1、主要内容：主要内容：l基于幅度特征的传输函数分类基于幅度特征的传输函数分类理想幅度响应数字滤波器、有界实传输函数、全通理想幅度响应数字滤波器、有界实传输函数、全通传输函数传输函数l基于相位特征的传输函数分类基于相位特征的传输函数分类零相位传输函数、线性相位传输函数、最小相位与零相位传输函数、线性相位传输函数、最小相位与最大相位传输函数最大相位传输函数l线性相位线性相位FIR传输函数类型传输函数类型传递函数的类型传递函数的类型一个线性时不变的数字传递函数序列的时域一个线性时不变的数字传递函数序列的时域分类是基于它自身脉冲响应的长度分类是基于它自身脉冲响应的长度：有限脉冲响应传递函数（有限脉冲响应
2、传递函数（FIR）无限脉冲响应传递函数（无限脉冲响应传递函数（IIR）就具有频选功能的数字传递函数而言，可以就具有频选功能的数字传递函数而言，可以分为两类：分为两类：基于幅度函数基于幅度函数 H(ei)的的类型类型 基于相位函数基于相位函数 ()的的类型类型7.1 基于幅度特性的传输函数基于幅度特性的传输函数一般的分类是基于理想幅度响应一般的分类是基于理想幅度响应让具有某些频率的信号分量没有失真通过让具有某些频率的信号分量没有失真通过，滤波器的频响在对应频率下等于滤波器的频响在对应频率下等于1 1；完全阻止其他频率的信号分量完全阻止其他频率的信号分量，在这些频率，在这些频率下滤波器的频率响应等
3、于下滤波器的频率响应等于0 0。频率响应的值频率响应的值取取1的频率范围叫作的频率范围叫作通带通带频率响应的值频率响应的值取取0的频率范围叫作的频率范围叫作阻带阻带7.1 基于幅度特性的传输函数基于幅度特性的传输函数l 7.1.1 理想滤波器（理想滤波器（ideal filters）0211jjeHeH、阻带有、通带有理想滤波器特点：低通滤波器低通滤波器:通带通带:0 0 c c 阻带阻带:c c 高高通滤波器通滤波器:通带通带:c c 阻带阻带:0 0 c c 带带通滤波器通滤波器:通带通带:c1c1 c2c2 阻带阻带:0 0 c1 c1 和和 c2c2 带阻带阻滤波器滤波器:阻带阻带:c
4、1c1 0,在在=0时时|H(ej)|2 的最大值为：的最大值为：在在=时时|H(ej)|2最小值为：最小值为：22(1)K22(1)K当当0,在在=时时|H(ej)|2 的最大值为：的最大值为：在在=0 时时|H(ej)|2最小值为：最小值为：22(1)K22(1)K7.1.2 有界实传输函数有界实传输函数 因此因此,当当K=(1-)时时-1(),0|11-KH zz是是BR函数函数当当=0.5，K为产生为产生H（z）时所选的值）时所选的值时时BR函数的幅度响应图函数的幅度响应图 如下所示如下所示有界实传递函数有界实传递函数高通滤波器高通滤波器低通滤波器低通滤波器定义：定义：无限脉冲响应无限
5、脉冲响应IIR的的传递函数传递函数A(z)对于一对于一切频率而言，有单位幅度响应如下切频率而言，有单位幅度响应如下：2()1,jA e一切MMMMMMMMMzdzdzdzzdzddzA111111111.)(这种函数被称为全通传递函数这种函数被称为全通传递函数 一个一个 M阶有序因果实系数全通传递函数具有如阶有序因果实系数全通传递函数具有如下形式：下形式：7.1.3全通传递函数全通传递函数 如果我们把如果我们把AM(z)的分母多项式记作的分母多项式记作 DM(z):MMMMMzdzdzdzD11111.)()()()(zDzDzMMMMzA1 从上式中可以看到，若从上式中可以看到，若z=rej
6、 是全通传递函是全通传递函数的极点数的极点,则它也有一个零点则它也有一个零点z=(1/r)e-j 则则 AM(z)可以写成下式可以写成下式:7.1.3全通传递函数全通传递函数我们使用符号我们使用符号 表示表示M阶多项式阶多项式DM(z)的镜像多项式的镜像多项式,即即()()MMMDzzDz()MDz7.1.3全通传递函数全通传递函数实系数全通传递函数的分子可以说是分母实系数全通传递函数的分子可以说是分母多项式的镜像多项式的镜像,反之亦然反之亦然.)()()(zDzDzMMMMzA1 表达式表达式 )()()(zDzDzMMMMzA132132132.018.04.014.018.02.0)(z
7、zzzzzzA表明实系数全通系统函数的极点和零点表明实系数全通系统函数的极点和零点在在Z平面上是镜像对称的平面上是镜像对称的7.1.3全通传递函数全通传递函数 为了说明为了说明|AM(ej)|=1)|=1 我们看到我们看到)()(11)(zDzDzMMMMzA)()()()(111)()(zDzDzzDzDzMMMMMMMMzAzA1)()(|)(|12jezMMjMzAzAeA进而有进而有因此因此7.1.3全通传递函数全通传递函数 现在现在,因果稳定系统的传递函数的极点一定因果稳定系统的传递函数的极点一定在在Z平面上的单位圆内平面上的单位圆内 因此因此,因果稳定的全通函数的所有零点一定因果稳
8、定的全通函数的所有零点一定是在单位圆外，且与单位圆内的极点成镜是在单位圆外，且与单位圆内的极点成镜像对称的像对称的7.1.3全通传递函数全通传递函数 下图给出了三阶全通传递函数的相位的下图给出了三阶全通传递函数的相位的基值：基值：32132132.018.04.014.018.02.0)(zzzzzzzA可以看到波形在可以看到波形在相位相位()为2时时 出现了间断7.1.3全通传递函数全通传递函数 如果我们通过去除间断点将相位展开，如果我们通过去除间断点将相位展开，我们将得到展开的相位函数我们将得到展开的相位函数 c c()，如，如下所示下所示注意注意:展开的展开的相位函数是相位函数是的的连续
9、连续函函数数7.1.3全通传递函数全通传递函数结论：任何的因果稳定全通系统的相位展结论：任何的因果稳定全通系统的相位展开函数就是开函数就是的非正连续函数的非正连续函数7.1.3全通传递函数全通传递函数 的非正连续函数函数为函数，去弯折后的相位、对任意因果稳定全通、为零点为极点，则即如果零点和极点镜像对称，、式分子为分母的镜像多项、411312121jMMMjjMMeAzAzAerzrezzAzA)()()(zDzDzMMMMzA11、因果稳定的全通传输函数为、因果稳定的全通传输函数为LBR（lossless bounded response）传输函数）传输函数 111111MzAzzz 7.1
10、.3全通传递函数全通传递函数因果稳定全通函数的性质：因果稳定全通函数的性质：2、全通函数、全通函数 的幅度：的幅度：3、定义全通函数的群延时为、定义全通函数的群延时为 jcded 0dM 其中其中 是是 的相位展开的相位展开函数，稳定全通函数的函数，稳定全通函数的 是递减函数，因是递减函数，因此有：此有：c argjMAe 00，c可以证明：随着随着 从从0变到变到，M阶全通函数相位变化为阶全通函数相位变化为M 全通传递函数全通传递函数 因为因为|A(ej)|=1,则则|)(|)()(|jjjeGeAeGG(z)A(z)整体的群延时是整体的群延时是G(z)和和 A(z)群延时的叠群延时的叠加加
11、 全通传递函数全通传递函数 例如例如:下图就给出了一个四阶有序的椭圆滤下图就给出了一个四阶有序的椭圆滤波器的群延时，这种滤波器具有以下指波器的群延时，这种滤波器具有以下指标：标：:p=0.3,p=1dB,s=35dB全通传递函数全通传递函数 下图给出了原始椭圆滤波器的群延时，这下图给出了原始椭圆滤波器的群延时，这种滤波器与一个被用于均衡通带内的群延种滤波器与一个被用于均衡通带内的群延迟的八阶全通单元相级联迟的八阶全通单元相级联 传递函数的另一种分类是关于它的相位传递函数的另一种分类是关于它的相位特性的特性的 在许多应用中在许多应用中,被设计的数字滤波器不被设计的数字滤波器不能扭曲带有带通频率的
12、输入信号的相位，能扭曲带有带通频率的输入信号的相位，这是必要的这是必要的7.2 基于相位特性的传输函数分类基于相位特性的传输函数分类7.2.1 零相位传递函数零相位传递函数 为了设计具有零相位的滤波器，一种避免为了设计具有零相位的滤波器，一种避免任何相位失真的方法就是让滤波器的频率任何相位失真的方法就是让滤波器的频率响应是实数和非负的响应是实数和非负的 但是，设计一种有零相位的因果数字滤波但是，设计一种有零相位的因果数字滤波器则是不可能的器则是不可能的 对于有限长输入信号的非实时处理，通过对于有限长输入信号的非实时处理，通过放宽因果关系的要求可以很容易的实现零放宽因果关系的要求可以很容易的实现
13、零相位滤波器的方法相位滤波器的方法 下图就是一个零相位的滤波方案下图就是一个零相位的滤波方案xnvnunwnH(z)H(z)un=v-n,yn=w-n7.2.1 零相位传递函数零相位传递函数用用 X(ej),V(ej),U(ej),W(ej)和和Y(ej)表示表示xn,vn,un,wn,和和 yn的的DTFTsV(ej)=H(ej)X(ej),W(ej)=H(ej)U(ej)U(ej)=V*(ej),Y(ej)=W*(ej)结合上面的等式，我们可以得到结合上面的等式，我们可以得到 Y(ej)=W*(ej)=H*(ej)U*(ej)=H*(ej)V(ej)=H*(ej)H(ej)X(ej)=|H
14、(ej)|2X(ej)这是个有频率响应这是个有频率响应|H(ej)|2的零相位滤波器的零相位滤波器xnvnunwnH(z)H(z)un=v-n,yn=w-n7.2.1 零相位传递函数零相位传递函数 函数函数 fftfilt 能够实现零相位滤波能够实现零相位滤波 就非零相位响应的因果传递函数而言就非零相位响应的因果传递函数而言,通过通过以下方式可以避免相位失真，那就是使传以下方式可以避免相位失真，那就是使传递函数在所需的频带内有单位幅度响应和递函数在所需的频带内有单位幅度响应和线性相位特性线性相位特性7.2.1 零相位传递函数零相位传递函数7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数线性相位滤波
15、器线性相位滤波器最一般的类型都有如最一般的类型都有如下的频率响应下的频率响应 ()jj DH ee在在 到到 之间具有线性相位特性之间具有线性相位特性02即：即：()1()jH eD 7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数对于输入对于输入 ，该滤波器的输，该滤波器的输出出yn 为：为：j nx nAe()j Dj njn Dy nAeeAe设设xa(t)和和ya(t)表示连续时间信号，表示连续时间信号，xn 和和 yn是该信号在是该信号在t=nT时的抽样；时的抽样；则则xa(t)和和ya(t)间的延时正好是数量为间的延时正好是数量为D的群的群延时延时 若若D是整数是整数,则则yn 和和x
16、n是相等的是相等的,但延时但延时D个样本个样本 若若D不是整数不是整数,则则yn被延时一个小数部分因被延时一个小数部分因而不等于而不等于xn7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数结论：结论：若想要不失真地传输信号，要求：若想要不失真地传输信号，要求：传递函数传递函数应在应在感兴趣的频带内感兴趣的频带内具有具有单位幅度单位幅度响应响应和和线性相位响应线性相位响应 右图给出了在通频右图给出了在通频带中有线性相位特带中有线性相位特性的低通传递函数性的低通传递函数的频率响应的频率响应7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数)(jLPeHccnjoe,00,7.2.2 线性相位传递函数线性相位
17、传递函数由于在阻带中的信号分量是阻断的由于在阻带中的信号分量是阻断的,其相位响其相位响应可能是任一种形状应可能是任一种形状例如例如 决定具有线性相位响应的理想低通滤波决定具有线性相位响应的理想低通滤波器的脉冲响应器的脉冲响应:nnnnnnhoocLP,)()(sin可得：可得：是非因果的且是非因果的且 是双边无限长脉冲响应序列，因此是双边无限长脉冲响应序列，因此是不可实现的是不可实现的 通过将无限长脉冲响应序列截短成通过将无限长脉冲响应序列截短成有限长序列，可产生一个有限长序列，可产生一个近似于理近似于理想低通滤波器想低通滤波器且且可实现可实现的滤波器的滤波器 依靠所选的依靠所选的n0值值，这
18、种经截短得到，这种经截短得到的滤波器可以是线性相位的或者不的滤波器可以是线性相位的或者不是线性相位的是线性相位的7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数 若我们选取若我们选取n0=N/2，N为一个正整为一个正整数数,，则截短并移位后的近似值，则截短并移位后的近似值NnNnNnnhcLP0,)2/()2/(sin将是一个长度为将是一个长度为N+1 的因果线性相位的因果线性相位FIR 滤波器滤波器7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数 通过函数通过函数sinc对两个不同的对两个不同的N值产生的该滤值产生的该滤波器的系数如下图所示波器的系数如下图所示7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递
19、函数 由于两图中脉冲响应系数的对称性由于两图中脉冲响应系数的对称性,截短后截短后的近似频率响应表达式为：的近似频率响应表达式为：)()(2/0LPNjNnnjLPjLPHeenheH 被称为零相位响应或幅被称为零相位响应或幅度响应度响应，它是，它是 的实函数的实函数)(LPH 7.2.2 线性相位传递函数线性相位传递函数7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数 考虑两个一阶传递函数考虑两个一阶传递函数:11121bazHzHazbzazbz,)(,)(这两个传递函数在单位圆内这两个传递函数在单位圆内z=-a处处都有一个都有一个极点，且都是稳定的极点，且都是稳定的H1(z
20、)的零点的零点z=-b,在单位圆内在单位圆内 H2(z)的零点的零点z=-1/b，在在H1(z)的零点的镜像的零点的镜像对称处。对称处。这两个传递函数都有一个同样的幅度函数这两个传递函数都有一个同样的幅度函数 下图给出了这两个传递函数的极零点图下图给出了这两个传递函数的极零点图H1(z)H2(z)7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数 两个传递函数都有一个同样的幅度函数：两个传递函数都有一个同样的幅度函数：1122111)()()()(zHzHzHzHcossin1cossin11tantan)(argabjeHcossin1cos1sin12tantan)(arga
21、bbjeH相应的相位函数如下相应的相位函数如下7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数 下图给出了两个传递函数在下图给出了两个传递函数在 a=0.8 和和 b=-0.5处的展开的相位响应处的展开的相位响应7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数从图中可知从图中可知H2(z)相对于相对于H1(z)会存在相位滞后会存在相位滞后12H()A()bz+1z+bbz+1H()z+az+az+bzzz 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数A(z)个稳定的全通函数个稳定的全通函数H1(z)和和H2(z)的相位函数因此也有如下关系的相
22、位函数因此也有如下关系:21arg()arg()arg()jjjHeH eA eH2(z)相对于相对于H1(z)的相位滞后特性也能从下的相位滞后特性也能从下式中看出式中看出7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数H1(z)和和H2(z)的相位函数因此也有如下关系的相位函数因此也有如下关系:21arg()arg()arg()jjjHeH eA e因为因为:一个稳定的一阶全通函数的展开的相位一个稳定的一阶全通函数的展开的相位函数是函数是的负函数的负函数,由此可知由此可知H2(z)相对于相对于H1(z)确实存在相位滞后确实存在相位滞后推广：所有零点都在单位圆内的因果稳定推广：
23、所有零点都在单位圆内的因果稳定传递函数称为传递函数称为最小相位传递函数最小相位传递函数7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数令令Hm(z)是最小相位传递函数，而是最小相位传递函数，而H(z)是另是另外一个因果稳定传递函数，且满足：外一个因果稳定传递函数，且满足：()()()mH zHz A z()()jjmH eHe这两个函数可表示为：这两个函数可表示为：其中其中A(z)是稳定的全通传递函数是稳定的全通传递函数所有零点都在单位圆内的因果稳定传递函数所有零点都在单位圆内的因果稳定传递函数称为最小相位传递函数；称为最小相位传递函数；所有零点都在单位圆外的因果稳定传递函数所
24、有零点都在单位圆外的因果稳定传递函数称为最大相位传递函数称为最大相位传递函数零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定传递函数称为混合相位传递函数传递函数称为混合相位传递函数7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数 例如例如:考虑混合相位传递函数考虑混合相位传递函数-11112(1+0.3z)(0.4)H(z)=(1 0.2)(1 0.5)zzz我们可将我们可将H(z)写成写成-1-11-1-11Minimum-phasefunctionAllpass function2(1+0.3z)(1-0.4z)0.4H(z)=(1-0.2z)(
25、1+0.5z)1 0.4zz 7.2.3 最小相位和最大相位传递函数最小相位和最大相位传递函数7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数设计一个线性相位的设计一个线性相位的IIR传递函数几乎是不可传递函数几乎是不可能的；能的；设计一个恰巧具有线性相位响应的设计一个恰巧具有线性相位响应的FIR 传递传递函数总是可能的；函数总是可能的；我们现在导出具有我们现在导出具有实脉冲响应实脉冲响应hn的线性相的线性相位位FIR 传递函数传递函数H(z)的形式的形式；考虑长度为考虑长度为N+1，阶数为，阶数为N的因果的因果FIR传递函传递函数数 H(z):NnnznhzH0)(7.3 线性相位的线性相
26、位的FIR传递函数传递函数若若H(z)是是线性相位线性相位的的,它的频率响应一定有以它的频率响应一定有以下形式：下形式：()()()jj cH eeH c和和是常量，是常量，被称为幅度响应被称为幅度响应,也被称为零相位响应，它是也被称为零相位响应，它是 的实函数的实函数H()对于对于实脉冲响应实脉冲响应而言而言,幅度响应幅度响应|H(ej)|是偶是偶函数，函数，即即|H(ej)|=|H(e-j)|7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数(-)()HH j|H(e)|H()|由于由于 ,幅度响应幅度响应要么是要么是的奇函数，要么是的奇函数，要么是偶函数偶函数,即即|()|()|jH e
27、H并且频率响应满足关系并且频率响应满足关系:()()jjH eHe可等效为：()()()()()jj cj cH eeHeH 7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数()()()()()jj cj cH eeHeH 1.当当 是偶函数：是偶函数：()Hjjee可得0即或-()0()()Njcjjc nnHeH eh n e 在先前的等式中，用在先前的等式中，用替代替代可得可得()0(-)Njc llHh l e 7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数()0(-)Njc llHh l e 令令 变量变量l=N-n,我们可将上式改写成我们可将上式改写成()0(-)Njc N
28、nnHh Nn e 由于由于 ,则则:()(-)HH()()jc njc N nh n eh Nn e7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数()()jc njc N nh n eh Nn e上式可推出上式可推出 hn=hN-n,0nN其中其中 c=-N/2因此因此,如果它有一个对称的脉冲响应，具有如果它有一个对称的脉冲响应，具有偶函数幅度响应的偶函数幅度响应的FIR 滤波器将是线性相滤波器将是线性相位的位的7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数()()()()()jj cj cH eeHeH 2.当当 是奇函数：是奇函数：()Hjjee可得22 即或2当()()jjcH
29、 ejeH上式可以被改写如下：上式可以被改写如下：-()0()-()-Njcjjc nnHjeH ejh n e7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数-()0()-()-Njcjjc nnHjeH ejh n e()0(-)Njc llHjh l e 使变量使变量 l=N-n,我们将上式改写为下式我们将上式改写为下式()0(-)Njc N nnHjh Nn e 由于由于 ,从上式可得从上式可得(-)-()HH7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数得到如下条件：得到如下条件：hn=-hN-n,0 n N 其中其中 c=-N/2 因此具有因此具有奇函数的幅度响应奇函数的幅度
30、响应的的FIR滤波器若有滤波器若有一个一个反对称反对称的脉冲响应，它将是线性相位响的脉冲响应，它将是线性相位响应应-()()jc njc N nh n eh Nn e 由于脉冲响应的序列可能是偶对称的或者由于脉冲响应的序列可能是偶对称的或者奇对称的奇对称的,我们可以定义四种线性相位的我们可以定义四种线性相位的FIR传递函数传递函数 对于一个奇数长度的反对称对于一个奇数长度的反对称FIR滤波器，也滤波器，也即是说即是说N为偶数，则为偶数，则 hN/2=0 我们对以下的四种情况分别进行验证我们对以下的四种情况分别进行验证7.3 线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数线性相位的线性相位的FIR传
31、递函数传递函数Type 1:N=8Type 2:N=7Type 3:N=8Type 4:N=7线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数1型型:具有奇数长度的脉冲响应具有奇数长度的脉冲响应 在这种情况下在这种情况下,阶数阶数N是偶数是偶数 假定假定N=8 传递函数传递函数H(z)可写成可写成3213210zhzhzhhzH)(8765487654zhzhzhzhzh4.11线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 由于对称性由于对称性,可得可得 h0=h8,h1=h7,h2=h6,and h3=h5 因此，可得因此，可得)()()(718110zzhzhzH45362432zhzzhzzh)
32、()()()(3344410zzhzzhz)()(432122hzzhzzh线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 相应的频率响应相应的频率响应)3cos(1 2)4cos(02)(4hheeHjj4)cos(32)2cos(22hhh 括号里的量是括号里的量是 的实函数的实函数,在在0|的的区间内可以是正值，也可以是负值区间内可以是正值，也可以是负值线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数其中其中 是是0 或或,因此因此,在一般的意义下，它是在一般的意义下，它是 的线性函数的线性函数 群延时为群延时为4)(4)()(dd 指出四种采样的群延时是一个常量指出四种采样的群延时是一个常量 这
33、里的相位函数由下式给出这里的相位函数由下式给出线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 总而言之，总而言之，1型型 FIR 滤波器具有如下形式滤波器具有如下形式/2()()jjNH eeH)(H2/122)cos(2NnNNnnhh 幅度响应幅度响应 也被称为零相位响应，也被称为零相位响应，它具有如下形式它具有如下形式()H线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 这被作为长度为这被作为长度为7的滑动平均的滑动平均FIR滤波器滤波器的近似版本的近似版本 上面的传递函数有一个对称的脉冲响应上面的传递函数有一个对称的脉冲响应和一个线性相位响应和一个线性相位响应)(6215432121610zz
34、zzzzzH例如例如 考虑考虑线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 具有长度为具有长度为7的滑动平均滤波器的幅度响应的滑动平均滤波器的幅度响应图如下所示图如下所示00.20.40.60.8100.20.40.60.81/Magnitudemodified filtermoving-average线性相位的线性相位的FIR传递函数传递函数 通过改变滑动平均滤波器的前后两个脉冲通过改变滑动平均滤波器的前后两个脉冲响应系数，可得到更新的幅度响应响应系数，可得到更新的幅度响应 它可以写成下式它可以写成下式 )()()(5432161121011zzzzzzzH这可看作是长度为这可看作是长度为2的的MA 滤波器与长度为滤波器与长度为6的的MA滤波器的级联滤波器的级联 因此因此,H0(z)在在z=-1也也(=)处有个二重零点处有个二重零点作业作业习题习题 7.8,7.11,7.12,7.20,7.22,7.68 M7.1,M7.5
