1、专题3天体运动问题的归类整合按Esc键退出返回目录宇宙飞船、人造卫星、航天飞机是物理学和现代科技发展的产物,与此相关的天体运动问题是每年高考的命题热点,一般多以选择题的形式出现。天体运动问题的常见题型:(1)天体的质量、密度计算问题;(2)天体类重力加速度的分析与计算;(3)卫星的运行基本参量的分析与计算;(4)卫星的变轨问题;(5)双星问题。除此以外,还有下列题型:一、第一宇宙速度的求解问题第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度,表达式一:v1=,由G=m求得。表达式二:v1=,由mg=m求得。由于涉及重力加速度g,经常与竖直上抛、平抛、单摆等综合起来考查。GMR2MmR21vRgR21vR解析
2、:设月球表面的重力加速度为g,小球做平抛运动,水平方向x=v0t,竖直方向h=gt2,对于卫星mg=m,解以上各式得g=,v1=。1221vR2022hvx0vx2hR 答案:0vx2hR【例1】在月球上以初速度v0自高h处水平抛出的小球,射程可达x。已知月球半径为R,如果在月球上发射一颗月球的卫星,它在月球表面附近环绕月球运行的速度是多少?按Esc键退出返回目录拓展链接11990年3月,中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为“吴健雄星”,其直径2R2=32 km。如果该小行星的密度与地球的密度相同,则对该小行星而言,第一宇宙速度为多少?(已知地球的半径为R1=6
3、 400 km,地球的第一宇宙速度v=8 km/s)答案:20 m/s二、天体自转不解体问题天体自转时,天体上的各质点(轴上的除外)都随天体绕自转轴(某点)做匀速圆周运动,其特点为:(1)具有与天体自转相同的角速度和周期;(2)万有引力除提供向心力外,还要产生重力;(3)当质量、转速相同时,赤道上的质点所需向心力最大,若转速增大(或密度变小,即半径变大),其最易做离心运动,导致天体解体。此类问题既不同于天体表面附近的卫星做匀速圆周运动(二者轨道半径相同,但周期不同),也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同,但轨道半径不同)。这三类问题极易混淆,要弄清楚。【例2】设在地球上和在x天体上以相同的初
4、速度竖直上抛一物体的最大高度比为k(均不计阻力),且已知地球和x天体的半径比也是k,则地球质量与此天体的质量比为 ,若粗略地认为组成星球的物质是靠万有引力凝聚在一起的,则这样的星球有一个最大的自转速率,如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动,最终导致星球解体。设此x天体的密度为,且质量均匀分布,则其最小自转周期为 。动的规律,得=2gh,即g=,由并结合题意得M,即所求为=()2=k。一个星球高速旋转而不瓦解的临界条件为星体赤道表面的某质点m所受星体的万有引力等于向心力,则由G=mr和M=r3得T=。20v202vh2RhxMM地xRR地xhh地2Mmr22(4
5、)T433G解析:由万有引力等于重力,得=mg,即MgR2;根据竖直上抛运2GMmR答案:k 3/G三、三星问题三星问题和双星问题相似,解答时要注意:(1)绕某中心天体转动的天体有相同的周期;(2)环绕天体的轨道半径一般不等于天体间的距离,通过几何知识可找到它们的关系;(3)弄清环绕天体运动的向心力由谁(其他天体的引力的合力)提供。【例3】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆轨道运行,其周期为T。设每个星体的质量均为m,万有引力常量为
6、G,则星体之间的距离应为多少?某同学对此题的解法为:设星体之间的距离为r,如图所示,则三个星体做圆周运动的半径为R=星体做圆周运动所需的向心力由万有引力提供。根据牛顿第二定律有F引=F合=R由式得r。2cos30r22GmR224mT问:你同意上述解法吗?若同意,求出星体之间的距离;若不同意,则说明理由并写出你认为正确的结果。确。正确解法为:如图所示,由力的合成和牛顿运动定律有F合=cos 30由式得r=(。222Gmr223T4Gm13)解析:星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供,求两星体之间的万有引力时,应用星体之间的距离r,式正 答案:不同意 (223T4Gm13
7、)(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式。(2)若相邻星球的最小距离均为a,求两种构成形式下天体运动的周期之比。拓展链接2宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统,这些系统一般离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。四星系统通常有两种构成形式:一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一);二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动。若每个星体的质量均为m,引力常量为G。按Esc键退出返回目录解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一个绕行星球受到另三个星球的万有引力的合力提供向心力,三个绕行星球的向心力一定指向同一点,且中心星受力平衡,由于星球质量相等,具有对称关系,因
8、此向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为重心的等边三角形的三个顶点上,如图甲所示。(2)对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,所受合力等于向心力,因此有2Gcos 30+G=ma22(3)ma22ma2214T解得=21T232(33)aGm对正方形模式,如图乙所示,四星的轨道半径均为a,同理有2Gcos 45+G=ma解得=故=。2222ma22(2)ma2224T2222T234(42)7aGm12TT(42)(33)4四、天体的“追及相遇”问题“天体相遇”,指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内,则两环绕天体与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的同侧(或异侧)
9、时相距最近(或最远)。设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近,如果经过时间t,两天体与中心连线半径转过的角度相差2的整数倍,则两天体又相距最近,即1t-2t=2n(n=1,2,3);如果经过时间t,两天体与中心连线半径转过的角度相差的奇数倍,则两天体又相距最远,即1t-2t=(2n-1)(n=1,2,3)。【例4】火星在2019年12月18日与地球靠得最近,为天文爱好者观测火星提供了绝好的机会。如图所示为简化的原理图。若火星和地球绕太阳的运动可以近似看做为同一平面内同方向的匀速圆周运动,已知火星的轨道半径和地球的轨道半径之比为=1.53,从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时,试估算火
10、星再次与地球相距最近需多少年。(保留两位有效数字)ABrr解析:两行星位于太阳的同侧且与太阳中心在同一直线上时,它们相距最近,设经时间t,两行星与太阳中心的连线半径转过的角度相差2的整数倍,由于rArB,所以有(-)t=22BT2AT对火星有=m火()2rA对地球有=m地()2rBTB=1年2AGM mr太火2AT2BGM mr太地2BT=1.53ABrr由式得()3=()2将式代入式得TA=1.89年,并代入式得t2.1年。ABrrABTT 答案:2.1A.如果知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期,再利用万有引力常量,就可以算出地球的质量拓展链接3下列关于人造地球卫星与宇宙飞船的说法中正确的
11、是()。B.两颗人造地球卫星,只要它们的绕行速率相等,不管它们的质量、形状差别有多大,它们的绕行半径和绕行周期一定是相同的C.在某一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星和飞船一前一后,若后面的飞船要追上前面的卫星并进行对接,只要飞船的速度增大一些即可D.“神舟”七号飞船在绕地球飞行的过程中,宇航员从舱内慢慢走出,若他离开飞船,飞船因质量减小,所受万有引力减小,故飞船飞行速率减小答案：AB 解析:由G=mr=m,求得M=,r=,T=,故A正确;由卫星知识可知B正确;在某一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星和飞船,其运行速度大小相等,飞船如果加速会做离心运动,故同一轨道沿同一方向运行的卫星,后面的卫星速度增
12、大追不上前面的卫星,C错误;“神舟”七号飞船的速率不会因为宇航员的离开发生变化,D错。故正确选项为A、B。2Mmr224T2vr2324TrG2GMv2 rv五、天体运动的综合问题1.与光学知识的综合此类问题对用图展示物理过程、数理结合方面要求较高,因此根据题意画好光路图至关重要。【例5】(2019浙江理综)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时,由于地球遮挡阳光,会经历“日全食”过程,如图所示。已知地球的半径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球自转周期为T0。太阳光可看做平行光,宇航员在A点测出地球的张角为,则()。A.飞船绕地球运动的线速度为 2sin2RTB.一天内,飞船经历“日全食”的次
13、数为 0TTC.飞船每次经历“日全食”过程的时间为 0T2D.飞船的周期为T=2sin2R2RGMsin解析:由题图可知卫星轨道半径为r=R/sin,其角速度为=2/T,可知其线速度为v=r=,选项A正确;一天内飞船经历的“日全食”次数为T0/T,选项B错误;如图所示,飞船每次经历“日全食”过程的时间为,由于,可知选项C错误;飞船圆周运动周长为s=2r=,设飞船线速度为v,由牛顿第二定律有G=,22sin2RT02T2sin2R2()sin2MmR2v()sin2mR解得v=,则飞船周期为T=,选项Dsin2GMRsv2sin2Rsin2RGM正确。答案：AD 2.与自由落体、抛体等运动的综合
14、星球表面的重力加速度一方面与星球有关(g=G),另一方面又可以从相关运动规律(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出,重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。2MR【例6】随着我国登月计划的实施,我国宇航员登上月球已不是梦想。假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球,经时间t后小球回到出发点。已知月球的半径为R,万有引力常量为G。则下列说法正确的是()。A.月球表面的重力加速度为 02vtB.月球的质量为 202v RGtC.宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动0v RtD.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为 0Rtv2,联立前面式子解得T=,选项D错误。02Rtv答案：AB 解析:设月球表面的重力加速度为g,v0=,即g=,选项A正确;而g=G,两式联立得M=,选项B正确;月球表面的第一宇宙速度为v=,选项C错误;在月球表面,由G=mR()2gt02vt2MR202v RGtgR02v Rt2MmR2T按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录ruyipingtaiguanwang 俎英华檶
