1、从掷骰子说起(概率论的起源和发展简介)目录 赌博问题赌博问题,如何分赌资？如何分赌资？概率论的起源概率论的起源 走出赌博走出赌博 现代概率论的发展及若干分支简介现代概率论的发展及若干分支简介 概率论应用简介概率论应用简介一、赌博问题赌博问题,如何分赌资？如何分赌资？概率论的起源概率论的起源 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。著名经济学家萨缪尔森说：“为什么赌博被认为是很坏事情呢？最重要的原因可能是道德、伦理和宗教方面，但从经济学上看，反对赌博的理由也相当大。首先，即使庄家不去抽头，不搞别的花样，赌博也只是毫无益处地把金钱从一个人手中转到另一人手中，
2、赌博并不创造新的价值，却要耗费时间和资源。所以，除了小额赌博还有某些娱乐功能外，赌博危害社会并减少国民收入。赌博的第二个坏处是，它趋于过大收入的不平等和不稳定。即：涉及经济学中的边际递减原理边际递减原理。在当时的欧洲，有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德梅耳(De Mere)，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这就是后人称为著名的De Mere问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约
3、定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？这个问题的一般化是：进行某种独立重复试验，每次成功的概率为p，失败的概率为1-p.问在失败m次之前成功n次的概率是多少？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但赌徒们自己无法给出答案。因此就请数学家们“参与”赌博。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国天才数学家 帕斯卡(Bvlaise Pascal)(1623-1662),帕斯卡为了解决这些问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)建立联系。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。
4、Bvlaise PascalPierre de Fermat 这些问题被荷兰科学家惠更斯(C.Huygans)获悉，他从荷兰赶到巴黎参与他们的讨论，这样一来，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生浓厚的兴趣从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。C.Huygans 如何合理地分赌注呢？帕斯卡提出一个重要思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从中断赌博以后继续赌下去他们能获胜的概率。帕斯卡、费尔马和惠更斯分别给出这个问题的三种不同解法。终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念数学期望。之后，惠更斯经过多年的潜心研究,解决了掷骰子中的一些数学问
5、题.1657年,他将自己的研究成果写成了专著论掷骰子游戏中的计算。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。人们把帕斯卡和费尔马建立联系的日子(1654年7月29日)作为概率论的生日。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族贝努利家族的几位成员。雅可布贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算
6、，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证明(后人称贝努利大数定律)。伯努利家族丹尼尔伯努利 雅科布伯努利(Jocob Bernoulli)尼古拉贝努利Nicolaus Bernoulli James Bernoulli (1654-1705)约翰伯努利(欧拉的老师)欧拉 1713年，雅可布的著作猜度术出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到
7、掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲22个卢布。一般地，若甲前n1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。二、走出赌博 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用
8、到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家Laplace将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“De Moivre-Laplace中心极限定理”，把De Moivre的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。Laplace于1812年出版了他的著作分析的概率理论，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科.Laplace De Moivre 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技
9、术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家Markov提出了被后人称为“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。Andrei Markov(1856-1922)辛钦 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下Andrei N.Kolmogorov(1903-1987)于1933年在他的概率论基础一书中首次给出了概率的测度
10、论式定义和一套严密的公理体系即概率论的公理化定义。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。Andrei N.Kolmogorov (1903-1987)三、现代概率论的发展及若干分支 虽然概率论成为严谨的数学分支，但由于它所使用的无非是数学分析、复变函数等分析类工具，没有自己解决问题的方法，概率论在数学大家族中还是一个小弟弟，因此，研究概率论学者被别的数学学科的学者小视。在这期间，有一位著名的苏联数学家Doob利用公平赌博的思想，引进了一类新的随机过程类Martingale(离散时间鞅)，与此同时，日本著名数学家Ito研究了Brown运动的轨道性质。于是，概率论有自己的
11、理论和研究方法，并把其应用于其他数学分支的研究中。从此，现代概率论开始发展了。J.L.Doob K.Ito1.半鞅论和随机分析的建立 1953年，Doob 在其著作Stochastic Processes(Wiley,New-York)中首次系统地介绍了鞅论，使之成为随机过程理论的一个独立分支。但是，在此后的10年内，鞅论的发展比较缓慢。20世纪60年代初期，Doob的学生法国大数学家 P.A.Meyer以及他的女弟子C.Doleans-Dade 解决了由Doob提出的上鞅分解问题，并且发展了平方可积鞅理论。1967年，H.Kunita 和S.Watanabe研究了平方可积鞅的随机积分，这些重
12、要工作为鞅和随机积分理论的发展开辟了新的道路。在同时，P.A.Meyer和C.Dellacherie等又创立了随机过程一般理论，为鞅论和随机积分理论的发展提供了强有力的工具。从此，特别是进入20世纪70年代后，半鞅和随机积分理论成为随机过程理论中最活跃和最富于成果的分支之一。它是随机分析的有力工具。半鞅是可以合理定义随机积分的最大被积过程类。基于半鞅的随机分析是现代概率论的一个主要分支。它不仅是研究概率论的许多分支（Markov过程与扩散过程、随机点过程、随机过程统计、随即滤波与控制等）的重要工具，而且在数学许多分支（偏微分方程、调和分析、微分几何等）以及数学物理中有广泛的应用。它还逐步渗透到
13、工程数学、生物数学、金融数学以及其它领域中。严加安院士及悟道诗2.随机微分方程和随机动力系统随机微分方程和随机动力系统 关于对Brown运动的随机积分和随机微分方程是由K.Ito引进和发展的。在1942年，K.Ito首先把它应用于Markov过程的构造，后者起源于Kolmogorov的分析方法与Feller的半群方法。但是对于扩散过程，更接近物理直观的Langevin方程是很有吸引力的，可惜的是Brown运动对于几乎所有的样本轨道无处可微，因此从数学上说不能按照一般的想法定义Brown运动的积分。至今，从Ito开始的随机微分方程不仅适应于扩散过程，而且适应于一大类非常广泛的随机过程，例如：半鞅
14、、期权定价理论等。从20世纪80年代以后，L.Arnold开始对一般的随机动力系统理论进行研究,现在主要是研究有随机微分方程所生成的随机动力系统的性质，例如：随机动力系统的稳定性，随机吸引子的存在性，随机吸引子分形性质。半鞅、随机积分和随机微分方程是研究数理金融的有力工具。3.随机偏微分方程及其应用 1986年J.B.Walsh开始引进和研究Brown单和鞅测度，从此开始了随机偏微分方程的研究。开始主要是研究随机偏微分方程的强解、弱解和轨道解的存在和唯一性。现在，白噪声分析方法和超过程方法也是研究随机偏微分方程的有利工具。4.Dirichlet型式型式 20世纪70-80年代日本著名数学家M.
15、Fukushima引进和发展了Dirichlet型式，Dirichlet型式起源于对Markov过程半群理论的研究，目的是利用泛函分析的方法研究Markov过程半群理论，M.Fukushima建立了对称Markov过程半群的无穷小算子和Dirichlet型式之间的一一对应关系，20世纪90年代，我国的马志明院士建立了非对称Markov过程半群的无穷小算子和非Dirichlet型式之间的一一对应关系，从而把随机问题的研究转化为非随机问题的研究。现在这是一个非常活跃的概率论研究分支。Masao Fukushima 5.白噪声分析白噪声分析 早在19世纪末和20世纪初，由于数学物理问题的需要，V.V
16、olterra,R.Gateaux,P.Levy 和Frechet 等已经开始了无穷维分析的研究。然而其中最富有成果的研究方向是由N.Wiener和A.N.Kolmogorov开始的与随机过程理论紧密相连的无穷维积分理论。1923年，作为Brown运动的数学模型，Wiener首先在连续函数空间上构造了一个概率测度，即Wiener测度。此后，R.Gameron和W.Martin的一系列成果揭示了Wiener积分的许多重要性质，特别是Gaiss测度的拟不变性。1931年，A.N.Kolmogorov导出了 扩散过程转移概率所满足的二阶抛物型偏微分方程，从而建立了随机过程和偏微分方程之间的联系。20
17、世纪40年代，K.Ito（同时还有I.I.Gikhman）开创了随机过程轨道的无穷小分析，即随机分析学。通过Ito随机微分方程，人们可以直接构造扩散过程的轨道，将扩散过程看作Brown运动的轨道泛函，即Wiever泛函，提供了用概率方法解决微分方程问题的可能性，与此同时，R.Feynman和M.Kac用泛函积分方法解决数学物理方程的著名工作以及量子场论的发展给了无穷维分析以新的推动力。20世纪70-80年代，日本著名数学家T.Hida创建了白噪声分析。白噪声分析是Brown运动的广义导数，其样本空间是Schwartz广义函数空间，Hida将Schwartz泛函看作白噪声泛函，在此基础上建立了无
18、穷维Schwartz理论，白噪声分析有着深刻的物理背景，它在Feynman积分和量子场论中的成功应用已越来越引起物理学家的重视。Wiener空间上的Dirichlet Forms 也是现在概率论研究的重点问题之一。Takeyuki Hida6.Malliavin分析分析 几乎与Hida同时,即20世纪70-80年代,P.Malliavin创立随机变分学,拓广了微分的概念,使常见的Wiener泛函可以无穷次微分,并将梯度、散度和Ornstein-Uhlenbeck算子等成功地推广到无穷维空间,在此基础上,S.Watanabe,I.Shigekawa,D.W.Stroock和P.A.Meyer等建
19、立了无穷维Sobolev理论.Malliavin分析在偏微分算子、热核的正则性和渐进估计、随机振荡积分以及随机系数的滤波与控制等方面成功地应用已使它成为当今随机分析领域中最瞩目的成果之一。Paul Malliavin7.随机过程的极限定理随机过程的极限定理 随机过程极限定理是近代概率论的一个重要分支。自1956年Yu.V.Prokhorov和A.V.Skorokhod发表他们的著名论文后，随机过程极限定理的研究得到了飞速发展。20世纪70-80年代，半鞅理论和随机分析的兴起，给这一理论注入了崭新的内容和研究方法。它对随机微分方程稳定性理论的研究提供了方法和手段，特别地，它是对随机过程统计理论发
20、展的基础。Yu.V.Prokhorov A.V.Skorokhod8.随机微分几何 在数学的各分支中，几何学自古以来一直被数学家所重视。其原因在于：几何学研究的是自然现象的某种表现形式，而自然现象具有很真实的感觉，一直是数学家灵感的重要源泉。因此，几何学和其他数学分支有着极为密切的关系；也由于自然科学的发展而得到推动，如：20世纪30年代Einstein提出的广义相对论，近20年来Yang-Mills提出的规范场论等，都是几何学和物理学结合的最好例子。几何学的主要部分是微分几何，近代微分几何研究流形上的解析结构和这种结构所蕴含的几何现象。微分几何要求所研究的对象具有很好的解析性质，但是，有时这
21、些性质不具备，传统的方法无法使用。因此，随机的方法就被引入到微分几何学的研究中。随机微分几何是概率论的重要分支，国内外有众多专家和学者从事这一领域的研究，我国数学家陈木法院士也在这一领域内作出了很多优秀的成果。9.Markov过程和扩散过程 Markov过程的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Markov于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态(现在)的条件下，它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变(过去)。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛
22、夫在概率论的解析方法一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。这是概率论最重要最基本的研究分支，概率论很多问题的研究最终大都要归结到Markov过程的研究。10.倒向随机微分方程及应用 正向微分方程的研究已有近半个世纪的历史,取得了辉煌的成果.它不仅有直接的应用背景,并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、位势理论等发生了非常自然的而且常常是意想不到
23、的联系,互相促进,相映生辉.许多著名的数学家都为之吸引,在这一领域作出了杰出的贡献.其结果又反过来促进了其它学科的进展.近期一个典型的例子就是P.L.Lions 等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论,其直接动力就是来源于他在随机微分方程和随机控制理论方面的研究.与这一进展形成鲜明对照的是:关于倒向随机微分方程的研究才刚刚开始,其线性情况由Bismut 在1978年提出的,而非线性情况下的基本框架是由彭实戈院士与法国数学家Pardoux 在1990年提出并证明其存在唯一性的.非常巧合的是,在经济学的研究中,著名经济学家Duffie 和Epstein 也独立地在1992 年提出了这一方程的一个
24、特别典型的情况.倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程,现在回过头来分析应不外乎以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别.所以难以从正向随机微分方程出发猜想出倒向随机微分方程的形式.其次,从应用的角度讲.正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标.从认识论的观点来看这一滞后也是自然的.倒向随机微分方程的理论研究的历史较短,但进展却很迅速.除了其理论本身所具有的有趣的数学性质之外,还因为发现了重要的应用前景.著名经济学家Duffie 和Epstein 发现可
25、以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好即效用函数理论这是计量经济学的基础.彭实戈院士通过倒向随机微分方程获得了非线性Feynman-Kac 公式,从而可以用来处理诸如反应扩散方程和Navier-Stokes 方程等众所周知的重要非线性偏微分方程组.El Karoui 和Quenez 发现金融市场的许多重要的派生证券(如期权期货等)的理论价格可以用倒向随机微分方程解出。E.Pardoux教授 在讲学彭实戈院士和夫人法国Nicole El Karoui教授 法国Monique Jeanblanc教授 四、应用 现代概率论是数学科学的重要分支之一，是现代科学研究的重要工具之一。它可以应用于自然科学、
26、工程技术、管理科学、国防建设、航空航天、气象预测预报、社会科学的几乎每一个学科分支。在生物学上应用DNA排序细胞生物学分子生物学在物理学上应用高能物理在化学上的应用高分子化学在地理学上的应用在勘探上的应用在文学中应用在社会学上应用 心理学（测慌）教育学 经济学 社会学 人口学 管理科学 文学 语言学 在经济、金融中的应用纽约证券交易所上海证券交易所在IT业中的应用 分类、搜索 图像或模式识别 随机网络(随机图论)在交通运输上的应用在军事上的应用在军事及航空航天中的应用在信息学科的应用 总之，我们身边处处是数学，我们要做有心人，善于发现问题，要解决问题就需要我们有良好的专业素质和专业修养。因此，我们要好好学习，不但要从书本上学，还要向大自然学、向社会学、向身边每一位同学和朋友学，过大自己的知识面，以适应社会发展进步的需要，为国家的强大、人类的进步做出自己的贡献！谢谢大家！
