1、决策理论与方法决策理论与方法Decision theory and method决策理论与方法决策理论与方法第第8章多属性效用理论章多属性效用理论2 2主要内容主要内容l 1、优先序、优先序l 2、多属性价值函数、多属性价值函数l 3、多属性效用函数、多属性效用函数3 38.1 优先序优先序l 1.优先关系l ab(即aPb)读作“a优于b”(a is preferred to b)。：严格序（传递性、非对称性)l a b(即aRb)“a不劣于b”。：弱序(连通性、传递性和一致性)l ab(即aIb)“a无差别于b”(I:indifference)。：无差异(传递性、对称性和自反性)2.二元关
2、系的性质二元关系的性质l 令令R是定义在方案集是定义在方案集A上的二元关系，上的二元关系，x，y，z为行动集中为行动集中的任何行动则的任何行动则:（1）R在在A上是连通的上是连通的，当仅当对任何，当仅当对任何x，yA，xRy或者或者yRx，或者两者同时成立或者两者同时成立（2）R在在A上是传递的上是传递的，当且仅当对任何，当且仅当对任何x,y,z A,若若xRy，且，且yRz，则则xRz。（3）R在在A上是自反的上是自反的，当且仅当对所有，当且仅当对所有x A，有，有xRx。（4）R在在A上是非自反的上是非自反的，当且仅当对所有的，当且仅当对所有的x A，xRx不成立。不成立。（5）R在在A上
3、是负向传递的上是负向传递的，当且仅当对任何，当且仅当对任何x，y，z A，若非，若非xRy且非且非yRz则非则非xRz。2.二元关系的性质二元关系的性质（6）R在在A上是拟传递的上是拟传递的，当且仅当对任何，当且仅当对任何x，y，z A，若，若（xRy且非且非yRx）且（）且（yRz且非且非zRy），则（），则（xRz且非且非zRx）。）。（7）R在在A上是对称的，上是对称的，当且仅当对当且仅当对A中的任何中的任何x，y A若若xRy则则yRx。（8）R在在A上是非对称的上是非对称的，当且仅当对，当且仅当对A中任何中任何x，y若若xRy，则必，则必有非有非yRz（9）R在在A上是反对称的上是反
4、对称的，当且仅当对，当且仅当对A中任何中任何x，y，若，若xRy且且yRx，则必有，则必有x=y。（10）R在在A上是非循环的上是非循环的，当且仅当，当且仅当A中不存在中不存在x1，x2xn,使使x1 Rx2，且，且x2Rx3xn-1Rxn且且xnRx1。或者。或者R在在A上非循环的，当且上非循环的，当且仅当对仅当对A中任何中任何x1，x2xn，x1Rx2且且x2Rx3且且且且xn-1Rxn推不出推不出xnRx1二元关系的性质二元关系的性质l 有传递性的二元关系才能作为次序关系，加上其它性质有传递性的二元关系才能作为次序关系，加上其它性质就能构成各种次序关系，几种常见的次序关系为：就能构成各种
5、次序关系，几种常见的次序关系为：（1）拟序拟序：具有传递性和自反性的二元关系；：具有传递性和自反性的二元关系；（2）弱序弱序：具有传递性，自反性和连通性；：具有传递性，自反性和连通性；（3）偏序偏序：具有传递性自反性和反对自反性的二元关系；：具有传递性自反性和反对自反性的二元关系；（4）线性序线性序：传递性、自反性、反对称性和连通性的二元关系；：传递性、自反性、反对称性和连通性的二元关系；（5）严格偏序严格偏序：传递且非自反的二元关系；：传递且非自反的二元关系；（6）严格序严格序（强序）传递、连通、非自反的二元关系。（强序）传递、连通、非自反的二元关系。传递关系严格偏序严格序预序(拟序)(自反
6、的)偏序弱 序线性序非自反性连通性自反性反对称性连通性反对称性连通性各次序之间的关系二元关系的性质二元关系的性质88.2 多属性价值函数多属性价值函数 多属性效用函数是单属性效用理论的推广，多属性效用函数是单属性效用理论的推广，在在确定情况下的效用理论所定义的函数通常成为价值确定情况下的效用理论所定义的函数通常成为价值函数函数，而在不确定的情况下通常称为效用函数，我，而在不确定的情况下通常称为效用函数，我们主要讨论在确定情况下的效用理论们主要讨论在确定情况下的效用理论多属性价值多属性价值函数函数。1.无差异类定义8.1：无差异类任何对象aA的无差异类I（a）是A中所有与a无差异的对象的结合，即
7、：无差异类I（a）有如下性质：()I abA ba(1)();(2)()();(3)()()()();(4)()(),.aI aabI aI bI aI bI aI babcI adI bcd 由无差异关系自反性，只要与有公共的元素则若则且有8.2.18.2.1基本概念基本概念在购买专门用于收听音乐的调频收音机时，通常只有两个重要的因素，一个是价格x，一个是信噪比y。几乎所有人都会按以下规则购买这种收音机：（1）对任意给定的价格，信噪比高比较好；（2）对任意给定的信噪比，价格低的比较好。这就是说，对决策人而言，对价格的偏好独立于对信噪比的偏好，反之亦然。这就是偏好独立（preferential
8、 indepenence）2.偏好独立偏好独立定义定义8.2：偏好独立与相互偏好独立：偏好独立与相互偏好独立,(,)(,)(,)(,)x xXaYx ax aYYxXXYx ，当设、为属性，若则称属性 偏好独立于有属性有。,(,)(,)(,)(,)y yYXyyXyyYX 则称属性 偏好独立于当有有属性若。12 相互偏好独立：相互偏好独立：如果有属性如果有属性X偏好独立于属性偏好独立于属性Y，又有，又有属性属性Y偏好独立于属性偏好独立于属性X，则称，则称属性属性X与属性与属性Y相互偏好相互偏好独立独立(mutual preferential independence)。注：注：偏好独立并不总是
9、成立的。偏好独立并不总是成立的。在很多的时候在很多的时候偏好是相关的。因此，在用偏好独立概念进行分偏好是相关的。因此，在用偏好独立概念进行分析时，首先要验证是否偏好独立。析时，首先要验证是否偏好独立。菜和汤的组合不满足相互偏好独立。菜和汤的组合不满足相互偏好独立。例例当偏好独立性成立时，可以定义单个属性的当偏好独立性成立时，可以定义单个属性的边际偏好序边际偏好序（marginal preference order）；属性）；属性X偏好独立于属性偏好独立于属性Y时，在属性时，在属性X上的边际偏好序为：上的边际偏好序为：同样的，属性同样的，属性Y偏好独立与属性偏好独立与属性X时，可以定义在属性时，
10、可以定义在属性Y上的边际偏好序为：上的边际偏好序为：(,)(,)xxxaYx axa(,)(,)YyyXyy 需要注意的是：需要注意的是：（1）在偏好独立性不成立时，不能定义边际偏好序。在偏好独立性不成立时，不能定义边际偏好序。（2）当）当 是定义在是定义在XY上的弱序时，上的弱序时，X 与与 Y 也是弱也是弱序。序。课堂讨论1 16 6定理定理8.1：设设 是定义在方案集是定义在方案集A上的弱序，上的弱序，A中只有可数中只有可数个无差异类，则存在实值的序数价值函数个无差异类，则存在实值的序数价值函数v，更准确的，更准确的，,()()a bAa bv av b,()()()()a bAabv
11、av babv av b8.2.28.2.2两个属性的价值函数两个属性的价值函数1.存在性定理存在性定理定理定理8.2 设设v是与是与A上的弱序上的弱序 一致，且满足式一致，且满足式(8.5)和和(8.5”)的实值序数价值函数，的实值序数价值函数，w是是v的严格单调递的严格单调递增的实值变换增的实值变换(即保序变换即保序变换)，即：，即：有则且,)(8.6)()(8.6)()(21212121Avvvwvwvvvwvwbaa b)(8.6)()(baww)()(vww式中，也是实值的序数价值函数。该定理中方案的属性可以是任意多个；而且价值函数该定理中方案的属性可以是任意多个；而且价值函数v并不
12、惟一，并不惟一，v的任何严格单调递增变换仍是价值函数。的任何严格单调递增变换仍是价值函数。方案集和属性值集方案集和属性值集A为连续型时价值函数的存在性定理如下：为连续型时价值函数的存在性定理如下：定理定理8.3：，是是A上的弱序，若上的弱序，若则存在定义在则存在定义在A上的实值函数上的实值函数v 满足：满足：定理的证明参见文献（定理的证明参见文献（Fishburn 1970）或者（）或者（Luce 1965）()()()()abv av babv av b(1),(2),0,1(1)a bA aba ba b cA a c bcab 则nAR条件条件为单调性为单调性(Monotonicity)
13、,即优势原则即优势原则(dominance)。它指出：如至少有一属性值增加，。它指出：如至少有一属性值增加，而任何其他属性的值都不降低，则优先也提高。如而任何其他属性的值都不降低，则优先也提高。如果方案集果方案集A为有界，这个条件可认为是合理的。为有界，这个条件可认为是合理的。条件条件为偏好空间的连续性为偏好空间的连续性(continuity)(continuity)，即阿，即阿基米德性基米德性(Archimedean)(Archimedean)。该条件对于建立在函。该条件对于建立在函数数v v的存在性是必要的。这个条件确认：如果的存在性是必要的。这个条件确认：如果c c按按弱序弱序 处在处在
14、a a和和b b之间，则必然存在之间，则必然存在a a和和b b的凸组合的凸组合和和c c无差异。无差异。2 21 1某企业拟在若干产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年。现仅考虑两种属性，第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y。设现金收益可以精确预计，企业偏好是：设有下列产品对（1）（0.100），（100，100）（2）（0，400），（200，200）（3）（100，500），（200，300）（4）（0，500），（150，200）每个产品中只能生产其中之一，企业应该作何种选择，为什么？(1)(3)(4)(100,400)(200,300),(0,600)(100,200)Xxx
15、xxyyyy、Y是相互偏好独立的；(2)。课堂讨论，课堂讨论，p190，三，三2.2.加性条件加性条件 前面讨论的存在性定理即能用于单目标决策问前面讨论的存在性定理即能用于单目标决策问题，又能用于多目标决策问题。但是对于多目标决题，又能用于多目标决策问题。但是对于多目标决策问题，由于属性个数的增多，构造相应的价值函策问题，由于属性个数的增多，构造相应的价值函数是一件很困难的事情。最有效的办法是尽可能地数是一件很困难的事情。最有效的办法是尽可能地降低维数，而降低维数，而最理想的情况是对每一个属性构造一最理想的情况是对每一个属性构造一个价值函数，然后按照加性的形式组合起来个价值函数，然后按照加性的
16、形式组合起来。8.2.28.2.2两个属性的价值函数两个属性的价值函数如果能够这样做，则说决策人的偏好结构是加性的。如果能够这样做，则说决策人的偏好结构是加性的。因此，对于两个属性的价值函数因此，对于两个属性的价值函数v(x,y)，最简单的，最简单的形式莫过于表达为各属性边际价值函数形式莫过于表达为各属性边际价值函数v1(x)和和v2(y)之和，即：之和，即：v(x,y)=v1(x)+v2(y)(8.7)形如式形如式(8.7)的价值函数称为的价值函数称为加性加性(序数序数)价值函数价值函数。根据价值函数的定义，对于弱序根据价值函数的定义，对于弱序 ，两个属，两个属性的加性价值函数应满足：性的加
17、性价值函数应满足：)()()()(),(2121yvxvyvxvyx),(yx),(),(),(yxvyxvyx),(yx(8.8)将式(8.7)代入式(8.8)，即应满足:(8.9)亦即对某个亦即对某个 Y，应有，应有：),(x)()()()(),(2121vxvvxvx(8.9)消去)(2v可得：)()(),(11xvxvx),(x将任何Y)(2v的加入不等式两端，上式仍应成立，所以Y，有),(x)()()()(),(2121vxvvxvx(8.9)l 比较式比较式(8.9)与式与式(8.9”)可知，属性可知，属性X偏好独立偏好独立于属性于属性Y；同理属性；同理属性Y偏好独立于属性偏好独立
18、于属性X。l 由上可知，对弱序由上可知，对弱序 ，两个属性，两个属性X与与Y相互偏相互偏好独立是价值函数好独立是价值函数v(x,y)为加性的为加性的必要条件必要条件。但这并不是充分条件。但这并不是充分条件。例如，一个两属性决策问题的方案集中有例如，一个两属性决策问题的方案集中有9个方案，个方案，决策人所设定的这决策人所设定的这9个方案的价值函数值如下：个方案的价值函数值如下：v(0,0)=0;v(0,1)=1;v(0,2)=2 v(1,0)=1;v(1,1)=3;v(1,2)=5 v(2,0)=2;v(2,1)=6;v(2,2)=7 由于每行与每列的价值函数值均增加，所以属性由于每行与每列的价
19、值函数值均增加，所以属性X与与Y相互偏好独立。如果决策人的价值函数是加性相互偏好独立。如果决策人的价值函数是加性的，应当存在严格递增函数的，应当存在严格递增函数w，使，使),(),(yxvwyxw，且有：，且有：)()(),(21ywxwyxw根据根据v(1,0)=v(0,1)=1;v(2,0)=v(0,2)=2 可得：可得：)0()1()1()0()0,1()1,0(2121wwww)2()0()0()2()2,0()0,2(2121wwww两式相加再消去等号两侧的相同项，应该有两式相加再消去等号两侧的相同项，应该有)2()1()1()2(2121wwww，也就是说有，也就是说有)2,1()
20、1,2(而实际上，由于而实际上，由于v(1,2)=5；v(2,1)=6，使得，使得)2,1()1,2(成立。成立。所以，即使属性所以，即使属性X与与Y相互偏好独立，决策人的偏好并相互偏好独立，决策人的偏好并不一定能表示为加性价值函数。不一定能表示为加性价值函数。使两个属性的加性价值函数存在还需要的另一条件。使两个属性的加性价值函数存在还需要的另一条件。定义定义8.3：已知：已知 为2RYXA上的弱序，若 YyyyXxxx210210,，均有),(),(),(),(),(),(211220020110yxyxyxyxyxyx则称 满足:Thompsen-条件。(8.11)由此可见，上面的例子中，
21、虽然属性相互独立，由此可见，上面的例子中，虽然属性相互独立，但决策人的价值函数不能用加性函数表示，就是因但决策人的价值函数不能用加性函数表示，就是因为不满足为不满足Thompsen-条件。条件。定理定理8.4 设设 2RYXA，且存在与A上的弱序 一致的价值函数v(x,y),则当且仅当:属性X与Y相互偏好独立；满足Thompsen-条件，即满足),(),(),(),(),(),(211220020110yxyxyxyxyxyx时，存在实值价值函数)()(),(21yvxvyxv使下式成立：)()()()(),(2121yvxvyvxvyx),(yx相互偏好独立和相互偏好独立和ThompsenT
22、hompsen-条件也可用消去条件来代替。条件也可用消去条件来代替。定义定义8.4 已知已知 为2RYXA上的弱序，若Xxxa211,及Yyya212,，有),(21ax),(21ya且),(11ya),(22ax时必有),(11yx),(22yx，则称 满足消去条件。用消去条件看似简单，但是要验证决策人的用消去条件看似简单，但是要验证决策人的偏好结构满足消去条件通常很困难；相形之下偏好结构满足消去条件通常很困难；相形之下Thompsen-条件要容易验证得多，而且属性条件要容易验证得多，而且属性X与与Y相互偏好独立也不难验证，所以消去条件并不相互偏好独立也不难验证，所以消去条件并不实用。实用。
23、8.3 不确定情况下的效用理论不确定情况下的效用理论 多属性效用函数多属性效用函数 上一节讨论的多属性价值函数是决策人对确定上一节讨论的多属性价值函数是决策人对确定性多属性后果的价值的量化。但是在随机性决策分性多属性后果的价值的量化。但是在随机性决策分析中我们已经知道，在很多情况下后果不仅取决于析中我们已经知道，在很多情况下后果不仅取决于被选择的方案，还依赖于自然状态，自然状态不受被选择的方案，还依赖于自然状态，自然状态不受决策人的控制，而且也不能在事先准确地知道将发决策人的控制，而且也不能在事先准确地知道将发生地自然状态，因此，决策常常是在不确定的情况生地自然状态，因此，决策常常是在不确定的
24、情况下下 做出的。做出的。把不确定情况下单目标决策问题推广到多目标决把不确定情况下单目标决策问题推广到多目标决策问题就形成了不确定情况下的多属性效用理论。策问题就形成了不确定情况下的多属性效用理论。求解不确定情况下的多属性效用函数的思路和求求解不确定情况下的多属性效用函数的思路和求解确定情况下的多属性价值函数的思路完全相同。解确定情况下的多属性价值函数的思路完全相同。首先要确定首先要确定效用函数效用函数及及加性效用函数加性效用函数的存在性，的存在性，以及属性的以及属性的效用独立性效用独立性（也称为风险独立），然后（也称为风险独立），然后使效用函数的估计方法和效用函数的可分解形式，使效用函数的估
25、计方法和效用函数的可分解形式，一般也是分别讨论两个属性的决策问题和多于两个一般也是分别讨论两个属性的决策问题和多于两个属性的决策问题。属性的决策问题。由于设定价值函数和效用函数的种种实际困难，由于设定价值函数和效用函数的种种实际困难，在多属性情况下往往是直接设定价值函数或效用函在多属性情况下往往是直接设定价值函数或效用函数，然后计算各方案的价值或效用函数值，再根据数，然后计算各方案的价值或效用函数值，再根据价值函数值和期望效用的大小排列方案的优先序，价值函数值和期望效用的大小排列方案的优先序，这种做法并无实用价值，因此我们不再介绍具体的这种做法并无实用价值，因此我们不再介绍具体的估计价值函数的
26、流程和方法。估计价值函数的流程和方法。我们之所以要用较多的篇幅讨论价值函数及效我们之所以要用较多的篇幅讨论价值函数及效用函数的存在性及各种可分解形式的存在性是因为用函数的存在性及各种可分解形式的存在性是因为现有的各种求解多目标和多属性决策问题的方法，现有的各种求解多目标和多属性决策问题的方法，包括随后两章中介绍的各种方法，都或多或少地涉包括随后两章中介绍的各种方法，都或多或少地涉及价值函数或效用函数及其可分解形式的存在性问及价值函数或效用函数及其可分解形式的存在性问题，使用这些方法也就蕴含着应当满足相应的假设题，使用这些方法也就蕴含着应当满足相应的假设条件。条件。只有对价值函数及其可分解形式的存在性条件有只有对价值函数及其可分解形式的存在性条件有较为深入的了解，才能在学习每一种新的多目标和较为深入的了解，才能在学习每一种新的多目标和多属性决策方法时，清晰地认识该方法所蕴含的各多属性决策方法时，清晰地认识该方法所蕴含的各种假设，准确地把握该方法在解决实际问题时的适种假设，准确地把握该方法在解决实际问题时的适用范围；才能在面临实际的多目标决策问题时，根用范围；才能在面临实际的多目标决策问题时，根据问题的特点选择适宜的求解方法并取得比较满意据问题的特点选择适宜的求解方法并取得比较满意的结果。的结果。41本章结束本章结束
