1、三角函数的化简与求值三角函数的化简与求值第1页，共35页。一、两角和与差的三角函数公式sin()=sin cos cos sin;cos()=cos cos sin sin;tan()=.公式变形:tan tan=tan()(1tan tan);辅助角公式:asin+bcos=sin(+)(其中cos=,sin=).tantan1tantan22ab22aab22bab第2页，共35页。二、二倍角公式sin 2=2sin cos;cos 2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1;tan 2=.公式变形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(升幂公式)cos2=
2、,sin2=.(降幂公式)22tan1tan1cos221 cos22第3页，共35页。三、半角公式sin=,cos=,tan=,其中符号“”的选取由角的范围确定.用正余弦来表示正切的半角公式:21cos221cos221cos1cos2tan=.21 cossinsin1cos第4页，共35页。1.设sin=m,则tan 等于()(A).(B)2m .(C).(D)1-m.【解析】cos=,tan =,tan =.52521mm21m222112mmm521m521mm2522tan51tan52222111mmmm222112mmm【答案】C第5页，共35页。2.cos xsin(x-1)
3、-sin xcos(1-x)等于()(A)-sin 1.(B)sin 1.(C)-cos 1.(D)cos 1.【解析】cos xsin(x-1)-sin xcos(1-x)=-cos xsin(1-x)-sin xcos(1-x)=-sin 1.【答案】A3.在锐角ABC中,设x=sin Asin B,y=cos Acos B,则x,y的大小关系是 .【解析】ABC为锐角三角形,A+B,cos(A+B)0,即cos Acos B-sin Asin B0,cos Acos Bsin Asin B,即yx.2【答案】y0,从而sin=.同理可得sin=.因此tan=7,tan=.2102 552
4、1 cos 7 2105512即tan(+)=-3.tan(+2)=tan(+)+=-1.又0,0,故0+2,从而由tan(+2)=-1得+2=.tantan1tantan17211 72 13211(3)2 223234第16页，共35页。【点评】这里提供的思路是利用正切公式来探求角的大小,也可以通过余弦来探求,在求解过程中始终关注角的范围,以便确定三角函数值的符号,这是三角函数题最基本的思维方式.第17页，共35页。变式训练3已知cos=-,cos(+)=,(,),+(,2),求.【解析】(,),cos=-,sin=-,又+(,2),cos(+)=,sin(+)=-,由题易知0cos 2,
5、故选A.【答案】A第29页，共35页。4.(高度提升)cos(x+)=,x,则 的值为()(A)-.(B).(C).(D)-.【解析】x,x+2,sin(x+)=-,tan(x+)=-,=tan(x+)=-.【答案】A435171274cossincossinxxxx43433434171274534445443cossincossinxxxx1tan1tanxx4435.(能力综合)若 =-,则cos+sin 的值为()(A)-.(B)-.(C).(D).【解析】=-(cos+sin)=-,cos+sin=.【答案】Ccos2sin()42272121272cos2sin()422cossi
6、n2(sincos)222212第30页，共35页。6.(基础再现)已知,(,),sin(+)=,sin(-)=,则cos(+)=.【解析】sin(+)=,sin(-)=,cos(+)=,cos(-)=-,则cos(+)=cos(+)-(-)=.【答案】543541213435412134545134416651665二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)7.(视角拓展)若方程cos 2x-2 sin xcos x=k+1有解,则k的取值范围是 .【解析】cos 2x-2 sin xcos x=2cos(2x+),-2k+12,即-3k1.【答案】-3,1333第31页，共35页。8.(视角
7、拓展)已知f(cos x)=2cos 2x,则f(sin 15)=.【解析】f(sin 15)=f(cos 75)=2cos 150=-.【答案】-339.(高度提升)sin 50(1+tan 10)=.【解析】sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+)=sin 50()=cos 40 =1.【答案】1333sin10cos10cos103sin10cos102sin40cos10sin80cos10第32页，共35页。10.(视角拓展)设(,2),6sin2+5sin cos-4cos2=0,求cos(+)的值.【解析】由于cos 0,6tan2+5tan-4=0,解得tan=-
8、或tan=.(,2),tan 0,故tan=(舍去).tan=-.32234312321243三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)(,2),(,).由tan=-,求得tan=-,tan =2(舍)sin=,cos=-,cos(+)=cos cos-sin sin=-=-.3223443212225522 552323232 551255322 51510第33页，共35页。11.(高度提升)已知cos(+)=,cos(-)=-,且+2,-,分别求cos 2,cos 2的值.【解析】cos(+)=,cos(-)=-,且+2,-,可得sin(+)=-,sin(-)=,cos 2=cos(+)
9、+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=-,454532245453223535725cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.第34页，共35页。12.(能力综合)设(,),tan+=-,(1)求tan 的值;(2)求 的值.【解析】(1)tan+=-,3tan2+10tan+3=0,所以tan=-3(舍去,(,)或tan=-.341tan103225sin8sincos11cos822222sin()21tan1033413(2)=225sin8sincos11cos822222sin()2254sin6cos822cos24sin3(2cos1)22cos4sin3cos2cos=-(2 tan+)=-.23 225 26第35页，共35页。
