 306o2o1UU+1+j9.41U602U301U返 回正弦量的微分、积分运算正弦量的微分、积分运算 )cos(2iiIItIiyyw j2Re 2Redddd j jtteIe IttiwwwtteIte Iti j jj2Re d 2Redwww微分运算微分运算 积分运算积分运算2 jddiIItiyww2 jdiIItiyww下 页上 页返 回例例3-3 )cos(2)(itItiyw d1dd)(tiCtiLRitu用相量运算：用相量运算：jjCII
19、LIRUww把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下 页上 页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返 回 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图下 页上 页注意不不适适用用线线性性线线性性w1w2非非线性线性w返 回8.4 8.4 电路定律的相量形
20、式电路定律的相量形式1.1.电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iiRIUIIR 相量模型相量模型)cos(2)(itItiw)cos(2)()(RitRItRituwuR(t)i(t)R+-有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+-RU IURu相量关系：相量关系：IRURUR=RIu=i下 页上 页返 回瞬时功率瞬时功率iupRR 波形图及相量图波形图及相量图 iw touRpRRUIu=iURI 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，始终大于零，表交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率明电阻始终吸收功率)(cos222RitIU)(2cos1 Rit
21、IU同同相相位位下 页上 页返 回时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)(itItiw)2 cos(2 )sin(2d)(d)(iiLtILtILttiLtuwwww相量模型相量模型相量关系：相量关系：IXILULLjjw2.2.电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式2 iLiLIUIIw下 页上 页有效值关系有效值关系：U=w L I相位关系：相位关系：u=i+90 i(t)uL(t)L+-jw L+-LU I返 回感抗的性质感抗的性质表示限制电流的能力。表示限制电流的能力。感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。相量表达式相量表达式XL=wL=2fL，称为感抗，单位为称为感
22、抗，单位为(欧欧姆姆)BL=-1/w L=-1/2fL，称为称为感纳，单位为感纳，单位为S(西西门子门子)感抗和感纳感抗和感纳 ,jjILIXULw开路开路短路短路(直流)(直流),0 ,0LLXXwwULULUBILwwj11jj下 页上 页返 回wXLO功率功率)(2sin )sin()cos(LmLmLLiiitIUttIUiupwwww t iouLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。好互相抵消，表明电感只储能不耗能。LUIi波形图及相量图波形图及相量图电压超前电压超前电流电流90900 0下 页上 页返
23、 回时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)(utUtuw)2 cos(2 )sin(2d)(d)(CuutCUtCUttuCtiwwww相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-UC I+-Cj1相量关系：相量关系：IXICUCj1jw3.3.电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式2 uCuCUIUUw下 页上 页有效值关系：有效值关系：IC=w CU相位关系：相位关系：i=u+90 返 回XC=-1/w C，称为容抗，单位为称为容抗，单位为(欧欧姆姆)B C=w C，称为容纳，称为容纳，单位为单位为S(西西门子门子)容抗和频率成反比。容抗和频率成反比。w 0，|XC|直流开
24、路直流开路(隔直隔直)。w ，|XC|0 高频短路。高频短路。容抗与容纳容抗与容纳相量表达式相量表达式UCUBIICIXUCCwwjj 1jj下 页上 页返 回 1jjICIXUCww|XC|O功率功率)(2sin )sin()cos(2CCCuuuCtUIttUIuipw t iCoupC 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。表明电容只储能不耗能。UCIu波形图及相量图波形图及相量图电流超前电流超前电压电压900下 页上 页2返 回4.4.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti同频率的正弦
25、量加减可以用对应的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应的相量形式表示：可用相应的相量形式表示：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足相量表示时仍满足KVL。0 2Re)(j21teIItiw 0I 0)(tu 0U下 页上 页表明返 回 j .5CCCIUw例例4-14-1试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu .1w005 cos5 .2
26、tiwmm j .3CUIwLLL .4IUXLL j .6ILUwtiCudd .7UImUmmIUIUCwj1L下 页上 页返 回例例4-2)(:),5cos(2120)(titt u求求已知已知解解00120U20j54 jjLX10j02.051jjCX相量模型相量模型下 页上 页+_15u4H0.02FiUj20-j101I2I3II+_15返 回A9.36106812681012011511200jjjjjA)9.365cos(210)(0tt i下 页上 页CLCLRjjXUXURUIIIIUj20-j101I2I3II+_15返 回例例4-34-3)(:),1510cos(25
27、)(06tuttiS求求已知已知解解0155I5 j102.0101jj66CXV3022545251555 j51550000CRSUUUR,UICU下 页上 页+_5uS0.2Fi相量模型相量模型+_5I-j5USU返 回例例4-4图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流总电压与总电流同相位，求同相位，求I、R、XC、XL。0CC0 UU设设解法解法1 15 j ,05201II045255 j5I)j1(2505j)5 j5(45500RXUL252505LLXX2102502552505CXRR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下
28、 页上 页UjXC1I2I+_RIjXLUC+-返 回U25ICRUU2I1I045LUV50LUU252550LX2105250C RX下 页上 页画相量图计算画相量图计算UjXC1I2I+_RIjXLUC+-解法解法2返 回例例4-6 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压压滞后与电源电压/3，问，问R、C应如何选择应如何选择。IXIRUCSj 解解1 1CSCCCjj ,jXRUXUXRUIS1jCSCRUUw画相量图计算画相量图计算360tan0CRwCRCIRIUUCRww/360tan0RUSUICU060上 页UjXC+_RI+-CU解解2返 回
