1、2.3.2 两个变量的线性关系第1页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系1、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。例例：（：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系）商品销售收入与广告支出经费之间的关系 （2）粮食产量与施肥量之间的关系）粮食产量与施肥量之间的关系 （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系）人体内脂肪含量与年龄之间的关系不同点：不同点：函数关系是一种确定的关系；而函数关系是一种确定的关系；而 相关关系是一种非确定关系相关关系是一种非确定关系.相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点：相同点：均是指两个变量的关系均
2、是指两个变量的关系第2页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系2、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响。定的随机因素的影响。3、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系第3页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：研究人员获得了一组样本数据：年龄年龄 23273941454950脂肪脂肪 9.517.8 21.225.927.526.328.2年龄年龄 5354565
3、7586061脂肪脂肪 29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？有怎样的关系？第4页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系散点图散点图:两个变量的两个变量的散点图中点的分布的位置是从左中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系为为正相关。正相关。人体脂肪含量百分比与年龄散点图010203040010203040506070年龄脂肪含量第5页
4、，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系思考：思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图有、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？什么特点？答：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左答：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一而另一个变量值由个变量值由大变小，我大变小，我们称这种相们称这种相关关系为关关系为负负相关。相关。第6页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗关的例子吗？如学习时间与成绩，如学习时间
5、与成绩，负相关如日用眼时间和视负相关如日用眼时间和视力，汽车的重量和汽车每力，汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的平消耗一升汽油所行驶的平均路程等。均路程等。注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系，注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系，如：身高与数学成绩没有相关关系。如：身高与数学成绩没有相关关系。020406080100120020406080100第7页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系人体脂肪含量百分比与年龄散点图02040020406080年龄脂肪含量散散点点图图回归直线：如果散点图中点的分布回归直线：如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大大致在一条直线附近
6、，我们就称这两个变量之间具致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有有线性相关关系线性相关关系，这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线回归直线。这条回归直线的方程，简称为回归方程。这条回归直线的方程，简称为回归方程。第8页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系 3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回
7、归直线来描述两个变量之间的关系第9页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系采用测量的方法：先画一条直线，测量出各采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。回归方程。脂肪010203040020406080脂肪三、我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？三、我们应该如何具体的求出这个回归方程呢？第10页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 在图中选取两点画直线，使得直线两侧的在图中选取两点画直线，使得
8、直线两侧的点的个数基本相同。点的个数基本相同。脂肪010203040020406080脂肪第11页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 在散点图中多取几组点，确定几条直在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪第12页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的我们回到回归直线的定义
9、定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各点与直线的偏差最小”。计算。计算回归方程的斜率和截距的一般公式：回归方程的斜率和截距的一般公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121其中，其中，b是回归方程的斜率，是回归方程的斜率，a是截距。是截距。第13页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系5、最小二乘法的公式的探索过程如下：、最小二乘法的公式的探索过程如下：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x
10、1，y1），（），（x2，y2），），（，（xn，yn）设所求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中其中a，b是待定的系是待定的系数。当变量数。当变量x取取x1，x2，xn时，可以得到时，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n）它与实际收集得到的它与实际收集得到的yi之间偏差是之间偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy x这样，用这这样，用这n个偏差的和来刻画个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差各点与此直线的整体偏差”是比是比较合适的。较合适的。第14页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系
11、（yi-Yi）的最小值的最小值ni=1|yi-Yi|的最小值的最小值ni=1（yi-Yi）2的最小值的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2当当a，b取什么值时，取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小的值最小，即总体偏差最小（xi-x）（）（yi-y）ni=1b=（xi-x）ni=1a=y-bx xbyaxnxyxnyxbniiniii,1221第15页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系我们可以用计算机来求我们可以用计算机来求回归方程回归方程。回归方程y=0.5765x-0.4478010203040020406080 人体脂肪含量与年
12、龄之间的规律，由此回归直线人体脂肪含量与年龄之间的规律，由此回归直线来反映。来反映。第16页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 将年龄作为将年龄作为x代入上述回归方程，看看得出代入上述回归方程，看看得出数值与真实值之间有何关系？数值与真实值之间有何关系？年龄年龄23273941454950脂肪脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回归值回归值12.815.122.023.225.527.828.4年龄年龄53545657586061脂肪脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回归值回归值30.130.731.832.433.034.134.7第1
13、7页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系 若某人若某人65岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.1（0.57765-0.448=37.1）附近的可能性比较大。）附近的可能性比较大。但不能说他体内脂肪含量一定是但不能说他体内脂肪含量一定是37.1原因原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于能百分百地保证对应于x，预报值，预报值Y能等于实际能等于实
14、际值值y第18页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系第19页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系例例2、假设关于某设备的使用年限、假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用年）和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：万元），有如下的统计资料：使用年限使用年限x（年）年）2 3 4 5 6维修费用维修费用y（万元）万元）2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若资料知若资料知y，x呈呈线性相关关系线性相关关系，试求：，试求：（1）线性回归方程线性回归方程Y=bx+a的回归系数的回归系数a、b；（2）估计使用年限为估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多
15、少？第20页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系12 23 34 45 5合计合计xi23 34 45 56 62020yi2.23.83.85.55.56.56.57 72525xiyi4.411.411.4222232.532.54242112.3112.3xi249 91616252536369090 x=4;y=5;x12+x22+x52=90;x1y1+x2y2+x5y5=112.3i解：解：（1）于是有）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*42）=1.23,a=5-1.23*4=0.08（2）回归方程回归方程为为Y=1.23x+0.08，当当x=10时，时，Y=
16、12.38 （万元），即估计使用万元），即估计使用10年时维护费用是年时维护费用是12.38万元。万元。第21页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系例例1：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 热饮杯数热饮杯数-5-51561560 01501504 41321327 71281281212130130151511611619191041042323898927279393313176
17、76363654541、画出散点图；、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；之间关系的一般规律；3、求回归方程；、求回归方程；4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。卖出的热饮杯数。第22页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系图3-1050100150200-2002040热饮杯数1、散点图、散点图2、从图、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越温
18、与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。少。第23页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式公式1求出回归方程的系数。求出回归方程的系数。Y=-2.352x+147.7674、当、当x=2时，时，Y=143.063 因此，某天的气温为因此，某天的气温为2摄氏度时，这天大约摄氏度时，这天大约可以卖出可以卖出143杯热饮。杯热饮。第24页，共26页。2.3.2 两个变量的线性关系第25页，共26页。46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！
19、47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身
20、行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，
21、维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。吕坤第26页，共26页。
