1、第五章 二阶线性常微分方程的级数解法 本章主要限于讨论方程常点和奇点邻域内的级数解法。本章结构n5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点n5.2 方程常点邻域内的解n5.3 方程正则奇点邻域内的解 5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点二阶线性常微分方程的常点与奇点二阶线性齐次常微分方程的一般形式为22()()0()()d wdwp zq z wdzdzp zq z 其中和称为方程的系数方程系数的重要性：1.方程的解和完全由方程的系数来决定2.方程的解的解析性完全是由方程的系数的解析性决定定义100()()p zq zzz若系数和都在点 及其邻域内解析则称 为方程的常点定义2 00020000(
2、)()()()()p zq zzzzzp zzzq zzzz若和中至少有一个在点不解析则称为方程的奇点,若和都在方程的奇点解析，则称为方程的正则奇点，否则称为方程的非正则奇点.例1222(1)2(1)0d wdwzzl lwdzdz222(1)()()11zl lp zq zzz 解：方程的系数为，00()()11egendrep zq zzzL 和在复平面上有两个奇点，所以是方程的奇点外，有限远处的其他点都是方程的常点.()Legend 勒让德 方程例20)1(12222wzdzdwzdzwd0000zz在有限远处的奇点为，且是方程的正则奇点.()Bessel 贝赛尔 方程5.2 方程常点邻
3、域内的解 1.常点邻域内的级数解定理 0220001001()()|()()0(),()|()p zq zzzRd wdwp zq z wdzdzw zaw zazzRw zaa若和在圆形域内单值解析，则常微分初值问题 在圆形域内存在唯一的解析解，其中，为任意给定的复常数.0000100aylor|()aylor()()()()kkkkTzzRw zTw zazzzzzza根据展开定理，圆形域内解析的解可展为级数,其中和的系数正好和初值条件一致，把级数解代入微分方程并比较两端系数，就可求出所有的系数，从而得到方程的解.此种方法称为级数解法级数解法Legendre方程的级数解 02220egen
4、dre (1)2(1)0 xLd ydyxxl lydxdxl在的邻域内求解方程其中 为已知参数.022002(1)egend()()0110egendre1 ()()kkkxl lLp xq xxxxxLy xa xy xk 由于方程的系数和在及其邻域内解析，所以是方程的常点，根据定理，此方程有如下形式解于是102020 ()(1)egendre (1)(2)(1)(1)0kkkkkkkkkka xy xk ka xkkak kl lax将以上三式代入L方程，得222212210000 (1)(2)(1)(1)0(1)(1)()(1)(1)(2)(1)(2)()(kkkkkkkkkkkxkk
5、ak kl lak kl lkl klaaakkkky xa xaxa y 由于上式恒等，所以 的各次幂系数都等于零，即于是，得到系数之间递推关系从而可写出所有的系数，可得方程解为1 12012111)()(22)(24)(2)()(1)(21)()1(2)!(21)(23)(1)(2)(2)()(21)!kkkkxa y xklklll llky xxkklkll llky zxxk 其中Legendre方程 通解形式0101000egendre|1|1|1()()1()1()1Lxxxlyxy xxly xxlyxx 方程通解在总收敛，在收敛与否不考虑，在时级数解的收敛性为：当 不是整数时
6、，和在均发散；当 为偶数时在发散；当 为奇数时，在发散.Legendre方程在自然边界条件下的解：2(22)!(1)22!()!(2)!klkllkaklk lklk 系数的一般表达式为222200200egendre(22)!()(1)2!()!(2)!lllkklklklkklLlka y xaxxk lklk当为偶数时，方程满足自然边界的解为(1)2(1)2221200egendre(22)!()(1)2!()!(2)!lllkklklklkklLlky xaxxk lklk当为奇数时，方程解为220(22)!()(1)2!()!(2)!lklkllklkP xxk lklk将以上俩式综
7、合起来为lLegendreLegendre称之为 阶多项式，也称为第一类函数.5.3 方程正则奇点邻域内的解方程正则奇点邻域内的解 1.奇点邻域内的级数解奇点邻域内的级数解 22000 ()()0d wdwp zq z wdzdzzzz二阶线性常微分方程为选 为方程的奇点，则方程解也以 为奇点,在 邻域内展开式还有负幂项,给出如下定理：12001002100011()()0|()()()()()ln()()()skkkskkkzp zq zzzRw zzzazzw zAw zzzzzb zzssA若 为方程奇点，则在和都解析的环行域内，方程存在两个线性无关解：和其中，和 都是常数.定理2.正则
8、奇点邻域内的级数解法正则奇点邻域内的级数解法 定理120001000210000000|()()()()()ln()()()00skkkskkkzzzzRw zzzazzw zAw zzzzzb zza若 为方程的正则奇点，则方程在 的去心邻域内内存在两个线性无关解：和其中，b.上述只含有限个负幂项的解称为正则解正则解 12()()w z w z在方程正则奇点处，总可将代入方程，通过比较系数可求出系数递推关系式并求出其普遍表达式，从而得到方程正则解.12()()w zw z步骤：先将代入，如能得到俩个线性无关解，即得所求,如只能求出一个解，则再将代入求解，具体解法如下：000002000000
9、00001100110()()()()()()()()()()(),()(),()0(1)()0()(1)()01skkkkkkkkkkkkw zzzazzzP zzzp zQ zzzq zzzP zP zzQ zQzzfs afsafs afsk afskafs ak设，是正则奇点，和均在点解析，因此在邻域上设代入比较得，000000012()(1),0().(1,2,)()(1)0nnnfss ssPQafssPQnfss ssPQss其中，由于，必有上式为指标方程，其根 和 称为正则奇点的指标数.11000()()()skkkw zzzazz从而得到方程的一个解 212202020200
10、120()0()01,2,0()()()()()skkkssssf sf skkaw zzzb zzw zw z求第二个特解1整数 包括零，则在所设解中取，此时，对任选可唯一确定另外一个解，和线性无关.2212020201120002100002()0()000()()()()()()ln()()()nnkskkkskkkssnf sf snnaaaaaknw zzza zzw zAw zzzzzb zz当整数，递推到第 步令，可唯一确定，从而得到另一个解，此时将代入可继续求解.Bessel方程的级数解方程的级数解 022220essel1(1)0Re0 xBd ydyydxx dxx在的邻域
11、内求解方程，其中，220020222212120010()1(),10 110 0,2(1)0,2(),0,()()nnskkks kkxP xQ xxPPnQQQns sssssssy xxa xay xa sk x 解：是方程正则奇点，系数，指标方程为 它的两个根为，俩个之差为，因此 的取值决定俩个线性无关解的形式。设于是200 ()()(1)s kkkky xa sk skx，22202220221222012()0()0(1)0 ()0001(2)kkkkkkkkkkaskxaxxa sasaskaaaaaksk 将以上三式代入并整理得比较两端 得各次幂项系数，有由于，由第一式即得指标
12、方程，由第二式得，由第三式得系数递推公示根据指标方程两根之差的不同取值情况，分别讨论Bessel方程的解 1211121212121001.().1(2)00(1)()!(1)(2)()2kkkkkkksssy xssaakkaaassxy xa xkk 整数、半整数时的解当整数、半整数时，整数.先取求出将代入系数递推公示得，由于，所以，由此可推得，得相应于的特解00201essel2(1)esselessel()(1)()()!(1)2kkkaaBBJxxJxkk若将取为，得到方程的一个特解，称为阶函数（第一类B函数），记作，即222000020(1)()()!(1)(2)()212(1)(
13、1)essel()()!(1)2kkkkkkssxy xa xkkaaxBJxkk 对应于，另一个线性无关解为通常取 为，于是得到阶函数12121()()essel()()(),cscessel()cos()()sineumannessel()()essel()(JxJxBy xc Jxc JxcctgcBJxJxNxNJxNxBy xc J 和是线性无关的，方程通解可以写成取，得到方程的另一个特解称为 阶函数 第二类B函数显然与线性无关，因此方程通解又可表示成2)()xc Nx12202022.0,1,2,2essel(1)()()!(1)2(1)()!(1)()()()!()!2()()(
14、)()kmkmkkmkmmkmmmm mssmBxJxkmkmmkmkxJxJxk mkyxJxJxJx整数时的解当整数时，指标方程两根之差为整数，这时方程的一个特解可取为由于 为整数，因此，可表示为对于不能取，因为与202(1)()()!(1)21(1)()()!(1)2kmkmkkmkmk mxJxmkmkkmmkkxkmJxkmk 是线性相关的，由于，其中 为整数，当时，为负数，函数的值为无穷大，因此对求和是从开始，即2200(1)(1)()()(1)()()!(1)2!()!2 (1)()()()essel()()limnmnmnmmnmnnmmmmmmnkmkmxxJxnmnnnmJ
15、xJxJxmNxNx 令，求和指标从 变到，则有显然与线性相关，不能构成方程的通解.为求通解修改第二类B函数定义，当为整数时，定义为2102()cos()sin()(1)()cos()21(1)!()ln()2!21(1)111!()!221(1)!(mmmmmmnmmmnmnnmnmnmJxJxmmJxJxmJxxmnxNxcJxnxnnmnnnm 为整数,由于当为整数时，得21111)!22mnnmxnm1012120essel()()()()()().mnmmmmmy xc Jxc Jxy xc Jxc Nx对于的情况，上式中有限求和项不存在.此时B方程的通解不再为，而是12122221
16、2122.2.1essel2112(1)0()()4()()()0sincos1essel222()sin()ssd ydyyy xu xdxx dxxxu xu xu xxxBy xxyxx当半奇数时的解当 为半奇数时，指标方程的两根之差为整数先考虑时的特例,此时B方程为，令则满足，其基础解系为和因此阶方程的俩个线性无关解为，12cos.xx1122112212112122essel ()()()22 sincos ()()essely xc y xc yxcxcxxxc Jxc JxBl 此时B方程通解可表示为对于更一般的半奇数阶方程，1221021()221()0212(1)()()12!(1)2(1)()()12!(1)2klklkklklkxJxklkxJxklk ，可得到其中一个特解为11()221121221()()2essel ()()()llllJxJxlBy xcJxc Jx 与是线性无关的，所以阶方程通解为
