1、7.1 两个计数原理两个计数原理1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方种不同的方法法.12nNmmm2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的
2、方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件那么完成这件事共有事共有 种不同的方法种不同的方法.12nNmmm分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分
3、完成一件事，共分n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后结果，最后结果，只须一种方法只须一种方法就可完成这件事就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成这件事，这件事，只有各个步骤都完成只有各个步骤都完成了，才能完成这件事了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。各步
4、之间是互相关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。例例1.1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？少种？解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为这一事件故报名方法种数为44444=种种.54（2）每个项目只
5、有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种种故有故有n=5=种种.45例例2.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字个字符，其中首个字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？问最多可以给多少个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。选首字符；第二步，先中间字
6、符；第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法例例3.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分
7、所占据，总共有个不同的碱基，分别用为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表表示，在一个示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由分子由100个碱基组个碱基组成，那么能有多少种不同的成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？UUUAAACCCGGG分析分析:用用100个位置表示由个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。
8、中任选一个来占据。第1位第2位第3位第100位4种4种4种4种解：解：100个碱基组成的长链共有个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种填充方法。根据分步计数原理，共有100410044444个 种不同的种不同的RNA分子分子.例例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有
9、用了每一位只有0或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问量单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，一个汉个汉字，一个汉字为一个字符，要
10、对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种如如00000000，10000000，11111111.开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例例5.计算机编程人员在编计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个以便知道需要提供
11、多少个测试数据。一般的，一个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：分析：整个模块的任整个模块的任意
12、一条路径都分两步意一条路径都分两步完成完成：第：第1步是从开步是从开始执行到始执行到A点；第点；第2步步是从是从A点执行到结束。点执行到结束。而第步可由子模块而第步可由子模块1或子模块或子模块2或子模块或子模块3来完成；第二步可由来完成；第二步可由子模块子模块4或子模块或子模块5来来完成。因此，分析一完成。因此，分析一条指令在整个模块的条指令在整个模块的执行路径需要用到两执行路径需要用到两个计数原理。个计数原理。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要
13、测息交流是否正常，需要测试的次数为：试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。整个程序模块就正常。这样，测试整个这样，测试整个模块的次数就变为模块的次数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试中，程序）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独这样，他可以先分别单独测试测试5
14、个模块，以考察每个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合
15、成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照车上牌照?1、乘积、乘积 展开后共有几项？展开后共有几项？)()(54321321321cccccbbbaaa2、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？少种不同的进出商场的方式？3.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB所以所以,根据分类原理根据分类原理,从从A到到B共有共有 N=3+1+4
16、=8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类,m1=3 条条第二类第二类,m2=1 条条第三类第三类,m3=22=4,条条19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想
17、。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的
18、钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁迅2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女4所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁迅5人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴金6我们是国家的主人，应该处处为国家着想。雷锋7我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来8春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范
19、畴。吴玉章9学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东10错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。君子欲讷于言而敏于行。论语译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。10二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。周易译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同
20、德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。11君子藏器于身，待时而动。君子藏器于身，待时而动。周易译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。12满招损，谦受益。满招损，谦受益。尚书译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。13人不知而不愠，不亦君子乎？人不知而不愠，不亦君子乎？论语译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人14言必信言必信，行必果。，行必果。论语译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就
21、一定要坚决果敢地干下去。15毋意，毋必，毋固，毋我。毋意，毋必，毋固，毋我。论语译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。16三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。论语译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。17君子求诸己，小人求诸人。君子求诸己，小人求诸人。论语译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别
22、人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧1天行健，君子以自强不息。天行健，君子以自强不息。周易译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。三国志刘备语译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。3见善如不及，见不善如
23、探汤。见善如不及，见不善如探汤。论语译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。躬自厚而薄责于人，则远怨矣。论语译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。君子成人之美，不成人之恶。小人反是。论语译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小
24、人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。见贤思齐焉，见不贤而内自省也。论语译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。7己所不欲，勿施于人。己所不欲，勿施于人。论语译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人身上去。8当仁，不让于师。当仁，不让于师。论语译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。18君子坦荡荡，小人长戚戚。君子坦荡荡，小人长戚戚。论语译：君子心胸开朗，
25、思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。陈廷焯译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。省世格言译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。增广贤文译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。74.学如逆水行舟，不进则退。增广贤文译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，
26、不努力向前，就只能向后退。75.吾生也有涯，而知也无涯。庄子译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。76.天下兴亡，匹夫有责。明顾炎武译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。77.生于忧患，死于安乐。孟子译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。78.位卑未敢忘忧国。陆游病起书怀译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。宋文天祥过零丁洋译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。宋范仲淹岳阳楼记译：为国家分忧时，比别人先，比别人
27、急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人81.小来思报国，不是爱封侯。小来思报国，不是爱封侯。唐岑参关人赴安西译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）82.有益国家之事虽死弗避。有益国家之事虽死弗避。明吕坤呻吟语卷上译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。87.生当作人杰，死亦为鬼雄。生当作人杰，死亦为鬼雄。宋李清照夏日绝句译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。88.利于国者爱之，害于国者恶之。利于国者爱之，害于国者恶之。晏子
28、春秋译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。89.读书本意在元元。读书本意在元元。宋陆游译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。90.时穷节乃现，一一垂丹青。时穷节乃现，一一垂丹青。宋文天祥译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。91.哀哀父母，生我劬劳。哀哀父母，生我劬劳。诗经译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！92.报国之心，死而后已。报国之心，死而后已。宋苏轼译：报效祖国的志向到死都不会变。93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。忧国忘家，捐
29、躯济难，忠臣之志也。三国曹植求自诚表译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？汉陈蕃语译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。君子之交淡如水，小人之交甘若醴。庄子译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。孟子译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬
30、、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。见侮而不斗，辱也。公孙龙子译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。天下皆知取之为取，而莫知与之为取。后汉书译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。汉司马迁史记译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。增广贤文译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母83.一寸山河一寸金。一寸山河一寸金。金左企弓语译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。
