1、刘建成刘建成 教授教授西北师范大学西北师范大学 数信学院数信学院2009.4.20几何原本几何原本 n在差不多一百年前，几何就是欧几里在差不多一百年前，几何就是欧几里得。他在公元前三百年左右写了一部得。他在公元前三百年左右写了一部大书，中文叫做大书，中文叫做几何原本几何原本。n事实上在当时的社会，几何并不被大事实上在当时的社会，几何并不被大家所注意，所以像欧几里得这样伟大家所注意，所以像欧几里得这样伟大的人，我们也不大知道他的生平。的人，我们也不大知道他的生平。n这本书是人类文化史上一部非常伟大、这本书是人类文化史上一部非常伟大、有意义的著作，它的有意义的著作，它的主要结论有两个主要结论有两个
2、：几何原本的主要结论几何原本的主要结论 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理(勾股定理勾股定理)：有一直角三角形有一直角三角形 ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和。，则长边的平方会等于其它两边的平方和。由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个正方形，那么两个小正方形的面积和就会等于正方形，那么两个小正方形的面积和就会等于大正方形的面积。大正方形的面积。内角和定理：内角和定理：三角形三内角三角形三内角 之和等于之和等于 180，如果以弧，如果以弧 度度(radian)为单位，也可以为单位，也可以 说三角形三内角之和等于说三角形三内角之和等于 n后人称颂毕达
3、哥拉斯定理，说它后人称颂毕达哥拉斯定理，说它是平面几何中是平面几何中最重要最重要的定理。迄的定理。迄今为止，在任何有意义的几何空今为止，在任何有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立。的情形下成立。n三角形内角和为三角形内角和为180，本质上是，本质上是说平面是平坦不具有说平面是平坦不具有弯曲弯曲的。的。Legendre首先指出它等价于下面首先指出它等价于下面所给出的命题：所给出的命题：Legendre毕达毕达哥拉斯哥拉斯欧氏几何对后世的影响欧氏几何对后世的影响内角和定理的等价命题内角和定理的等价命题一直线与其它二直线相交后，假设其同侧一直线与其它二直
4、线相交后，假设其同侧二内角和少于二直角，则沿此侧面延长此二直二内角和少于二直角，则沿此侧面延长此二直线，它们必会在某处相交。线，它们必会在某处相交。欧欧氏第五公氏第五公设设 另一个简单的说法是：另一个简单的说法是：假使有一直线和线外假使有一直线和线外一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和原来的直线平行（和原来的直线平行（平行者，就是这两条直线平行者，就是这两条直线不相交不相交）这个说法即这个说法即欧氏第五公设欧氏第五公设。第五公第五公设证明设证明的的失败失败n这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或
5、是对数学有兴趣的人便想从其它所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它的公理去的公理去推得推得平行公理。平行公理。n而这努力延持了两千年左右，后来证明这是而这努力延持了两千年左右，后来证明这是不不可能可能的，于是有了的，于是有了非欧几何学非欧几何学的发现，这在人的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实。类思想史上是非常特别、有意思的事实。下面是一些下面是一些尝试尝试去用去用欧欧氏其它公理去氏其它公理去证明证明第第五公理的人：五公理的人：nPtolemy(168)nProlos(410-485)nNasir al din al Tusi(1300)nLevi ben Gerson(1288
6、-1344)nCataldi(1548-1626)nGiovanni Alfonso Borelli(1608-1679)nGiordano Vitale(1633-1711)nJohn Wallis(1616-1703)nGerolamo Saccheri(1667-1733)nJohann Heinrich Lambert(1728-1777)nAdrien Marie Legendre(1752-1833)LambertPtolemyBorelli第五公第五公设证明设证明的的失败失败最后，高斯、最后，高斯、Bolyai和罗巴和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲切夫斯基不约而同地发明了双曲几
7、何几何曲率曲率为负常数的二维曲面。为负常数的二维曲面。故老相传，高斯曾测量在故老相传，高斯曾测量在Harz山山脉中由脉中由Inselberg、Brocken和和Hoher三地形成的三角形，看看三地形成的三角形，看看其内角和是否等于其内角和是否等于180。高斯高斯Bolyai羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基双曲几何双曲几何 克莱茵（克莱茵（F.Klein）创造了一种）创造了一种解析的方法，通过赋与在单位圆盘解析的方法，通过赋与在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双曲上任意两点的某种距离，给出双曲几何的一个模型。后人称之为几何的一个模型。后人称之为Klein模型。至此，人们终于证明了欧氏模型。至此，人们终
8、于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出第五公理不可以由其它公理推导出来。来。双曲几何给出第一个抽象而与欧双曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间，影响到黎曼的工氏不一样的空间，影响到黎曼的工作。作。Klein Model和非和非欧几何欧几何的的诞生诞生球面几何球面几何n球面几何：球面几何：球面上当然没有球面上当然没有“直线直线”，取而代，取而代之的是之的是“大圆大圆”-球面上以球心为圆心的球面上以球心为圆心的的圆。的圆。“线段线段”则是大圆的圆弧。过球上任意则是大圆的圆弧。过球上任意不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。类似的，我们还可以定
9、义两条大圆弧的起来。类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧氏两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧氏几何的体系内。几何的体系内。球面几何球面几何n球面几何：球面几何：球面几何所讨论的三角形是一个球面球面几何所讨论的三角形是一个球面三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大于于 180，并且有一个非常，并且有一个非常重要的公式重要的公式：n球面几何是非常有用的几何，球面几何是非常有用的几何，天上（天文），地上（地理）天上（天文），地上（地理）
10、都用得着它。要是没有球面都用得着它。要是没有球面 几何学，大航海时代恐怕很几何学，大航海时代恐怕很 难到来，谁让地球是圆的呢？难到来，谁让地球是圆的呢？2RCBA面积球面三角形效果图球面三角形效果图 双曲几何、非欧几何双曲几何、非欧几何 n双曲几何双曲几何：在这个情形下，三角形三内角之和在这个情形下，三角形三内角之和是小于是小于 180的，即有如下的的，即有如下的重要公式重要公式：n非欧几何：非欧几何：球面几何球面几何 与双曲几何与双曲几何 统称为统称为 非欧几何非欧几何。2RCBA面积内角和公式的解释内角和公式的解释n 代表非欧几何的一个代表非欧几何的一个绝对的度量绝对的度量，表示弯曲，表示
11、弯曲程度，叫程度，叫曲率曲率。n因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理上是一个这在数学或物理上是一个重要发展重要发展，因为爱因斯，因为爱因斯坦的相对论中，曲率坦的相对论中，曲率 代表一个场的代表一个场的力力，所以几何度量和物理度量便完全一样。所以几何度量和物理度量便完全一样。2RCBA面积2/1 R2RCBA面积2/1 R内角和公式的解释内角和公式的解释n球面几何中曲率是正的，双曲几何中曲率是负球面几何中曲率是正的，双曲几何中曲率是负的。而其相对应的三角形三内角和，也分别有的。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于大于或小于
12、180之情形，不再满足欧几里得之情形，不再满足欧几里得的平行公理。的平行公理。n从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它越像欧氏几何。越像欧氏几何。n今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比起来太小太小了起来太小太小了。非欧几何一度被视为非欧几何一度被视为“幽灵幽灵”n科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承认的过程。认的过程。n牛顿的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被牛顿
13、的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被人们视为人们视为“幽灵幽灵”。n罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西实在太古怪。他把这种几何称为实在太古怪。他把这种几何称为“想象的几何想象的几何”。n要人们接受这种想象的几何实在不容易。要人们接受这种想象的几何实在不容易。n罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。他的想法是正确的，但他并未完全成功。他的想法是正确的，但他并未完全成功。高斯发
14、现三角形内角和减去高斯发现三角形内角和减去180后与后与曲率曲率和三角形面积的乘积相等，和三角形面积的乘积相等，高斯把这个性质推广成为一条有关曲高斯把这个性质推广成为一条有关曲率的积分方式。率的积分方式。高斯高斯-Bonnet公式公式 在现代几何和拓扑学中非常重要。陈在现代几何和拓扑学中非常重要。陈省身先生将它推广到高维空间，而最省身先生将它推广到高维空间，而最后发展成后发展成陈氏类陈氏类，这个发展为近代时，这个发展为近代时空创造了宏观的看法。在近代的弦学空创造了宏观的看法。在近代的弦学中，时空的质子数目与陈氏类有关。中，时空的质子数目与陈氏类有关。陈陈省身省身陈陈氏氏示性类示性类)(2dA
15、SKS 要等到要等到费马费马（1629）和）和笛卡儿笛卡儿（1637）引入坐标系统后，人们才能）引入坐标系统后，人们才能用代数的方式来表示运动轨迹。用代数的方式来表示运动轨迹。笛卡儿（笛卡儿（1596-1650）：）：我已铁定了心，扬弃抽象的几何学，我已铁定了心，扬弃抽象的几何学，它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外，它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外，就没有什么用处。代而之我要研究那些就没有什么用处。代而之我要研究那些以解释大自然现象为目标的几何。以解释大自然现象为目标的几何。“I have resolved to quit only abstract geometry,that is to sa
16、y,the consideration of questions which serve only to exercise the mind,and this,in order to study another kind of geometry,which has for its object the explanation of the phenomena of nature.”費馬費馬解析解析几何几何笛卡兒笛卡兒解析解析几何几何 欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。这是法国哲学家、数学家笛卡儿标几何。这是法国哲学家、数学家笛卡儿（159616
17、50年），对于研究几何，引进了年），对于研究几何，引进了坐标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的坐标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的问题。坐标就是说：假使在问题。坐标就是说：假使在 X-Y 平面上，有两平面上，有两个轴：个轴：X 轴和轴和 Y 轴，那么一个点的两个轴，那么一个点的两个 X、Y 坐标，就分别以如下图中的两个相对应的度量来坐标，就分别以如下图中的两个相对应的度量来表示表示:解析解析几何几何解析解析几何几何的的理论价值理论价值 这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有其重大的意义：其重大的意义：解析之后，使解析之后，使可研究的图形的
18、范围扩大可研究的图形的范围扩大，除了直，除了直线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们还可以取任意的方程式还可以取任意的方程式 f(x,y)=0，讨论所有点，讨论所有点它的坐标它的坐标(x,y)适合这样方程式的轨迹。因此许适合这样方程式的轨迹。因此许多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后，多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后，都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。解析解析几何几何的的理论价值理论价值研究的图形不再局限在二维的平面上，研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至可推广至高维的空间高维
19、的空间。世界上的事情，如果只用二维的平。世界上的事情，如果只用二维的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。例如我们所在的空间是三维，有例如我们所在的空间是三维，有 x、y、z 三个三个度量。假使要用几何来表示物理的问题，那么三度量。假使要用几何来表示物理的问题，那么三个度量之外，尚须加一个时间个度量之外，尚须加一个时间 t，所以物理的空，所以物理的空间就变成了间就变成了四维的空间四维的空间；解析解析几何几何的的理论价值理论价值不但如此，假使有一点在三维空间运动，那么除不但如此，假使有一点在三维空间运动，那么除了需要了需要(x,y,z)来表示点的位置，还需
20、要这三坐来表示点的位置，还需要这三坐标对时间的微分来表示它的速率，即标对时间的微分来表示它的速率，即 这就成了六维空间。所以种种的情形都指示我们这就成了六维空间。所以种种的情形都指示我们 有必要考虑更高维的空间，来表示自然的现象。有必要考虑更高维的空间，来表示自然的现象。dtdz ,dtdy ,dtdx解析解析几何几何的的理论价值理论价值解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科学发展的基本现象，就是要扩大研究的范围，了学发展的基本现象，就是要扩大研究的范围，了解更多的情形。笛卡儿的解析几何，便达到了这解更多的情形。笛卡儿的解析几何，便达到了这个目的，
21、使几何学迈入一个个目的，使几何学迈入一个新的阶段新的阶段。笛卡儿发明了解析几何，可说是几何学上的一大笛卡儿发明了解析几何，可说是几何学上的一大突破。他引进坐标系统来描述几何图形，几何和突破。他引进坐标系统来描述几何图形，几何和代数因此结合起来了。代数因此结合起来了。坐标系统让我们绕过欧氏坐标系统让我们绕过欧氏公理来研究几何图形公理来研究几何图形，它，它也领导我们进入了高维也领导我们进入了高维空间。空间。在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利用定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利用这种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就
22、变这种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就变得一清二楚了。得一清二楚了。刻卜勒刻卜勒第二定律第二定律解析解析几何几何的的应应用用利用利用解析几何解析几何和和微积分微积分，牛顿及其它天文学家对天体牛顿及其它天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计的运动进行了巨细无遗的计算。天体的运动是透过欧氏算。天体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，的，在那里空间是静止的，而时间则独立于空间之外。而时间则独立于空间之外。太阳系鸟瞰太阳系鸟瞰牛顿牛顿(Newton)(1642 1727)牛顿宣称他的时空是绝对的、牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的。它为宇宙提供一个刚
23、性静止的。它为宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。的、永恒不变的舞台。对内对外而言，绝对空间对内对外而言，绝对空间都是相似及不动的。都是相似及不动的。“Absolute space,in its own nature and with regard to anything external,always remains similar and unmovable.”牛顿利用一个旋转水桶的实验，牛顿利用一个旋转水桶的实验，来说明绝对空间的存在性，而惯性坐来说明绝对空间的存在性，而惯性坐标便是在绝对空间中静止的坐标。标便是在绝对空间中静止的坐标。绝对空间绝对空间几何学的统一几何学的统一 19世纪中
24、叶以后，通过世纪中叶以后，通过否定否定欧几里得几何中欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种这样或那样的公设、公理，产生了各种新而新而又新又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，19世世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在
25、这样的形势下，在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们在联系，用统一的观点来解释它们，便成为便成为数学家们追求的一个数学家们追求的一个目标目标。克莱因克莱因 统一几何学的第一个大胆计划是由德国统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。数学家克莱因提出的。1872年，克莱因发年，克莱因发表了著名的演讲表了著名的演讲爱尔朗根纲要爱尔朗根纲要，阐述了，阐述了几何学统一的新思想。几何学统一的新思想。克莱因的克莱因的Erlangen program 他在二十二岁的时他在二十二岁的时候，前往德国小城候，前往德国小城 Erlangen 的一所的一
26、所大学任教。依据德大学任教。依据德国的习惯，新教授国的习惯，新教授上任必须做一次公上任必须做一次公开演讲，而他讲演开演讲，而他讲演的结果的结果Erlangen program，就是，就是这个新几何学。这个新几何学。克莱因几何学的新思想克莱因几何学的新思想所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。换群保持不变的性质的学问。他把几何学建立在他把几何学建立在群群的观念上：一个空间有的观念上：一个空间有一个一个变换群变换群，允许把空间的图形从这个位置，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置。因此有了一个群之后，便移到另一个位置。因此有了一个
27、群之后，便有一种几何，它研究所有经过这个变换群有一种几何，它研究所有经过这个变换群不不变变的几何性质。的几何性质。这个群可以是欧几里得运动群，也可以是投这个群可以是欧几里得运动群，也可以是投影变换群，或者其它种种的群。因为群的选影变换群，或者其它种种的群。因为群的选择不同，也就得到许多不同的几何学；其中择不同，也就得到许多不同的几何学；其中包括非欧几何学。包括非欧几何学。克莱因的克莱因的Erlangen program 这样一来，不仅这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也
28、对应于几何学的且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。一种分类。并非所有几何都能纳入克莱因方案，例如今并非所有几何都能纳入克莱因方案，例如今天的天的代数几何代数几何和和微分几何微分几何，然而克莱因的纲，然而克莱因的纲领的确能给大部分几何提供一个系统的分类领的确能给大部分几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。群群 群是数学上一个基本的结构。群是数学上一个基本的结构。数学上总是要运算，加、减、乘、除；研究数学上总是要运算，加、减、乘、除；研究几何的话，把这个东西从这个位置移动到其几何的话，把这个东西从这个位置移动到其它的位置，
29、也是个它的位置，也是个运算运算。这样的运算（也称为运动）有一个特别的性这样的运算（也称为运动）有一个特别的性质，也就是说：把一个物体从甲地移到乙地，质，也就是说：把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物体从甲地移到丙地，再移到丙地，可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成，具有这个特殊性质的，便称其成一具有这个特殊性质的，便称其成一群群。l微积分微积分的诞生解决了弯曲对象的计算问题，如的诞生解决了弯曲对象的计算问题，如曲线的弧长、曲面域的面积、几何体的体积等；曲线的弧长、曲面域的面积、几何体的体积等；l代数学代数学的进展
30、使得几何对象能用精确的代数语的进展使得几何对象能用精确的代数语言来重新描述；言来重新描述；l微分方程微分方程的进展使得几何中最基本的存在性问的进展使得几何中最基本的存在性问题得以解决题得以解决;l计算机技术计算机技术的更新使得几何对象得以直观再现的更新使得几何对象得以直观再现l丰富的丰富的数学语言数学语言使问题的描述更为方便、精确使问题的描述更为方便、精确l解析几何学中用来处理二次曲线和二次曲解析几何学中用来处理二次曲线和二次曲面的初等代数学方法仍然面的初等代数学方法仍然不能不能处理处理;l随着微积分的发展随着微积分的发展,分析学进入几何学，可分析学进入几何学，可以利用以利用来揭示空间更一般的
31、曲线和来揭示空间更一般的曲线和曲面的几何性质曲面的几何性质,这就形成了三维空间中曲这就形成了三维空间中曲线和曲面的线和曲面的；l主要包括主要包括和和两部分内容：两部分内容：曲线论：曲线论：表现为如下两个方面的内容：表现为如下两个方面的内容：描写它的弧长（曲线上两点之间的距离）、描写它的弧长（曲线上两点之间的距离）、曲率（反映曲线的弯曲程度）和挠率（描曲率（反映曲线的弯曲程度）和挠率（描写曲线的扭曲程度），这三个两刻画了曲写曲线的扭曲程度），这三个两刻画了曲线的形状和大小；线的形状和大小；两条曲线能够在一个刚体运动下彼此重合两条曲线能够在一个刚体运动下彼此重合的充要条件是它们的弧长相等，并且曲率
32、的充要条件是它们的弧长相等，并且曲率和挠率作为弧长的函数也对应地相同。和挠率作为弧长的函数也对应地相同。因此，弧长、曲率和挠率构成了空间曲线因此，弧长、曲率和挠率构成了空间曲线的完全不变量系统。的完全不变量系统。曲面论：曲面论：与曲线相比较，情况比较复杂：与曲线相比较，情况比较复杂：将曲面上两个无限邻近点之间的距离表示成将曲面上两个无限邻近点之间的距离表示成 通常称为曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以通常称为曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以用来描写曲面上曲线的弧长、两个方向之间的夹角、曲用来描写曲面上曲线的弧长、两个方向之间的夹角、曲面域的面积面域的面积将到邻近点的切平面之间的距
33、离表示成将到邻近点的切平面之间的距离表示成 通常称为曲面的第二基本形式，由它结合第一基本形式通常称为曲面的第二基本形式，由它结合第一基本形式可以用来描述曲面的弯曲。可以用来描述曲面的弯曲。第一和第二基本形式构成曲面的完全不变量系统第一和第二基本形式构成曲面的完全不变量系统2222GdvFdudvEduds222NdvMdudvLduIIl对微分几何做出过杰出对微分几何做出过杰出贡献的数学家有贡献的数学家有Euler和和Monge,他们的工作是如他们的工作是如何描写和刻画曲面何描写和刻画曲面l对微分几何做出划时代对微分几何做出划时代贡献的当推德国数学家贡献的当推德国数学家GaussGauss的主
34、要贡献表现在以下三个方面：的主要贡献表现在以下三个方面：证明了第一和第二基本形式不是彼此独立的；证明了第一和第二基本形式不是彼此独立的；曲面的许多弯曲性质完全由度量形式决定；特曲面的许多弯曲性质完全由度量形式决定；特别别Gauss曲率是内蕴几何量（曲率是内蕴几何量（高斯绝妙定理高斯绝妙定理）阐明了非欧几何与欧氏几何的实质区别在于空阐明了非欧几何与欧氏几何的实质区别在于空间具有不同的度量形式，从而具有不同的弯曲间具有不同的度量形式，从而具有不同的弯曲性质。欧氏空间是平直的，而非欧空间是负常性质。欧氏空间是平直的，而非欧空间是负常弯曲的；弯曲的；高斯把他的绝妙定理写入高斯把他的绝妙定理写入曲面通论
35、曲面通论一书一书中。他指出必须把曲面的中。他指出必须把曲面的内在性质内在性质，即身处曲，即身处曲面内扁小甲虫所经验的属性，与其面内扁小甲虫所经验的属性，与其外在的外在的，即，即依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来，而依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来，而只有内在性质，才值得几何学家焚膏继晷，只有内在性质，才值得几何学家焚膏继晷，兀兀穷年地上下求索兀兀穷年地上下求索(most worthy of being diligently explored by geometers)。后世称研。后世称研究这些性质的学问为究这些性质的学问为内蕴几何内蕴几何。如测地线、曲如测地线、曲面上三角形的内角和、平行
36、移动等概念；面上三角形的内角和、平行移动等概念；从球面剪取一片曲面，其高斯曲率为正从球面剪取一片曲面，其高斯曲率为正常数。反过来说，局部而言，任何具正常曲常数。反过来说，局部而言，任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分。率的曲面都是球面的一部分。类似地，从双曲曲面剪取的一片，其高类似地，从双曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于负一，而反过来说曲率等于负斯曲率恒等于负一，而反过来说曲率等于负一的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾一的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾在讨论欧氏第五公设时论及。在讨论欧氏第五公设时论及。高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并没有认为人们对空
37、间已认识透彻。没有认为人们对空间已认识透彻。高斯：高斯：我愈来愈相信，人类的理性并我愈来愈相信，人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。也许后世不能证明或理解几何的必要性。也许后世能对空间的本质有新的洞见，但目前这却能对空间的本质有新的洞见，但目前这却是不可能的事。是不可能的事。“I am becoming more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved,at least not by human reason nor for human reason.Perhaps in another
38、 life we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.”高斯：高斯：当下我们不能把几何与本质是先验的算术当下我们不能把几何与本质是先验的算术相提并论，只适宜将它与力学并列相提并论，只适宜将它与力学并列。“Until then we must place geometry not in the same class with arithmetic which is purely a priori,but with mechanics.”n高斯研究的是高斯研究的是二维曲面
39、二维曲面内的几何。内的几何。高高维流形维流形的内蕴几何是由黎曼提出的。的内蕴几何是由黎曼提出的。n黎曼在他的教授黎曼在他的教授就职演说就职演说建构几何建构几何学的假设中，利用尺度的无限小形学的假设中，利用尺度的无限小形式，引入了抽象空间。在那里高斯曲式，引入了抽象空间。在那里高斯曲率有了明确的涵义。率有了明确的涵义。n这是一个重要的时刻，人们终于摆脱这是一个重要的时刻，人们终于摆脱了平坦的欧氏（线性）空间，而成功了平坦的欧氏（线性）空间，而成功创造一个自我生存的内蕴空间了。创造一个自我生存的内蕴空间了。黎曼黎曼抽象抽象空间空间（现代几何学的诞生现代几何学的诞生）黎曼在黎曼在1852年的年的就职
40、演说就职演说第一位第一位创建广义的新几何学体系的数学创建广义的新几何学体系的数学家是黎曼家是黎曼.他必须通过就职演讲，才能担任他必须通过就职演讲，才能担任无报酬的哥廷根大学的讲师职位无报酬的哥廷根大学的讲师职位.他提交了他提交了三个题目由教授会选择，他希望他们选中三个题目由教授会选择，他希望他们选中前两个中的一个，这是他已经准备好了的前两个中的一个，这是他已经准备好了的.但是他轻率地提出的第三个题目正是高斯但是他轻率地提出的第三个题目正是高斯仔细考虑了仔细考虑了60年或更长时间的问题年或更长时间的问题几几何基础，而这个题目他没有准备何基础，而这个题目他没有准备.使黎曼大使黎曼大吃一惊的是，高斯
41、指定吃一惊的是，高斯指定第三个题目第三个题目.黎曼在黎曼在1852年的年的就职演说就职演说“所以我又处在绝境中了，所以我又处在绝境中了，”他给父亲他给父亲写信说，写信说，“因为我不得不作出这个题目因为我不得不作出这个题目.我我恢复了对电、磁、光和引力的研究，我已恢复了对电、磁、光和引力的研究，我已经进行到可能没有丝毫怀疑地发表它经进行到可能没有丝毫怀疑地发表它.我越我越来越相信高斯已经在这个题目上工作了许来越相信高斯已经在这个题目上工作了许多年，并对一些朋友谈到过它多年，并对一些朋友谈到过它.”黎曼在黎曼在1852年的年的就职演说就职演说黎曼的就职演讲（黎曼的就职演讲（1854年年6月月10日
42、）得到热日）得到热情接受情接受.这篇演讲无论就数学还是就文笔来说，都这篇演讲无论就数学还是就文笔来说，都是杰作是杰作.它改革了几何学的研究它改革了几何学的研究,并且被认为是整并且被认为是整个数学史上篇幅最短，内容最丰富的文章个数学史上篇幅最短，内容最丰富的文章.在演讲在演讲的结尾，他说，的结尾，他说，“这样一种研究的价值也许在于能使我们从这样一种研究的价值也许在于能使我们从先入之见中解放出来，需要用某种不同于欧几里先入之见中解放出来，需要用某种不同于欧几里得几何学的几何学来研究物理定律的日子必将到得几何学的几何学来研究物理定律的日子必将到来来.”这些预见在他死后五十年，由于爱因斯坦的广义这些预
43、见在他死后五十年，由于爱因斯坦的广义相对论而实现了相对论而实现了.就职演说的贡献就职演说的贡献n对黎曼的简单扼要的论文的任何解释，都对黎曼的简单扼要的论文的任何解释，都不能说明这篇论文的全部内涵不能说明这篇论文的全部内涵.有三点最基有三点最基本的贡献需要指出本的贡献需要指出.这就是这就是流形流形的概念，的概念，度度量量的定义和流形的的定义和流形的曲率曲率的概念的概念.n将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广成任意空间的内蕴几何。他把广成任意空间的内蕴几何。他把 n 维空间维空间称作一个称作一个流形流形，n 维流形中的一个点，可维流形中的一个点，可用用n 个参
44、数个参数x1,x2,x n 的一组特定数的一组特定数值来表示，称作流形的坐标。值来表示，称作流形的坐标。就职演说的贡献就职演说的贡献n 定义流形中的两点定义流形中的两点距离（即度量）距离（即度量），假定这微小，假定这微小距离的平方是一个二次微分齐次距离的平方是一个二次微分齐次n 由度量定义流形的由度量定义流形的曲率，曲率，常见三种曲率空间：常见三种曲率空间：（1）曲率为正常数；（黎曼几何空间）曲率为正常数；（黎曼几何空间）（2）曲率为负常数；（罗氏几何空间）曲率为负常数；（罗氏几何空间）（3）曲率恒等于零。（欧氏几何空间）曲率恒等于零。（欧氏几何空间）ninjjiijdxdxgds112)(黎
45、曼的新发现从根本上黎曼的新发现从根本上改变改变了数了数学家对几何的看法。从此以后，几学家对几何的看法。从此以后，几何学家研究的空间不再依赖于欧氏何学家研究的空间不再依赖于欧氏空间，我们可以空间，我们可以独立地独立地讨论讨论抽象空抽象空间间的几何了（即的几何了（即黎曼几何黎曼几何）。他的）。他的后继者后继者Christoffel、Ricci、Levi-Civita和和Beltrami开拓了流形上的微开拓了流形上的微积分和张量分析等研究。不过对绝积分和张量分析等研究。不过对绝大多数人而言，这些高维抽象空间大多数人而言，这些高维抽象空间要不是枯燥无味，就是跟大自然风要不是枯燥无味，就是跟大自然风马牛
46、不相及。马牛不相及。ChristoffelRicciBeltrami黎曼几何黎曼几何黎曼几何学与广义相对论黎曼几何学与广义相对论 n 真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相广义相对论对论。n 大致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要大致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要把物理把物理几何化几何化，也就是说把物理的性质变为几何的性质，也就是说把物理的性质变为几何的性质，因此黎曼几何就成为物理学家一定要念的一门数因此黎曼几何就成为物理学家一定要念的一门数学。学。n 到了黎曼空间一样有曲率的概念，只是因为黎曼到了黎曼空间一样有曲率的概念，只是因为黎曼空间是高维的，所以
47、它的曲率概念就变得相当复空间是高维的，所以它的曲率概念就变得相当复杂。杂。n 在爱因斯坦的广义相对论中的基本公式里，大致在爱因斯坦的广义相对论中的基本公式里，大致说起来，物理的力是一个曲率；数学家讲曲率和说起来，物理的力是一个曲率；数学家讲曲率和物理学家讲力、位势物理学家讲力、位势(potential)、速度，是完全、速度，是完全可以把它们连在一起的。可以把它们连在一起的。联络、矢量丛、规范场论联络、矢量丛、规范场论 o 在黎曼几何中，在黎曼几何中，Levi-Civita 平行性是一平行性是一个重要的观念。个重要的观念。o Levi-Civita 以为在以为在伪黎曼几何伪黎曼几何（广义相（广义
48、相对论里的其中一种，称为劳伦兹几何）都有对论里的其中一种，称为劳伦兹几何）都有一个很基本的性质，那就是平行性；在这个一个很基本的性质，那就是平行性；在这个时候，空间不再是只用一个坐标系表示的空时候，空间不再是只用一个坐标系表示的空间，而是需要很多不同的坐标系才能表现的间，而是需要很多不同的坐标系才能表现的流形流形(manifold)，这样又把几何研究，这样又把几何研究的空间推广了。的空间推广了。联络、矢量丛、规范场论联络、矢量丛、规范场论 o 陈省身常有个比喻，如果我们把几何空间的推陈省身常有个比喻，如果我们把几何空间的推广和人类穿衣服的过程相对照，广和人类穿衣服的过程相对照，o 那么一开始的
49、欧几里得几何，便好比人在原始那么一开始的欧几里得几何，便好比人在原始社会中没有穿衣服，是裸体的；然后笛卡儿把社会中没有穿衣服，是裸体的；然后笛卡儿把坐标的概念加入了赤裸的空间，就好比人坐标的概念加入了赤裸的空间，就好比人类开始穿衣服；而到了流形的阶段，就好比现类开始穿衣服；而到了流形的阶段，就好比现代人，不只穿一件衣服，还要常常换。代人，不只穿一件衣服，还要常常换。o 也许有些人不太能接受这样奇装异服式的也许有些人不太能接受这样奇装异服式的换坐标，但是没有关系，爱因斯坦花了七年的换坐标，但是没有关系，爱因斯坦花了七年的时间，才终于接受坐标可以转换的概念，而能时间，才终于接受坐标可以转换的概念，
50、而能从狭义相对论进展到广义相对论。从狭义相对论进展到广义相对论。联络、矢量丛、规范场论联络、矢量丛、规范场论 o 空间中有不同的坐标系，那么麻烦就来了，空间中有不同的坐标系，那么麻烦就来了，因为几何的性质便和坐标系的选取有关了，因为几何的性质便和坐标系的选取有关了，不过不要紧，只要我们能控制坐标变换的性不过不要紧，只要我们能控制坐标变换的性质，使在变换前既有的性质，经过变换之后质，使在变换前既有的性质，经过变换之后仍为我们所控制，那么换坐标就没关系了，仍为我们所控制，那么换坐标就没关系了，这是近代几何学比较困难的地方。这是近代几何学比较困难的地方。联络、矢量丛、规范场论联络、矢量丛、规范场论
