1、二、本课程成绩：期末考试成绩占70%，平时成绩占30%（其中包括出勤情况和作业完成情况）一、本课程所使用教材为：工程数学线性代数（第五版），同济大学应用数学系编。本学期教学内容包括：第一至第五章。任课教师：潘小东E-mail： 在讨论在讨论 n 阶行列式之前，先引入二阶和三阶行列式之前，先引入二阶和三 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa（）（）阶行列式的概念阶行列式的概念211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa用加减消元法，可得用加减消元法，可得当当 a11a22-a1
2、2a21 0 时时，求得方程组求得方程组（）（）的解为的解为21122211212112211222112122211aaaababaxaaaabaabx（）（）为了记忆该公式，引入记号为了记忆该公式，引入记号2112221122211211aaaaaaaa并称之为并称之为称称 aij 行列式的行列式的 (i,j)元素元素第二个下标称为第二个下标称为，表示该元素所在的列，常表示该元素所在的列，常置，第一个下标称为置，第一个下标称为，表示该元素所在的行，表示该元素所在的行，aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位的两个下标表示该元素在行列式中的位其中其中 aij 称为行列式的称为行列式的 由二
3、阶行列式的定义，由二阶行列式的定义，,222121212221ababbaab.221111211211babaabba若记若记则当则当 时，方程组时，方程组,22211211aaaaD,2221211ababD,2211112babaD.22DDx,11DDx 也可写成二阶行列式，即也可写成二阶行列式，即22221211212111bxaxabxaxa（）21122211212112211222112122211aaaababaxaaaabaabx（）有唯一解有唯一解21122211212112211222112122211aaaababaxaaaabaabx（）22221211212111
4、bxaxabxaxa（）式中式中x1 1、x2 2 分子分子 用消元法解三元线性方程组用消元法解三元线性方程组lkzjyixhgzfyexdczbyax)4(322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa为了记忆三元线性方程组的求解公式为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入可引入三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的定义如下三阶行列式的定义如下:)3(333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa 三阶行列式的展开式也可
5、用对角线法得到三阶行列式的展开式也可用对角线法得到,三阶行列式的对角线法则如下图所示三阶行列式的对角线法则如下图所示:计算三阶行列式计算三阶行列式 111312121D例例例例 2 2 2 2计算三阶行列式计算三阶行列式111312121D解解解解由对角线法由对角线法,得得121)1()3()2()1(11D)1(11)1(2)2(1)3(1143261.5行列式的定义模型行列式的定义模型行列式的定义模型行列式的定义模型 求解方程求解方程 .094321112xx例例例例 3 3 3 3求解方程求解方程.094321112xx解解解解方程左端的三阶行列式方程左端的三阶行列式1229184322
6、xxxxD,652xx由由0652 xx解得解得 x=2 或或 x=3.行列式的概念行列式的概念.可以证明可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不当三元线性方程组的系数行列式不等于零时方程组有唯一解等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方且有类似于二元线性方程组的求解公式程组的求解公式,即即 xj=Dj/D,(j=1,2,3).现在的问题是现在的问题是,对于对于 n 元线性方程组元线性方程组,是否也是否也有类似的求解公式有类似的求解公式.但要讨论但要讨论 n 元线性方程组元线性方程组,首首先就要把二阶和三阶行列式加以推广先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入引入 n 阶阶用用1、2、3三个
7、数字，可以组成多少个三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字1、2、3叫做叫做.上述问题就是：把上述问题就是：把3个不同的个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？元素排成一列，共有几种不同的排法？引例引例引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？解解解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在这个问题相当于说，把三个数字分别放在百百位、十位与个数上，有几种不同的放法？位、十位与个数上，有几种不同的放法？显然，百位上可以
8、从显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选三个数字中任选一个，所以有一个，所以有3种放法；种放法；十位上十位上只能从剩下的两个只能从剩下的两个数字中选一个，所以有数字中选一个，所以有2种放法；种放法；而而个位上只能放个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有最后剩下的一个数字，所以只有1种放法种放法.因此，因此，共有共有 3 2 1=6 种放法种放法.这六个不同的三位数是这六个不同的三位数是123，231，312，132，213，321.对于对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问个不同的元素，也可以提出类似的问题：题：为此先给出全排列的定义为此先给出全排列的定义.n 个不同元素的所有排列的
9、种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表表示示.由由的结果可知的结果可知 P3=3 2 1=6.引例引例引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？解解解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在这个问题相当于说，把三个数字分别放在百百位、十位与个数上，有几种不同的放法？位、十位与个数上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选三个数字中任选一个，所以有一个，所以有3种放法；种放法；十位上十位上只能从剩下的两个只能从剩下的两个数字中选一个，所以有数字中选一个，所以有2种放法；种放
10、法；而而个位上只能放个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有最后剩下的一个数字，所以只有1种放法种放法.因此，因此，共有共有 3 2 1=6 种放法种放法.这六个不同的三位数是这六个不同的三位数是123，231，312，132，213，321.为了得出计算为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照的公式，可以仿照进行讨论：进行讨论：从从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，个元素中任取一个放在第一个位置上，有有 n 种取法；种取法；又从剩下的又从剩下的 n 1 个元素中任取一个放在第二个元素中任取一个放在第二个位置上，有个位置上，有 n 1 种取法；种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放这
11、样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第在第 n 个位置上，只有个位置上，只有 1 种取法种取法.于是于是Pn=n (n-1)3 2 1=n!.引例引例引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？解解解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在这个问题相当于说，把三个数字分别放在百百位、十位与个数上，有几种不同的放法？位、十位与个数上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选三个数字中任选一个，所以有一个，所以有3种放法；种放法；十位上十位上只能从剩下的两个只能从剩下的两个数字中选一个，所以
12、有数字中选一个，所以有2种放法；种放法；而而个位上只能放个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有最后剩下的一个数字，所以只有1种放法种放法.因此，因此，共有共有 3 2 1=6 种放法种放法.这六个不同的三位数是这六个不同的三位数是123，231，312，132，213，321.等价定义等价定义等价定义等价定义在一个在一个在一个在一个 n n 阶排列阶排列阶排列阶排列i i1 1 1 1,i i2 2 2 2,i in n中中中中,按照在排列中的顺序任取两个数按照在排列中的顺序任取两个数按照在排列中的顺序任取两个数按照在排列中的顺序任取两个数,记作记作记作记作(i ij j,i ik k),)
13、,),),其其其其中中中中 j j k k,称为排列的一个数对称为排列的一个数对称为排列的一个数对称为排列的一个数对,若若若若 i ij j i ik k,则称这两个数构成则称这两个数构成则称这两个数构成则称这两个数构成逆序逆序逆序逆序.一个一个一个一个 n n 阶排列中逆序的个数称为这个排列阶排列中逆序的个数称为这个排列阶排列中逆序的个数称为这个排列阶排列中逆序的个数称为这个排列的的的的逆序数逆序数逆序数逆序数.逆序数为奇数的排列叫做逆序数为奇数的排列叫做,逆序数为偶逆序数为偶在一个在一个 n 阶排列中阶排列中,任何一个数对不是构成任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序逆序就是构成顺序.如果我
14、们把顺序的个数称为顺如果我们把顺序的个数称为顺序数序数,则一个则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为阶排列的顺序数与逆序数的和为n(n-1)/2.-1)/2.数的排列叫做数的排列叫做.下面来讨论计算排列的逆序数的方法下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设不失一般性，不妨设 n 个元素为个元素为 1 至至 n 这这 n 个个自然数，自然数，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序.设设nppp21为这为这 n 个自然数的一个排列，个自然数的一个排列，考虑元素考虑元素 pi（i=1,2,n），），如果比如果比 pi 大的且排在大的且排在 pi 前面的元素有前面的元素有 ti
15、 个，就说个，就说 pi 这个元素的逆序数是这个元素的逆序数是 ti.全体元素的全体元素的逆序数之总和逆序数之总和,121niinttttt即是这个排列的逆序数即是这个排列的逆序数.求排列求排列32541的逆序数的逆序数.求逆求逆求逆求逆序数模型序数模型序数模型序数模型 为了作出为了作出 n 阶行列式的定义阶行列式的定义,先来研究三阶行先来研究三阶行322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa列式的结构列式的结构.三阶行列式的定义为三阶行列式的定义为:任一项除正负号外可写成任一
16、项除正负号外可写成 个下标个下标(行标行标)排成标准排列排成标准排列 123,而第二个下标而第二个下标,321321pppaaa322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa容易看出容易看出:上式右边的每一项都恰是三个元素的乘上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积积,这三个元素位于不同的行、不同的列这三个元素位于不同的行、不同的列因此，因此，这里第一这里第一(列标列标)排成排成 p1 1p2 2p3 3,它是它是1 1、2 2、3 3这三个数的某个这三个数的某个有项有项 各项的正负
17、号与列标的排列对照：各项的正负号与列标的排列对照：123,231,312;(为偶排列为偶排列)132,213,321.(为奇排列为奇排列)故三阶行列式可以写成故三阶行列式可以写成排列排列这样的排列共有这样的排列共有 3!=3!=种，故上式右端共种，故上式右端共其中其中 t 为排列为排列 p1 1p2 2p3 3 的逆序数，的逆序数，表示对表示对1 1、2 2、,)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa到一般的情形，得到到一般的情形，得到 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广3
18、 3 三个数的所有排列三个数的所有排列 p1 1p2 2p3 3 求和求和 nnppptaaa2121)1(nnppptaaa2121)1(，记作，记作nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.证明证明 n 阶行列式阶行列式(其中主、副对角线其中主、副对角线,2121nn.1)(212121)(nnnn第第一一式式是是显显然然的的，下下面面只只证证第第二二式式.112121n,nnnaaa(-1)t a1na2,n-1an1
19、=(-1)t 1 2.n,t=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2.其其中中 t 为为排排列列 n(n-1 1)2 2 1 1 的的逆逆序序数数，故故证证毕毕证证毕毕证证明明证证明明上的元素是上的元素是 i,未写出的元素都是未写出的元素都是).).证明下三角行列式证明下三角行列式.0221121222111nnnnnnaaaaaaaaa例例例例 6 6 6 6证明下三角行列式证明下三角行列式.0221121222111nnnnnnaaaaaaaaa由于当由于当 j i 时时,aij=0,=0,故故中可能不为中可能不为iipa0 0的元素的元素,其下标应有其下标应有 pi i,即即p1 1
20、1,1,p2 2 2,2,pn n.证明证明证明证明例例和和例例的的结结论论很很重重要要，它它们们可可以以当当例例和和例例的的结结论论很很重重要要，它它们们可可以以当当时时候候总总是是想想方方设设法法把把它它化化为为三三角角行行列列式式时时候候总总是是想想方方设设法法把把它它化化为为三三角角行行列列式式作作公公式式用用，以以后后我我们们在在计计算算高高阶阶行行列列式式时时，很很多多作作公公式式用用，以以后后我我们们在在计计算算高高阶阶行行列列式式时时，很很多多注注意意注注意意的理解的理解,下面再举一个例子下面再举一个例子为了使同学们进一步加深对为了使同学们进一步加深对 n 阶行列式定义阶行列式
21、定义nnnnaaaaaa00022211211练习练习(上三角行列式上三角行列式)设有设有 阶行列式阶行列式241321252543124xxxxxxxD问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系数幂的系数 由由行行列列式式的的定定义义，知知第第一一行行有有2个个元元素素含含有有 x，即即为为x.ax,a31411,时22544332211ax,ax,ax,a当此此时时它它们们的的乘乘积积等等于于.x320,)1(432143214pppptaaaaD乘乘积积的的次次数数才才最最高高，且且为为显显然然，只只有有当当都都含含有有 x 时时，其其43214321,ppppaaaa解解解解
