1、 101 应力状态的概念应力状态的概念102 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法103 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法10-4 10-4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线10-5 10-5 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法10-6 10-6 平面内的应变分析平面内的应变分析10-7 10-7 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）10-8 10-8 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能109 强度理论的概念强度理论的概念1010 四个强度理论及其相当应力四个强度理论及其相当应
2、力1011 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力10-12 10-12 强度理论的应用强度理论的应用P铸铁压缩铸铁压缩1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？1010 应力状态的概念应力状态的概念PP低碳钢低碳钢一、引子一、引子 ：四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
3、（State of Stress at a Given Point）。xy xy三、剪应力互等定理（三、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则,两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。0 :zM单单元元体体平平衡衡证证明明0)()(dydzdxdxdydzyxxy yxxy x五、原始单元体（已知单元体）：五、原始单元体（已知单元体）：例 10-1-1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。xyzBCA x xB xz zxC xy yxAPP六、主单元体、主面、主应力：
4、六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principal bidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。、主面(Principal Plane)：剪应力为零的截面。、主应力(Principal Stress）：主面上的正应力。、主应力排列规定：安代数值大小，321 、三向应力状态（ThreeDimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。、二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。、单向应力状态 （Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。xB xz zxA x
5、x10102 2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法等价等价规定：、截面外法线同向为正；、绕研究对象顺时针转为正；、逆时针为正。图1n 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力图1n 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：0222:000 cossinddxyyx令令二、极值应力二、极值应力yxxytg 220和和两两各各极极值值：）、（由由此此的的两两个个驻驻点点：20101 ！极极值值正正应应力力就就是是主主应应力力
6、 00 ）2222xyyxyxm inm ax （1 2主主单元体单元体在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。minmax;21 0:1 dd令令xyyxtg 221 222x yyxminmax ）（01045,4成成即即极极值值剪剪应应力力面面与与主主面面 例：1021 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体C xy yxC C xy yxxyo求极值应力0 yx PnxyWM 222122xyyxyx ）（2xy破坏分析 222xyyxminmax）（3210;452200 yxxytg002211 xyyxtgMPa;MPass:200240 低低碳碳钢钢M
7、Pa;MPaMPabybLb:30019896064028098 灰灰口口铸铸铁铁低碳钢低碳钢10103 3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法 2222222cossinsincosxyyxxyyxyx222222xyyxyx 对上述方程消参（2），得：此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）一、应力圆（一、应力圆（Stress CircleStress Circle）o图图2 2A A（x，x y）B B（y，y x）nD D（，）、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法xy x xy yo 、在坐标系内画出点A（
8、x，x y）和 B（y，y x）、AB与 轴的交点C便是圆心。、以C 为圆心，以AC 为半径画圆应力圆，；C图图1 12 xn o图图2 2A A（x，x y）B B（y，y x）nD D（，）xy x xy yo C图图1 12 xn三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系、面上的应力（，）应力圆上一点（，）、面的法线 应力圆的半径、两面夹角 两半径夹角2；且转向一致。oA A（x，x y）B B（y，y x）Cx 2 0222122xyyxyxROC ）（半半径径四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力2 12222xyyxminmaxminmaxR ）（半半径
9、径 max min o（Mpa）（Mpa）AB例10-3-1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：M P a)4532532595150 CAB2 0 1 2解：、建立应力坐标系如图),(B32545),(A32595在坐标系内画出点、AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C 为圆心，以AC 为半径画圆应力圆 0o（Mpa）（Mpa）AB4532532595150 CAB2 0 1 2 0、主应力及主平面如图020120321 300 222cossinxyyx 4532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyoxyyxyMPaMPa 32545?x 222122xy
10、yxyx ）（60MPaMPa325956060 10104 4 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线zzxyIbQS zxIMy Pqx12345yo x y3 x x y2 x1ooo123 1 3 1 3223122xyxx ）（x5 x x y4o4o5 1 3 1 3主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包洛线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。1 3实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。xy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd
11、1 3 1 310105 5 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法o o 2 2、三向应力分析、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b：整个单元体内的最大剪应力为：231 max max例：1051 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（M P a）解：、由单元体图a知：y z面为主面501 、建立应力坐标系如图，画图b 的应力圆和点 1,得:xyz305040图图aCBA o (M Pa)（M Pa）ABC 1 3 2275058321 44 max max10106 6 平面内的应变分析平面内的应变分析
12、xyo 一、叠加法求应变分析公式 cosadDDx 11 21cosx 21sincos/asinasin/bcosbBOEAODxxx abcd AOBDD1EE1 剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）sincdDDy 22 22siny 22sincos/csinccos/csincBOEAODyyy DD2EE2 abcd AOBxyo coscdADdxy 33 socsinxy 3 2233sincoscos/ccoscsin/csincBOEAODxyxyxy abcd AOBDD3EE3 xy xy xyo cossinsincosxyyxii 2231 223122s
13、incossinsinxyyxii 2222sincosxyyxyx 222cossinxyyx 221222221222cossinsincosxyyxxyy x yx2、已知一点 A 的应变（），画应变圆xyyx,二、应变分析图解法二、应变分析图解法应变圆应变圆（Strain CircleStrain Circle）2 o 22 ;2 ;1、应变圆与应力圆的类比关系、建立应变坐标系如图、在坐标系内画出点 A（x，x y/2）B（y，-y x/2）、AB与 轴的交点C便是圆心、以C 为圆心，以AC 为半径画圆应变圆。ABC 2 oABC、方向上的应变（，/2）应变圆上一点（，/2）三、三、方
14、向上的方向上的应变与应变与应变圆的对应关系应变圆的对应关系、方向线 应变圆的半径、两方向间夹角 两半径夹角2；且转向一致。max min2 0D(，/2)2n四、主应变数值及其方位四、主应变数值及其方位 2221xyyxyxminmax ）（22 ;2 ;2222xyyxyxminmax ）（yxxytg 220yxxytg 02例1061 已知一点在某一平面内的 1、2、3、方向上的应变 1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由iixyiyixcossinsincosi 22i=1、2、3这三个方程求出 x，y，x y；然后在求主应变。2221xyyxyxminmax ）（例1062
15、 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max 2)(2122）（）（yuuxyxmax 2)(2122）（）（yuuxyxmin yxyxutg 22010107 7 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力 -应变关系应变关系Exx xyE xzE xyz x二、纯剪的应力二、纯剪的应力 -应变关系应变关系Gxyxy xyz x yz)y,x,j(i,0 ij z)y,x,(i 0 i 0 zxyz 三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 -应变关系应变关系x xy yz z x
16、 x x yx y z z y y依叠加原理依叠加原理,得得:zyxzyxxEEEE 1 xzyyE 1 yxzzE 1Gxyxy Gyzyz Gzxzx zyxxE 1 1 2 3 13221 E 12331 E 32111 E 主应力主应力 -主应变关系主应变关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力 -应变关系应变关系:0 zxyzz xyxyG yxxE 21 xyyE 21方向一致方向一致022 tgyxxy yxxytg 02主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致?0202)()1)(1222 tgEGtgyxxyyxxyyxxy五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与
17、应力分量间的关系321aaaV a3 1 2 3a1a2)(a)(a)(aV3322111111 3211 VVV体积应变：体积应变：)(E)(Ezyx 21 21321体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系:例：1071 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。03:自自由由面面上上解解 MPa.).(.E34410160302403011021016292121 2 1所以，该点处的平面应力状态 MPa.).(.E320102403016030
18、11021016291222 66913210334103443221021030 .).(.E ;MPa.;MPa.3200344321 334 2.例：1073,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试:1导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2。计算容器所受的内压力.1、轴向应力:(longitudinal stress)解：1容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 42DpDm 4p
19、Dm 用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)Dlplt 2 2pDt 3、求内压（以应力应变关系求之）241EpDEmttMPa.).(.)(DEpt363250250103500101021042469 t m外表面10108 8 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能332211212121 u)(m32131 2 3 1图图 a m m m图图 b 2 3 1-m-m-m图图 cba)(E 32121 0 c 312321232221221 E 2 3 1-m-m-m图图 c 21323222161 Eux:单单元元体体的的应应变变能能为为图
20、图C称为形状改变比能或歪形能称为形状改变比能或歪形能 x y13例：1081，用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gu2212 、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：312321232221221 Eu )()(E 0020212221 E 12EGP铸铁压缩铸铁压缩一、引子：一、引子：2、组合变形杆将怎样破坏？10109 9 强度理论的概念强度理论的概念PP低碳钢低碳钢1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式：1
21、.屈服；2.断裂。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。101010 10 四个强度理论及其相当应力四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大 拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时 ，构件就断了。1、破坏判据：0)(;11 b2、强度准则：0)(;11 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。二、最大伸长线应变（第二强度）理论
22、：最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最 大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的 极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：0)(;11 b2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。EEb 32111 b 321 321三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：s max3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。ss 2231maxs 312、强度准则：31四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈
23、服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：xsxuu max2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。21323222161 Eux s 21323222121 21323222121101011 11 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力莫尔认为：最大剪应力是莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。了他自己的强度理论。阿托阿托莫尔莫尔(O.Mo
24、hr),18351918近似包络线极限应力圆的包络线 o s1 s2 s s3极限应力圆一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。yo LO1O2莫尔理论危险条件的推导莫尔理论危险条件的推导LjxbybL 312、强度准则：1、破坏判据：31yLMO3 1 3MKLPN二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，*相当应力。1*1 3212 213232221421 313 ns,2.0b31 yLM 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状
25、态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。101012 12 强度理论的应用强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；max4、破坏形式还与温度、变形速度等有关
26、！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其他应力状态时，使用第三或第四理论。MPa.WTn735107000163 MPa.AP376101050432 222122 )(MPa.).(.39322273523762376 MPa,MPa32039321 1解：危险点A的应力状态如图：PTPTAA A 例10-12-1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。)(Eyxx 21MPa.).(.49410377308813011272 )(Exyy
27、 21MPa.).(.118310881303773011272 解：由广义虎克定律得:例12-12-2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。A x x y yxy04941183321 ,MPa.,MPa.1183313.003771701701183.r 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全A破坏判据：例 12-12-4 一铸铁构件 b L=400MPa，b y=1200MPa，一平面应力状态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450 M Pa，试求该点的主应力值。MKLPN byo b LO1O2莫尔理论危险图莫尔理论危险图O3 1 32112sinOOLOMO sin/)2(sin/)(max1331bLLOKOOO bLbybLby 5.040012004001200 解：做莫尔理论分析图 sin/)2(22:max31bLbL 即即4502/)(max31 MPaMPa750 ;15031 3005.0/)200450(2002 31 解解 上 述 联 立 方 程 得上 述 联 立 方 程 得：
