1、 财经大学财经大学 DONGBEI UNIVERSITY OF FINANCE ECONOMICS2005年8月建筑力学ARCHITECTURE MECHANICS东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容第十三章 材力的基本内容学习与应该掌握的内容 材料力学的基本知识 基本变形的主要特点 内力计算及内力图 应力计算 二向应力状态及强度理论 强度、刚度设计东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容材料力学的基本知识材料力学的研究模型材料力学研究的物体均为变形固
2、体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；材料力学的主要研究对象就是等直杆。东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容材料力学的基本知识变形变形 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种：弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形 塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形 材
3、料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形变形固体的基本假设变形固体的基本假设 连续性假设连续性假设 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质 均匀性假设均匀性假设 假设材料的力学性能在各处都是相同的。各向同性假设各向同性假设 假设变形固体各个方向的力学性能都相同东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容材料力学的基本知识材料的力学性能-指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。构件的承载能力：强度-构件抵抗破坏的能力 刚度-构件抵抗变形的能力 稳定性-构件保持原有平衡状态的能力内力的
4、概念 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容横截面上内力分析其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。F FN Nx x使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力F FQ Qy,Fy,FQ Qz z使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生
5、弯曲变形，称为弯矩利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容横截面上内力计算-截面法截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；取其中任一部分并在截面上画出相应内力；由平衡条件确定内力大小。例：左图左半部分：Fx=0 FP=FN右半部分：Fx=0 FP,=FN,东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例13-1已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面
6、m-n上的内力解：1、假想从m-n面将机架截开（如图）；2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ（方向如图示）。（水平部分/竖直部分的变形？）3、由平衡方程得：Fy=0 FP-FN=0FN=FPMo=0 Fp a-Mz=0Mz=Fp a东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容基本变形(轴向)拉伸、压缩载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正FN=P东财Dongbei University of Finance Economics材力
7、的基本内容材力的基本内容基本变形-剪切载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力剪力FQ剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容基本变形-扭转载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系T=M东财Dongbei University of Finance Ec
8、onomics材力的基本内容材力的基本内容基本变形-弯曲（平面）载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容正应力、切应力应力的概念 单位面积上内力的大小，称为应力 平均应力Pm，如图所示FAPm=正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力；切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为：1Pa
9、=1N/m2（帕或帕斯卡)常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面积东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容单元体及简单应力状态 对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元（体）；此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-简称单向应力状态（如图）东
10、财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容位移构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。如图：AA连线称为A点的线位移 角度称为截面m-m的角位移，简称转角 注意，单元K的形状也有所改变东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容应变分析单元K 单元原棱长为x，u为绝对伸长量，其相对伸长u/x的极限称为沿x方向的正应变。u x即：x=limxa点的横向移动aa，使得oa直线产生转角，定义转角为切应变=aaoa=aax)东财Dongbei Universit
11、y of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容胡克定律实验证明：当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即：=称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕）同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系即：=此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容总第十二讲第十四章杆件的
12、内力 14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力 14-2 扭转圆轴的内力东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-1 轴向拉压杆件的内力定义 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩内力的计算 截面法 如左图内力的表示 轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容轴力图例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示Fx=0
13、 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（负号表示所画F FN2N2方向与实际相反）3)图14-1-4位AB杆的轴力图东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容轴力图为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基
14、本内容14-2 扭转圆轴的内力扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴功率、转速和扭矩的关系 M=9549 扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。nP其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min)东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例14-2 扭矩图如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图解：1
15、)1)由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有Mx=0 得：T1+MB=0T1=-MB=-350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)3)画出扭矩图如 d)东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容总第十三讲 14-3 弯曲梁的内力 14-4 弯曲梁的内力图
16、-剪力图和弯矩图东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-3 弯曲梁的内力弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。q常见梁的力学模型简支梁一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁 悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端的梁。东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容梁内力的
17、正负规定梁的内力 剪力FQ 弯矩MCq梁内力的正负规定内力方向梁的变形东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-3 弯曲梁的内力例例14-3 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy12 3aqF65AYaqF61BY2）1-1截面内力：(0 x1 a)3）2-2截面内力：(ax22a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；1651AY1xaqxFMaqFF65AyQ122AYQ2xqaq611a)(xqFF222222AY2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM东财Dongbei Uni
18、versity of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容续例14-34）3-3截面内力：(0 x3 a，此处x3的起点为B点，方向如图)aq61FFBYQ3323BY3xaq61aqxFMM东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-4内力图-剪力图1.当：0 x1a 时AC段 FQ1=5q.a/62.当：ax22a 时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2，直线x2=a；FQ2=5q.a/6 （=FQ1）x2=2a；FQ2=-q.a/6（=FQ3）3.当：0 x3a(起点在B点）FQ3=-
19、q.a/6东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-4内力图-弯矩图v当：0 x1a 时，M1=5q.a.x1/6为直线2651C11A1aqMax点：C0；M0 x点：A2672D22652C2q.a M,a2 xD q.a M,a xC点：点：MaqM,0 xBMaqM,axD2B33D2267D33点：点：v当：ax22a 时，为二次曲线；M2=5qax2-q(x2-a)2/2v当：0 x3a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=qa2+q.a.x3/6;东财Dongbei University of Fin
20、ance Economics材力的基本内容材力的基本内容典型例题-1已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1求A,B支座反力(a+b=l)lGbAyFlGaByF2求x截面内力a)0 xalGbAyQFF1xxFMlGbAy1b)axa)（或CB,ab）段Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x)东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容典型例题-2简支梁受力偶作用1.求支座反力F
21、AY,FBY得：FAY=-FBY=M/l2.AC段X截面处剪力FQ=Fay,3.同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左4.AC段弯矩方程M1M1=FAYx=M x/L5.BC段弯矩方程M2M2=FAY x-M=M(x-L)/L东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容典型例题-3悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且xqFQxqM21qlMqlFmaxmaxQ21东财Dongbei University of Finance Ec
22、onomics材力的基本内容材力的基本内容M、FQ与q的关系设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得：Fy=0;FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高阶微量后，得q(x)dx(x)dFQ(x)FQdxdMq(x)dxdFQdxMd22东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容使用关系式画FQ、M图q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处
23、FQ 图水平线q(x)0,斜直线，斜率0q(x)0,斜直线，斜率0,斜直线，斜率0FQ 0,斜直线，斜率0,抛物线，上凹q(x)0,抛物线，下凹FQ=0,抛物线有极值斜率由突变图形成折线有突变突变量=M东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例题-7M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力图：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC=FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直线,MC=7KN.MCB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MB
24、C|x=3a/4=021289aq东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容14-8（c）解答A、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q0；斜直线（左上右下）A点：FQA=FA=qa/2；B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2D点：FQAB=0；x=a/2BC段：q=0；直线（水平）C点：FQC=F=qa=FQB弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸A点：MC=0，D点：MD=FA a/2 q.a2/8=qa2/8B点：MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0 直线（左下右上）MC=0,MB=-F.a=
25、-qa2D东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容第15章 杆件的应力与变形第一讲 15-1轴向拉压杆件的应力与变形第二讲 15-2扭转圆轴的应力与应变第三讲 15-3弯曲梁的正应力第四讲 15-4弯曲梁的切应力 15-5弯曲梁的变形东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容第一讲 轴向拉压15-1轴向拉压杆件的应力与变形 杆件轴向拉压时横截面上的应力 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式 横向变形与泊松比东财Dongbei University of Fin
26、ance Economics材力的基本内容材力的基本内容横截面上的应力平面假设杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。1.横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。2.两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式AFNFN轴力A-横截面面积的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例15-1一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20
27、kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力解：求轴力FN;FN=-F=-20kN=-20 x103N求横截面面积：A1=bh=20 x25=500mm2A2=b(h-h0)=20 x(25-10)=300mm2求应力由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上=FNA=-20X103300=-66.7MPa （负号表示为压应力）东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容轴向变形设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变
28、形l和轴向（相对变形）线应变分别为：l=l1-l00010lllll直杆横截面上的正应力：AFAFN当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：=E由以上可以得到：EAlFlN式中EA称为杆件的抗拉压刚度此式称为拉压变形公式东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容横向变形与泊松比如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；那么其横向绝对变形和横向线应变分别为b和;b=b1-b0=b/b0实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小，为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大，为正；可见，轴向线应变和横向线应变恒为异号实验还表明：对
29、于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数：即：,或,比例系数称为泊松比，是量刚为一的量东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例15-2 p241一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变=120 x10-6,横向线应变=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比解：求试件的轴力FN=F=3kN;横截面面积A=bh=120mm2,横截面上的应力=F/A)(251201033MPaxAFN根据胡克定律=E得：泊松比：316701
30、203810120103866.xx,(GPa)3320812102500101202536.Exx东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例15-3 p241钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量AC段：CD段：DB段：mmEALFlN3331111036500102001201030mm
31、EALFlN3333331040250102001001020总变形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm由=L/L得：1=-300 x10-62=200 x10-63=400 x10-6mmEALFlN3332221020500102001001020东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容作业P269 15-5东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容第二讲 扭转圆轴的应力和变形一、圆轴扭转时横截面上的应力切应变、切应力切应力分布圆轴的扭
32、转变形计算公式截面的几何性质二、圆轴扭转时的变形应力计算 例15-4东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容一、圆轴扭转时横截面上的应力平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线v横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。v横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。v各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直推断结论：东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容切应
33、变、切应力横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离成正比由剪切胡克定律可知：当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：dxdGGdxddxdR横截面上任意一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容切应力分布根据以上结论：扭转变形横截面上的切应力分布如图a)所示扭矩和切应力的关系：TdA如图b)所示：微面积dA上内力对o点的矩为dM=dA整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩即：东财Dongbei University of Fin
34、ance Economics材力的基本内容材力的基本内容圆轴的扭转变形计算公式由推导的结论式TIGdAGdApdxddxd2dxdGG TdA可以得到：或：pGITdxd变形计算公式于是有：PIT扭转变形横截面任意点切应力计算公式外边缘最大切应力计算公式ppWTrITmax东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容截面的几何性质极惯性矩p扭转截面系数pdAdAIAp22rIWpp4164322.01.044dWdIdpdp434164443212.0111.0134DWDIDpDpDd其中d为圆截面直径（d、D为圆环内外径）东
35、财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容二、圆轴扭转时的变形dxGITdp 由扭转变形计算公式可以计算出，两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角drad 对于相距L的两个横截面间的相对扭转角可以通过积分求得：dxdllGITp0rad 对于等截面圆轴，若在长度为l的某两个截面之间的扭矩均为T，那么该两截面的相对扭转角为pIGlTrad单位长度相对扭转角pIGTlrad/m东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容应力计算 例15-5在图示传动机构
36、中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70,d2=50,d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/
37、min再通过公式：nWM9549可以求得各轴所受到的外力矩M1M2M3东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容例15-5(续)解：1、求各轴横截面上的扭矩：)(111412014954995491111mNnPMTE 轴：)(5571207954995492222mNnPMTH 轴：)(7.1853607954995493333mNnPMTC 轴：2、求各轴横截面上的最大切应力：)(24.16702.01011143311maxMPaWTPEE 轴：)(28.22502.0105573322maxMPaWTPHH 轴：)(6
38、6.21352.0107.1853333maxMPaWTPCE 轴：东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容应力计算 习题15-10、11 如图所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、C截面相对于A截面的扭转角CA；3、相对扭转角AB、BC；解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式MPaWTABABAB83.48802.010536ma
39、xMPaWTBCBCBC72502.0108.136max东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容15-11续2、求C截面相对A截面的扭转角扭转角计算公式：)(1005.310801.0108010200105343933radGILTpABABABBA)(10510501.0108010250108.1343933radGILTPBCBCBCCB)(1005.810)505.3(33radCBBACAC截面相对A截面的扭转角为：3、相对扭转角为：)/(100.210250105)/(10525.1102001005.323
40、3233mradLmradLBCBCCBABBAAB东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容本节要点扭转圆轴的切应力计算公式：pIT最大切应力公式pWTmax扭转圆轴的横截面上切应力分布规律相对扭转角dxGITdp单位长度相对扭转角)(mradpGITlpGITl)(180180mpGITl东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容作业P269 15-9 15-13东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内
41、容材力的基本内容总第16讲第三讲 弯曲梁正应力 弯曲正应力公式 弯曲梁截面的最大正应力 惯性矩的平行轴定理 平行轴定理应用举例1 平行轴定理应用举例2 弯曲正应力计算 习题15-14p271 作业东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容第三讲 弯曲梁正应力平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 0纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容弯曲
42、正应力公式纯弯曲正应力公式推导：如上图1、2得纵向变形：ydddydxdxbb)(根据胡克定律，可知：yEE由图3得：几何关系物理关系MdAy即zEIdAyEdAyM2对照以上各式，得：yIMz其中：Iz为截面对z轴的惯性矩东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容弯曲梁截面的最大正应力 由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.maxmaxyIMz 引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：zWMmax惯性矩计算：A 定义式：dAyIz2B 积分式：AzdAyI2矩形截面I
43、z的计算：如图12)(32222bhbdyydAyIAzhh622maxbhIyIWhzzz东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容惯性矩的平行轴定理 由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：AbIIzcz2对于z轴的惯性矩：AaIIycy2对于y轴的惯性矩：东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容平行轴
44、定理应用举例1工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。解：可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3（-）（+）（+）)(102433109129040124443331mmbhIz)(1067.1703108128040124443332mmbhIz)(1053.8610812802124433333mmbhIz123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104(mm4)东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容平行轴定理应用举例2求图示截面对z
45、轴的惯性矩解：截面可分解成如图组合，A1=300 x30=9000mm2A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mmA1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4I2cz=50 x2703/12=82.0125x106mm4 由平行轴定理得：I1z=I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z=I2cz+yc22A2=82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61
46、)x106=204x106mm4,A1A2东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容弯曲正应力计算 习题15-14p271已知：A=40MPa(拉),y1=10mm;y2=8mm;y3=30mm求：1)B,D ；2)max(拉）解：A=40MPa(拉),y1=10mm;由公式：AzAyIMAAzyIM由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：maxmaxyyyyIMDDBBAAz32MPa40108yyAABBMPa120-401030yyAADD最大拉应力在上半部边缘MPa604010
47、15yyAAmaxmax东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容作业P269 15-15东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容总第17讲15-4 弯曲梁的切应力15-5 弯曲梁的变形东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容15-4弯曲梁的切应力横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。q横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式东财Dongbei University of Finance Ec
48、onomics材力的基本内容材力的基本内容例15-11如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。解：活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为mkNbFq3311027.210394.88mkNaFq3321030.1103424.88剪力图如例15-11 b）FQmax=44.2kN弯矩图如例15-11 c)Mmax=1.18kN.m东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容(con
49、tinue)363445283431075.76.7746)(1451.0)(11.0mmmDWDdz已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：2222268.9744/)2845(4/)(mmdDA活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：MPaWMz32.1526.77461018.16maxmax由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：MPaAF7.9068.974102.44223maxmax东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容15-5 弯曲梁的变形梁弯曲变形的概念挠度-梁的横截面形心在垂直于梁轴线方向的位
50、移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。正负规定：逆时针为正，反之为负挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为转角与挠度w的关系如图所示：tan=dw(x)/dx=w即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率w=w(x)东财Dongbei University of Finance Economics材力的基本内容材力的基本内容积分法求梁的变形积分法求梁的变形挠曲线公式简单推导zEIxMx)()(1由前可知：而在数学中有：232)(1)(1wwx略去高阶无穷小，得到：zEIxMw)
