1、 第四讲第四讲 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 主讲人：日坛中学主讲人：日坛中学 初雨初雨课程说明：课程说明：应用问题是初中方程中的重点、难点，也是应用问题是初中方程中的重点、难点，也是中考中的热点中考中的热点,主要考量综合能力主要考量综合能力 重点、难点：找到切入点确定等量关系，并重点、难点：找到切入点确定等量关系，并列出等式，建立一元二次方程解决问题列出等式，建立一元二次方程解决问题.重点提示：重点提示：1.现在正在逐渐淡化对于应用题进行分类提炼出现在正在逐渐淡化对于应用题进行分类提炼出一个一个“公式公式”进行套用，而更强调从审题出发，进行套用，而更强调从审题出发，达到随机应
2、变的程度达到随机应变的程度.2.2.解决应用问题的难点在于如何根据已知条件确解决应用问题的难点在于如何根据已知条件确定等量关系列出方程，因此在审题过程中可圈注定等量关系列出方程，因此在审题过程中可圈注出描述等量关系的重点语句，并将其书写成文字出描述等量关系的重点语句，并将其书写成文字等式，然后将等式中的各部分用数字或含有未知等式，然后将等式中的各部分用数字或含有未知数的式子代入表示数的式子代入表示.3.3.明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、明确用方程解决实际问题的的步骤：审、设、列、解、验、答的意义列、解、验、答的意义.4.4.现阶段关于实际问题的考题中文字叙述量大、现阶段关于实际问题的
3、考题中文字叙述量大、呈现方式不拘一格、与热点问题结合紧密、注呈现方式不拘一格、与热点问题结合紧密、注重与其他只是结合等特点，但本质都相同，重重与其他只是结合等特点，但本质都相同，重点仍是找等量关系，它是列出方程的关键点仍是找等量关系，它是列出方程的关键.5.5.要关注拿到应用题目中的第一步是确定用等要关注拿到应用题目中的第一步是确定用等式还是不等式加以解决，而方法就是寻找题目式还是不等式加以解决，而方法就是寻找题目中体现等量或不等关系的关键词或句中体现等量或不等关系的关键词或句.知识梳理知识梳理列方程解应用题的基本步骤列方程解应用题的基本步骤1.审：审清题目中的未知量和已知量审：审清题目中的未
4、知量和已知量2.设：根据解题需要设未知数，要注意单位设：根据解题需要设未知数，要注意单位3.列：根据等量关系列方程列：根据等量关系列方程4.解：解方程（选择适当的方法）解：解方程（选择适当的方法）5.验：检验所的结果是否正确，以及是否符合实际验：检验所的结果是否正确，以及是否符合实际意义意义6.答：答题，注意单位名称要写全答：答题，注意单位名称要写全例例1.1.增长率增长率恒利商厦九月份的销售额为恒利商厦九月份的销售额为200200万元，十月份万元，十月份的销售额下降了的销售额下降了20%20%，商厦从十一月份起加强，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二管理，改善经营，使
5、销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了月份的销售额达到了193.6193.6万元，求这两个月万元，求这两个月的平均增长率的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是解设这两个月的平均增长率是x x.，则根据题意，得，则根据题意，得200(1200(120%)(1+20%)(1+x x)2 2193.6193.6，即即(1+(1+x x)2 21.211.21，解这个方程，得解这个方程，得x x1 10.10.1，x x2 22.12.1（舍去）（舍去）.答这两个月的平均增长率是答这两个月的平均增长率是10%.10%.“农民也可以报销医疗费了！农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村这是某市推
6、行新型农村合作医疗的成果。村民只要每人每年交合作医疗的成果。村民只要每人每年交1010元钱，就可元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可以得到按一定比例返回的返回款。这一举措极大的可以得到按一定比例返回的返回款。这一举措极大的增强了农民抵御大病风险的能力。小华与同学随机调增强了农民抵御大病风险的能力。小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了如查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了如下的统计图。下的统计图。根据以上信息，解答以下问题：根据以上信息，解答以下问题：（1 1）本次调查了多少村民，被调查的）本次调
7、查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款？了返回款？（2 2）该乡若有）该乡若有1000010000村民，请你估计有村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到合作医疗的人数增加到96809680人，假设这两人，假设这两年的增长率相同，求这个年增长率年的增长率相同，求这个年增长率.解：（解：（1 1）240+60=300240+60=300（人），（人），2402402.5%=62.5%=6（人）；（人）；（2 2）参加合作医疗的百分率为）参加合作医疗的百分率为80%80%，估
8、计该乡参加合作医疗的村民有估计该乡参加合作医疗的村民有100001000080%=800080%=8000（人）；（人）；设年增长率为，由题意知，设年增长率为，由题意知，解得解得x=10%x=10%，即年增长率为，即年增长率为10%10%9680)1(80002x【经验积累经验积累】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式意义，即可利用公式m m(1+(1+x x)2 2n n求解，其中求解，其中m mn n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，对于负
9、的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式则有公式m m(1(1x x)2 2n n 即可求解，其中即可求解，其中m mn n.解根据题意，得解根据题意，得(a a21)(35021)(3501010a a)400400，整理，整理，得得a a2 25656a a+775+7750 0，解这个方程，得解这个方程，得a a1 12525，a a2 231.31.因为因为2121(1+20%)(1+20%)25.225.2，所以，所以a a2 2=31=31不合题意，舍去不合题意，舍去.所以所以3503501010a a35035010102525100100（件）（件）.答需要进货答需要进货1
10、00100件，每件商品应定价件，每件商品应定价2525元元.例例2.2.商品定价商品定价益群精品店以每件益群精品店以每件2121元的价格购进一批商品，元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价该商品可以自行定价，若每件商品售价a a元，元，则可卖出（则可卖出（3503501010a a）件，但物价局限定每）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过件商品的利润不得超过20%20%，商店计划要盈利，商店计划要盈利400400元，需要进货多少件？每件商品应定价多元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？少？【经验积累经验积累】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.例例3
11、.3.趣味问题趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽竿长比城门宽4 4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 2米，二人没办法，米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为解设渠道的深度为xmxm，那么渠底宽为，那
12、么渠底宽为(x+0.1)m(x+0.1)m，上口宽，上口宽为为(x+0.1+1.4)m.(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.81.8，整理，得，整理，得x x2 2+0.8x+0.8x1.81.80.0.解这个方程，得解这个方程，得x x1 11.81.8（舍去），（舍去），x x2 21.1.所以所以x+1.4+0.1x+1.4+0.11+1.4+0.11+1.4+0.12.5.2.5.答渠道的上口宽答渠道的上口宽2.5m2.5m，渠深，渠深1m.1m.【经验积累经验积累】求解本题开始时好象无从下笔
13、，求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程能从中找到等量关系，列出方程求解求解.例例4.4.象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记每局赢者记2 2分，输者记分，输者记0 0分分.如果平局，两个选手各记如果平局，两个选手各记1 1分，分，领司有四个同学统计了中全部选领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是手的得分总数，分别是19791979，19801980，19841984，1985.1985.经核实，有一位同学统计无误经核实，有一位同学统计无误.试
14、计算这次比赛共有多少个选手参加试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有解设共有n n个选手参加比赛，每个选手都要与个选手参加比赛，每个选手都要与(n n1)1)个个选手比赛一局，共计选手比赛一局，共计n n(n n1)1)局，但两个选手的对局从每局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为0.50.5n n(n n1)1)局局.由于每局共计由于每局共计2 2分，所以全部选手得分总共分，所以全部选手得分总共为为n n(n n1)1)分分.显然显然(n n1)1)与与n n为相邻的自然数，容易验证，为相邻的自然数，容
15、易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是相邻两自然数乘积的末位数字只能是0 0，2 2，6 6，故总分不，故总分不可能是可能是19791979，19841984，19851985，因此总分只能是，因此总分只能是19801980，于是，于是由由n n(n n1)1)19801980，得，得n n2 2n n198019800 0，解得，解得n n1 14545，n n2 24444（舍去）（舍去）.答参加比赛的选手共有答参加比赛的选手共有4545人人.【经验积累经验积累】类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求
16、解题，都可以仿照些方法求解.例例5.5.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图游，推出了如图1对话中收费标准对话中收费标准.某单位组织员工去某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？区旅游？图1如果人数超过如果人数超过2525人，人，每增加每增加1 1人，人均旅游人，人均旅游费用降低费用降低2020元，但人元，但人均旅游费用不得低于均旅游费用不得低于700700元元.如果人数不超
17、过如果人数不超过2525人，人均旅游费用人，人均旅游费用为为10001000元元.解设该单位这次共有解设该单位这次共有x x名员工去天水湾风景区旅游名员工去天水湾风景区旅游.因为因为10001000252525000250002700027000，所以员工人数一定超过，所以员工人数一定超过2525人人.则根据题意，得则根据题意，得1000100020(20(x x25)25)x x27000.27000.整理，得整理，得x x2 27575x x+1350+13500 0，解这个方程，得，解这个方程，得x x1 14545，x x2 230.30.当当x x4545时，时，1000100020
18、(20(x x25)25)600600700700，故舍去，故舍去x x1 1；当当x x2 23030时，时，1000100020(20(x x25)25)900900700700，符合题意，符合题意.答：该单位这次共有答：该单位这次共有3030名员工去天水湾风景区旅游名员工去天水湾风景区旅游.例例6 6 将一条长为将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形丝的长度为周长做成一个正方形(1)(1)要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于17cm17cm2 2，那么这，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
19、？段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)(2)两个正方形的面积之和可能等于两个正方形的面积之和可能等于12cm12cm2 2吗吗?若能，若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由【经验积累经验积累】铁丝折成四边形问题铁丝折成四边形问题,其中有一个等量关其中有一个等量关系为铁丝的长度等于围成的四边形的边系为铁丝的长度等于围成的四边形的边长之和长之和,因此根据围成的四边形边之间的因此根据围成的四边形边之间的关系关系,可设其中一边为可设其中一边为x x，其余边用含有，其余边用含有x x的式子表示的式子表示.例例7 7 迎五一，某小区计划在一个长为迎五一，某小
20、区计划在一个长为4040米米,宽为宽为2626米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境活环境,其中两条与其中两条与ABAB平行平行,另一条与另一条与ABAB垂直垂直,若使若使每一块草坪的面积都为每一块草坪的面积都为144144米米2 2,求每条花带的宽度求每条花带的宽度应为多少米应为多少米?26m144m240m？迎五一，某小区计划在一个长为迎五一，某小区计划在一个长为4040米米,宽为宽为2626米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境民生活环境,其中两条与其中两条与ABAB平行平行,另一条与另一
21、条与ABAB垂直垂直,若使每一块草坪的面积都为若使每一块草坪的面积都为144144米米2 2,求求每条花带的宽度应为多少米每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mx)26(21x)240(31x144)240(31)26(21xx解：设每条花带的宽度为解：设每条花带的宽度为x x米米迎五一，某小区计划在一个长为迎五一，某小区计划在一个长为4040米米,宽为宽为2626米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境民生活环境,其中两条与其中两条与ABAB平行平行,另一条与另一条与ABAB垂直垂直,若使每一块草坪的面积都为若使每一块草坪的面积都为14
22、4144米米2 2,求求每条花带的宽度应为多少米每条花带的宽度应为多少米?40-2x26-x6144)26)(240(xx解：设每条花带的宽度为解：设每条花带的宽度为x x米米迎五一，某小区计划在一个长为迎五一，某小区计划在一个长为4040米米,宽为宽为2626米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居米的矩形草坪上种三条同样宽的花带美化居民生活环境民生活环境,其中两条与其中两条与ABAB平行平行,另一条与另一条与ABAB垂直垂直,若使每一块草坪的面积都为若使每一块草坪的面积都为144144米米2 2,求求每条花带的宽度应为多少米每条花带的宽度应为多少米?26m144m240mxxx6144264
23、02402622xxx解：设每条花带的宽度为解：设每条花带的宽度为x x米米【经验积累经验积累】平移法解决几何图形的面积问题平移法解决几何图形的面积问题 ，充分体现，充分体现了数形结合的数学思想，同时平移的作用是将了数形结合的数学思想，同时平移的作用是将分散的条件集中化，又体现了整体思想，同时分散的条件集中化，又体现了整体思想，同时三种解题方案中很明显经过平移后的最好确定三种解题方案中很明显经过平移后的最好确定等量关系，因此在解类似问题时推荐用此方法等量关系，因此在解类似问题时推荐用此方法.例例8.8.观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律连续摆放，记第观察图中小黑点的摆放规律，并按照这样
24、的规律连续摆放，记第n n个个图中的小黑点的个数为图中的小黑点的个数为y.y.填表填表 2)2)当当n=11n=11时，时，y y的值是多少？的值是多少？(3)y(3)y的值能否为的值能否为145145和和400400呢？若能，求出对应呢？若能，求出对应n n的值，若不能说明理由的值，若不能说明理由.n123456y251017（1）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点右侧）观察图形发现，每个图形中均有一个独立的黑点不变，这个点右侧的部分的行数列数相同且均比序号多的部分的行数列数相同且均比序号多1，因此，应用整体思想，将图形进，因此，应用整体思想，将图形进行分割为如图的两部分
25、（如图，第一部分只有行分割为如图的两部分（如图，第一部分只有1个小黑点，第二部分小黑个小黑点，第二部分小黑点的个数等于序号的平方，所以第点的个数等于序号的平方，所以第n个图形中小黑点的个数为个图形中小黑点的个数为n2+1.（2）如果如果y的值能等于的值能等于145，则一元二次方程的解必须为正整数，则一元二次方程的解必须为正整数.【经验积累经验积累】本题属于与图形有关的归纳猜想型问题，解决这类问题的关键是观察出图形本题属于与图形有关的归纳猜想型问题，解决这类问题的关键是观察出图形的变化规律，并将发现的规律与图形的序号联系起来，然后用整式表示出规的变化规律，并将发现的规律与图形的序号联系起来，然后
26、用整式表示出规律。当已知第律。当已知第n个数，求个数，求n时，往往需要列出方程，然后解方程时，往往需要列出方程，然后解方程.总结回顾：总结回顾：列方程解实际问题的关键在于正确审题，理解实列方程解实际问题的关键在于正确审题，理解实际问题中所描述的数量关系，构建数学模型，设际问题中所描述的数量关系，构建数学模型，设适当的未知数列方程适当的未知数列方程审审-忽视与数量关系无关的语句忽视与数量关系无关的语句找出描述数量关系的语句找出描述数量关系的语句分析出等量关系分析出等量关系根据问题设出未知数根据问题设出未知数设设-根据等量关系列出方程组根据等量关系列出方程组列列-解方程组解方程组双检验双检验根据问
27、题写出回答，要完整准确根据问题写出回答，要完整准确解解-验验-答答-46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的
28、筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终
29、。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。吕坤
