1、栏目栏目导引导引7.3空间图形的基本关系空间图形的基本关系及公理及公理栏目栏目导引导引教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1.空间图形的基本关系空间图形的基本关系(1)点和直线的位置关系有两种点和直线的位置关系有两种:_和点在直线外和点在直线外.(2)点和平面的位置关系有两种点和平面的位置关系有两种:点在平面内点在平面内和点在平面外和点在平面外.点在直线上点在直线上栏目栏目导引导引平行直线平行直线相交直线相交直线任何任何栏目栏目导引导引异面直线所成的角异面直线所成的角过空间任意一点过空间任意一点P分别引两条异面直线分别引两条异面直线a,b的的平行线平行线l1,l2(al1,bl2)
2、,这两条相交直线所成这两条相交直线所成的的_就是异面直线就是异面直线a,b所成的角所成的角.如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是_,则则称这两条直线互相垂直称这两条直线互相垂直.范围范围:_.锐角或直角锐角或直角直角直角栏目栏目导引导引(4)空间直线和平面的位置关系有三种空间直线和平面的位置关系有三种:_、直线和平面相交、直线和平面相交、_.(5)空间两平面的位置关系有两种空间两平面的位置关系有两种:两平两平面平行和两平面相交面平行和两平面相交.直线在平面内直线在平面内直线与平面平行直线与平面平行栏目栏目导引导引思考探究思考探究若若a,b,则则a,b就一定是异面直线吗？就一定是
3、异面直线吗？栏目栏目导引导引2.空间图形的公理及等角定理空间图形的公理及等角定理文字语言文字语言公理公理1如果一条直线上的如果一条直线上的_在在一个平一个平面内面内,那么这条直线上那么这条直线上_都都在在这个平面内这个平面内(即直线即直线_)两点两点所有的点所有的点在平面内在平面内栏目栏目导引导引图形语言图形语言符号语言符号语言公理公理1若若Al,Bl,A,B,则则_l栏目栏目导引导引文字语言文字语言公理公理2经过不在同一条直线上的三点经过不在同一条直线上的三点,_一个平面一个平面(即可以确定一个即可以确定一个平面平面)公理公理3如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面_,那么它们那么它们_一
4、一条通过这个条通过这个点的公共直线点的公共直线有且只有有且只有有一个公共点有一个公共点有且只有有且只有栏目栏目导引导引图形语言图形语言符号语言符号语言公理公理2若若A、B、C三点不共三点不共线线,则则A、B、C三点确三点确定一个平面定一个平面使使A,B,C公理公理3若若A,A,则则_l,且且Al栏目栏目导引导引文字语言文字语言公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线_等角等角定定理理空间中空间中,如果两个角的两条边分别对如果两个角的两条边分别对应应平行平行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补平行平行栏目栏目导引导引图形语言图形语言符号语言符号语言公理公理4若若
5、ab,bc,则则_等角等角定理定理若若AOAO,BC_,则则AOBAOB,AOC和和AOB互补互补acBO栏目栏目导引导引课前热身课前热身1.下面给出了四个条件下面给出了四个条件:空间三个点；空间三个点；一一条直线和一个点；条直线和一个点；和直线和直线a都相交的两条直都相交的两条直线；线；两两相交的三条直线两两相交的三条直线.其中能唯一确定其中能唯一确定一个平面的条件有一个平面的条件有()A.0个个B.1个个C.2个个 D.3个个栏目栏目导引导引解析解析:选选A.确定平面的公理的条件确定平面的公理的条件:“经过不经过不在同一条直线上的三点在同一条直线上的三点”,所以所以是错误的；是错误的；注意
6、到注意到“直线与直线外的一点直线与直线外的一点”,所以所以是是错误的；错误的；与直线与直线a都相交的两条直线可能是都相交的两条直线可能是异面的；异面的；两两相交的三条直线可能确定两两相交的三条直线可能确定3个个平面平面.栏目栏目导引导引2.(教材习题改编教材习题改编)如图所示如图所示,将无盖正方体纸将无盖正方体纸盒展开盒展开,直线直线AB,CD在原正方体中的位置关系在原正方体中的位置关系是是()A.平行平行B.垂直垂直C.相交成相交成60D.异面成异面成60栏目栏目导引导引解析解析:选选D.由展开图可知由展开图可知,无盖正长体纸盒的无盖正长体纸盒的直观图如图所示直观图如图所示,显然显然AB与与
7、CD异面异面,连接连接AE,由由AECD,知知EAB为异面直线为异面直线AB、CD所所成的角成的角,连接连接BE,由由ABE为等边三角形得为等边三角形得EAB60,故选故选D.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引则上述说法中正确的个数是则上述说法中正确的个数是_.答案答案:3解析解析:(1)(2)(4)正确；如图所示正确；如图所示,可知可知(3)错错误误.栏目栏目导引导引4.如图所示如图所示,在四面体在四面体ABCD中中,E、F分别是分别是AC、BD的中点的中点,若若CD2AB2,EFAB,则则EF与与CD所成的角等于所成的角等于_.栏目栏目导引导引答案答案:30栏目栏目导引导引考点考点1平面的基
8、本性质平面的基本性质考点探究讲练互动考点探究讲练互动 栏目栏目导引导引(1)证明证明:四边形四边形BCHG是平行四边形；是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引【规律小结规律小结】证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点)共共面面,一般来说有两种途径一般来说有两种途径:一是首先由题给条一是首先由题给条件中的部分线件中的部分线(或点或点)确定一个平面确定一个平面,然后再证然后再证明其余的线明其余的线(或点或点)均在这个平面内；二是将所均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分有元素分为几个部分,然后分别确
9、定几个平面然后分别确定几个平面,再证这些平面重合再证这些平面重合.栏目栏目导引导引备选例题备选例题 (教师用书独具教师用书独具)如图如图,在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,点点E、F分别是棱分别是棱AA1、CC1的中点的中点,求证求证:D1、E、F、B共面共面.栏目栏目导引导引【证明证明】D1、E、F三点不共线三点不共线,D1、E、F三点确定一平面三点确定一平面,又由题意可知又由题意可知D1E与与DA共面于平面共面于平面A1D且不平行且不平行,平面故分平面故分别延长别延长D1E、DA相交于相交于G,则则G直线直线D1E,又又D1E平面平面,G平面平面.栏目栏目导引导引同理同理,设直
10、线设直线D1F与与DC的延长线交于点的延长线交于点H,则则H平面平面.又又点点G、B、H均属于平面均属于平面AC,且由题设条件且由题设条件知知E为为AA1的中点且的中点且AEDD1,从而从而AGADAB,AGB为等腰直角三角形为等腰直角三角形,ABG45,同理同理CBH45,又又ABC90,从而点从而点B平面平面,D1、E、F、B共面共面.栏目栏目导引导引变式训练变式训练1.如图所示的正方体或四面体如图所示的正方体或四面体,P、Q、R、S分分别是所在棱的中点别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个则这四个点不共面的一个图是图是()栏目栏目导引导引解析解析:选选D.在在A图中分别连接图中分别连接
11、PS、QR,易证易证PSQR,P、S、R、Q共面共面.如图所示如图所示,在在B图中过图中过P、Q、R、S可作一正六可作一正六边形边形,故四点共面；故四点共面；栏目栏目导引导引在在C图中分别连接图中分别连接PQ、RS,易证易证PQRS,P、Q、R、S共面；共面；D图中由异面直线判定定理知图中由异面直线判定定理知PS与与RQ为异面为异面直线直线,四点不共面四点不共面,故选故选D.栏目栏目导引导引考点考点2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 如图所示如图所示,正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点的中点.栏目栏目导引导引问问:(1)AM和和CN
12、是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和和CC1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引【名师点评名师点评】判定两条直线是否异面判定两条直线是否异面,可依可依据定义来进行据定义来进行,还可依据定理还可依据定理(过平面外一点过平面外一点与平面内一点的直线与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的和平面内不经过该点的直线是异面直线直线是异面直线)进行进行.反证法是证明两直线异反证法是证明两直线异面的有效方法面的有效方法.栏目栏目导引导引备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)设设A,B,C,D是空间四个不同的点是
13、空间四个不同的点,在在下列命题中下列命题中,不正确的是不正确的是_.(填序号填序号)若若AC与与BD共面共面,则则AD与与BC共面；共面；若若AC与与BD是异面直线是异面直线,则则AD与与BC是异面是异面直线；直线；若若ABAC,DBDC,则则ADBC；若若ABAC,DBDC,则则ADBC.栏目栏目导引导引【解析解析】对于对于,显然正确显然正确.对于对于,假设假设AD与与BC共面共面,由由正确得正确得AC与与BD共面共面,这与题设矛盾这与题设矛盾,故假设不成立故假设不成立,从而从而结论正确结论正确.对于对于,如图如图,当当ABAC,DBDC,使二面角使二面角ABCD的大小变化时的大小变化时,A
14、D与与BC不一定相等不一定相等,故不正确故不正确.栏目栏目导引导引对于对于,如图如图,取取BC的中点的中点E,连接连接AE,DE,则则由题设得由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的根据线面垂直的判定定理得判定定理得BC平面平面ADE,从而从而ADBC.【答案答案】栏目栏目导引导引变式训练变式训练2.(2010高考江西卷高考江西卷)如图如图,M是正方体是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱DD1的中点的中点,给出下列四个命给出下列四个命题题:过过M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都都相交；相交；过过M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线AB,B1C
15、1都都垂直；垂直；栏目栏目导引导引过过M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都都相交；相交；过过M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都都平行平行.其中真命题是其中真命题是()A.B.C.D.栏目栏目导引导引解析解析:选选C.中要求过中要求过M点作直线与点作直线与AB,B1C1均相交均相交,因为因为AB与与B1C1异面且垂直异面且垂直,所以该直所以该直线可得唯一一条线可得唯一一条,故故正确正确.又又中过中过M点与对点与对角面角面AA1C1C平行的平面与平行的平面与AB,B1C1均相交均相交,旋旋转该面仍可能与转该面仍可能与AB,B1C1均相交
16、均相交,故故错错,选选C栏目栏目导引导引考点考点3异面直线所成的角异面直线所成的角 (2011高考上海卷改编高考上海卷改编)已知已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为是底面边长为1的正四棱柱的正四棱柱,高高AA12,求求:(1)异面直线异面直线BD与与AB1所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)四面体四面体AB1D1C的体积的体积.栏目栏目导引导引【解解】(1)连接连接BD,AB1,B1D1,AD1.BDB1D1,AB1AD1,AB1D1为异面直线为异面直线BD与与AB1所成角所成角,记为记为.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引【名师点评名师点评】本题以正四棱柱为载体本题以正四
17、棱柱为载体,考查异面直线所成的考查异面直线所成的角、四面体体积的求法角、四面体体积的求法,考查学生的空间想象考查学生的空间想象能力、运算能力及分析问题、解决问题的能能力、运算能力及分析问题、解决问题的能力力.栏目栏目导引导引备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)(2010高考湖南卷高考湖南卷)如图所示如图所示,在长方在长方体体ABCDA1B1C1D1中中,ABAD1,AA12,M是棱是棱CC1的中点的中点.求异面直线求异面直线A1M和和C1D1所成所成的角的正切值的角的正切值.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引变式训练变式训练3.如图如图,若正四棱柱若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面
18、的底面边长为边长为2,高为高为4,则异面直线则异面直线BD1与与AD所成角所成角的正切值是的正切值是_.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引方法技巧方法技巧1.主要题型的解题方法主要题型的解题方法(1)要证明要证明“线共面线共面”或或“点共面点共面”可先由部可先由部分直线或点确定一个平面分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点再证其余直线或点也在这个平面内也在这个平面内(即即“纳入法纳入法”).栏目栏目导引导引(2)要证明要证明“点共线点共线”可将线看作两个平面可将线看作两个平面的交线的交线,只要证明这些点都是这两个平面的只要证明这些点都是这两个平面的公共点公共点,根据公理根据公理3可知这些点在交
19、线上可知这些点在交线上,因因此共线此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理判定定理:平面外一点平面外一点A与平面内一点与平面内一点B的的连线和平面内不经过该点连线和平面内不经过该点B的直线是异面直的直线是异面直线线.栏目栏目导引导引(2)反证法反证法:证明两线不可能平行、相交或证证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面明两线不可能共面,从而可得两线异面从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小的一般方法求两条异面直线所成角的大小的一般方法一般方法是通过平行移动直线一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转把异面问题转化为共面问题来解决化
20、为共面问题来解决.根据空间等角定理及推根据空间等角定理及推论可知论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无异面直线所成角的大小与顶点位置无关关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上往往将角的顶点取在其中的一条直线上,特别地特别地,可以取其中一条直线与可以取其中一条直线与栏目栏目导引导引另一条直线所在平面的交点或异面线段的端另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点点.总之总之,顶点的选择要与已知量有关顶点的选择要与已知量有关,以便于以便于计算计算,具体步骤如下具体步骤如下:(1)利用定义构造角利用定义构造角,可固定一条可固定一条,平移另一条平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置或两条同时平移到某
21、个特殊的位置,顶点选在顶点选在特殊的位置上；特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解利用三角形来求解.栏目栏目导引导引失误防范失误防范1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线直线,而不是分别在两个平面内而不是分别在两个平面内.一定要理解一定要理解定义定义.2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是所成角的范围是(0,90.栏目栏目导引导引命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,异面直线所成的异面直线所成的角、异面直线的判定是高考的热点角
22、、异面直线的判定是高考的热点,题型多题型多为选择题或填空题为选择题或填空题,难度为中、低档难度为中、低档.客观题客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法主要考查异面直线所成角的概念及求法,考考查平移直线法、查平移直线法、考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考栏目栏目导引导引向量法求异面直线所成的角；主观题主要考向量法求异面直线所成的角；主观题主要考查立体几何的有关知识、异面直线所成角的查立体几何的有关知识、异面直线所成角的求法及异面直线的判定等求法及异面直线的判定等,同时还考查了学生同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力的空间想象能力和运算能力.预测预测2013年高考仍将以求异面直线所成的角年高考
23、仍将以求异面直线所成的角为主要考查点为主要考查点,重点考查学生的空间想象能力重点考查学生的空间想象能力和运算能力和运算能力.栏目栏目导引导引典例透析典例透析 (2012长春质检长春质检)对于四面体对于四面体ABCD,下列命题正确的是下列命题正确的是_.(写出所有写出所有正确命题的编号正确命题的编号)相对棱相对棱AB与与CD所在的直线异面；所在的直线异面；由顶点由顶点A作四面体的高作四面体的高,其垂足是其垂足是BCD的的三条高线的交点；三条高线的交点；栏目栏目导引导引若分别作若分别作ABC和和ABD的边的边AB上的高上的高,则这两条高所在直线异面；则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连
24、线分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条所得的三条线段相交于一点；线段相交于一点；最长棱必有某个端点最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱的长度之和大于最长棱.栏目栏目导引导引【解析解析】对于对于显然是正确的显然是正确的,根据异面直根据异面直线的定义可知；线的定义可知；是错误的是错误的,构造特例构造特例,令令AD为四面体的高为四面体的高,而对底面而对底面BCD没有要求没有要求,那么那么D不一定是三条高线的交点；不一定是三条高线的交点；是错误的是错误的,若若ABAC,且且ABAD,则则AC、AD这两条线交这两条线交于于A点；点；是正确的是正确的,不妨设不妨设
25、AB,BC,CD,DA的中点分别为的中点分别为E,F,G,H,则则EFGH是平行四边是平行四边形形,对角线对角线EG,FH相交于一点且被该点平分相交于一点且被该点平分,栏目栏目导引导引同理同理,AC,BD的中点连线也必过该点且被该的中点连线也必过该点且被该点平分；点平分；是正确的是正确的,证明如下证明如下:设四面体中设四面体中,AB是最长的棱是最长的棱,假设假设ACADAB,BCBDAB,两式相加得两式相加得:(ACBC)(ADBD)2AB.(*)而在而在ABC中中,ACBCAB,在在ABD中中,ADBDAB,栏目栏目导引导引两式相加得两式相加得,(ACBC)(ADBD)2AB,这与这与(*)
26、式矛盾式矛盾.所以所以,原命题是正确的原命题是正确的.因此因此,选择选择.【答案答案】【得分技巧得分技巧】利用概念、特例进行判断利用概念、特例进行判断,同同时结合图形来判断时结合图形来判断.栏目栏目导引导引【失分溯源失分溯源】在解答本题时有三点容易造在解答本题时有三点容易造成失误成失误:一是作图不精确一是作图不精确,从而导致对从而导致对判断失误；判断失误；二是对异面直线概念不清造成失误；二是对异面直线概念不清造成失误；三是对三是对的直观理解不够的直观理解不够,不会结合图形不会结合图形,直直觉不灵敏而造成失误觉不灵敏而造成失误.栏目栏目导引导引除此之外除此之外,解决概念问题时解决概念问题时,以下几点容易造以下几点容易造成失误成失误:(1)不会利用特殊的图形来帮助分析；不会利用特殊的图形来帮助分析；(2)对常见的概念错误不够警觉；对常见的概念错误不够警觉；(3)对概念理解不深刻对概念理解不深刻.栏目栏目导引导引知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关栏目栏目导引导引本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
