1、时域离散信时域离散信号和时域离散系统号和时域离散系统 2本章主要内容n模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法nMatlab实现实现 31.1引言 信号的分类 系统的分类4信号的分类：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；：如果自变量取离散值，而函数值取连续值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；信号的自变量和函数值均取离散值。5采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，得，=，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364，显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的xn=，0.00
2、0，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。)50sin(9.0)()(anTtxnxnTt)50sin(9.0)(attx6系统的分类 模拟系统 时域离散系统 数字系统 模拟网络和数字网络构成的混合系统71.2 时域离散信号 序列81.2.1 序列的定义及表示9序列表示()nx na1,an 10 序列表示111.2.1 常用的典型序列12单位脉冲序列0,00,1)(nnnmnmnmn0,1)(13单位阶跃序列 1,0()0,0nu nn1,()0,nmu nmnm(n)=u
3、(n)-u(n-1)0()()()nkku nnkk14矩形序列 1,01()0,NnNR n 其 它 NmNmnnR0)()()()()NRnu nu nN15实指数序列()()nx na u n16正弦序列 得到（）x(n)=Asin(n+)=/fs ,17复指数序列 n用表示()e(cosjsin)ecosejsinnnnx nnnnnjarg()j()()eeex nnnx nx n,0,218 周期序列 为例讨论周期性()x n 19周期序列 kN2 ()5sin(3)4x nn20周期序列 任何k 都不能使N 为正整数，这时正弦序列不是周期序列。3()2cos(7)4x nn3()
4、2cos(7)4x nn是非周期序列。21 用单位脉冲序列表示任意序列 ()()()mx nx mnm(),()()=0,x n mnx mnmmn 221.2.2 序列的基本运算23基本运算序列的和24例：序列的和12,1()0,1nnx nn 2,0()1,0nny nnn12,13()(),1221,0nnnx ny nnnn 25例：序列求和图示12,13()(),1221,0nnnx ny nnnn 26基本运算序列的积27例：序列的积12,1()0,1nnx nn 2,0()1,0nny nnn10,11()(),12(1)2,0nnx ny nnnn 28例：序列求积图示10,1
5、1()(),12(1)2,0nnx ny nnnn x(n)29基本运算序列的移位30例：序列的移位12,1()0,1nnx nn 22,11(1)0,11nnx nn 31例：序列移位图示x(n)22,11(1)0,11nnx nn 32基本运算序列的标乘33例：序列的标乘12,1()0,1nnx nn 12,14()0,1nnx nn 34基本运算序列的翻转35例：序列的翻转12,1()0,1nnx nn 12,1()0,1nnxnn36基本运算序列的累加 设序列为x(n)，则序列 定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所有x(n)值求和。nkkxny)()(37基本运算序列的差分38基
6、本运算时间尺度(比例)变换(/),0,1,2,()0,x n m n ml lz nn其 它 39插值序列(),(/)0,x inim ix n mn为整数其他40基本运算序列的能量2|()|nEx n411.3 时域离散系统 42时域离散系统的定义及表示 431.3.1、1.3.2 线性时不变系统 44 线性系统):45例：证明一个线性系统 n(1)y(n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。46时不变系统 nm 为为任意常整数任意常整数 47例：证明一个时不变系统 n(1)y(n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。481.3.3 线
7、性时不变系统h(n)与I/O关系 49I/O关系推导 ()()(-)mx nx mn m()()()(-)my nT x nTx mn m()()(-)my nx m Tn m()()(-)()()my nx m h n mx nh n nI/O关系 50 线性时不变系统的性质 51 序列的卷积和()()()()()my nx nz nx m z nm()()()y nx nh n52卷积和计算的四个步骤53例：卷积和计算1001()()()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa1001()()()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa54例：卷积和计算aa
8、aaaanynnmmmnmn1)(144040aaaaaanynnmmmnmn1)(144040410660()nnmkmnky naa47101066001nnnkkkkaaaaaa55 例：例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解解mmmnRmRmnhmxny)()()()()(44n计算卷积的基本运算是翻转、移位、相计算卷积的基本运算是翻转、移位、相乘和相加。计算方法：图解法、解析法乘和相加。计算方法：图解法、解析法56例1.3线性卷积n首先将首先将h(n)用用h(m)表示，并表示，并将波形翻转，得到将波形翻转，得到h(m)，然后将然后将h(
9、m)移位移位n，得到得到h(nm)，n0,序列右移；序列右移；n0，序列左移。如，序列左移。如n=1，得到得到h(1-m)，接着将，接着将h(m)和和h(nm)相乘后，再相加相乘后，再相加,得得到到y(n)的一个值。对所有的的一个值。对所有的n重复这种计算重复这种计算,最后得到卷最后得到卷积结果，如图积结果，如图1.3.2(f)所示所示,y(n)表达式为表达式为ny(n)=1,2,3,4,3,2,1 57表表1.3图解法（列表法）图解法（列表法）58 例：例：设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解解 mmnmnuamRnxnhny)()()()()(
10、4n关键：根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求关键：根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。和的上、下限。n因为因为nm时，时，u(n-m)才能取非零值；才能取非零值；n0m3时，时，R4(m)取非零值；取非零值；n所以，求和区间中所以，求和区间中m要同时满足下面两式：要同时满足下面两式：n mnn 0m3n这样求和限与这样求和限与n有关系，必须将有关系，必须将n进行分段然后计算。进行分段然后计算。5911011)(aaaanynnnmmn143011)(aaaanynmmnnaaanaaannynnn411301100)(1411nn0时，时，y(n)=0n0n3时
11、，乘积的非零值范围为时，乘积的非零值范围为0mn，因此，因此nn4时，乘积的非零区间为时，乘积的非零区间为0m3，因此，因此n写成统一表达式写成统一表达式601.3.4 系统的因果性和稳定性61因果性的充分必要条件 h(n)=0，n0 ()()(-)()(-)nmmy nx m h n mx m h n m000()()(-)nmy nx m h n m62因果条件证明 1()()(-)()(-)()(-)mnmmny nx m h n mx m h n mx m h n m 63例：判断因果系统n(1)()=(+1)-();n(2)。64稳定系统 65稳定性的充分必要条件|()|nh n+|
12、()|()()|()|()|M|()|mmmy nh m x nmh mx nmh m 66稳定条件证明0)(00)()()()(nhnhnhnhnx|()|nh n kkkkhkhkhkhkxkhy|)(|)(|)()()()()0(67例：判断稳定系统0001)()(nnnmunynm nmmxny)()(68例：判断因果稳定系统 1|111,|1|()|,|1annnnnah naaa1.4 时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程描述一个系统可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述系统的输出与输入之间的关系，这种描述法被称为输入输出描述法。微分方程 模拟系统差分
13、方程 时域离散系统状态变量描述法Tx(n)y(n)时域离散系统时域离散系统用方程用方程来描述来描述两种不同的两种不同的描述方法描述方法返回返回 1.4.1 线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式描述：或 ，a0=1式中，x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系数ai和bi均为，且x(n-i)和y(n-i)只有次幂，也没有相互交叉的，故称为线性常系数差分方程。MiNiiiinyainxbny01)()()(NiMiiiinxbinya01)()(已知系统的输入信号和描述系统的线性常系数差分方程，求解系统的输出一般有三种方法：经典解法:和求解微分方程解法类似，齐次解特解：由初始值
14、和输入值递推解出系统以后输出值适合计算机求解适合计算机求解递推解法：观察上式，如果已知输入信号x(n)，求n时刻的输出，需要知道输入信号x(n)，以及n时刻以前的N个输出信号值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，y(n-N)。这N个输出信号值就构成初始条件。可以看到，上式是一个递推方程。如果已知输入信号x(n)和N个初始条件，就可以求出n个时刻的输出；如果将这公式中的n用n+1代替，就可求出n+1时刻的输出，依此类推，可求出各个时刻的输出。MiNiiiinyainxbny01)()()(73【例2.14】设系统用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求
15、输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。递推法（1）设初始条件:0)1(y)()1()(nxnayny)()()(,)2()1()2(,2)1()0()1(11)0()1()0(,02nuanyanynnaayynaay，ynayynnn时时时时（2）设初始条件:1)1(y)()1()()1()(,)1()2()1()2(,2)1()1()0()1(,11)0()1()0(,02nuaanyaanynnaaayynaaayynaayynnn时时时时)()1()(nxnayny741.5 模拟信号数字处理方法75 式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，
16、才可能有非零值，因此写成下式：nnTttP)()()()()()()(aaanTttxtPtxtxn)()()(aanTtnTxtxn76nnTttP)()(2/2/j1de)(1sTttkkTttTa对 进行傅里叶变换，得到)(FT)j()(FT)j()(FT)j(aaaatpPtxXtxXkkkaP)(2)j(s式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是rad/skkTP)(2)j(s77 kkkkXTkXTkXTPXX)jj(1d)()j(1d)()j(221)j()j(21)j(sasasaaa理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，或者说理想采样信号的频谱是而成的。78 图1.5
17、.3 采样信号的频谱 79 采样恢复ss21|021|)j(TGscaascaaa1aaaa21 )()(21 )()()j(FT)()j()j()(FT)j(txtytxtyYtyGXtyY80 采样恢复 图1.5.4 采样恢复 81 设xa(t)是带限信号，最高频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。p(t)的频谱P(j)如图1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的频谱 如图 1.5.3(c)所示，图中原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果满足s2c，或者用频率表示该式，即满足Fs2fc，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，如图1.5.3(c)所示情况，可以用理想低通滤波
18、器G(j)从采样信号中不失真地提取原模拟信号，如图1.5.4所示。但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使Fs2fc,Xa(j)按照采样频率Fs周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图1.5.3(d)表示。这种情况下，再用图 1.5.4 所示的理想低通滤波器对Xa(t)进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。)(atx)j(aX82折叠频率Fs/2 这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和图1.5.4仅是示意图。一般称，只有当信号最高频率不超过Fs/2时，才不会产生频率混叠现象，否则超过Fs/2的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此83采样定理采样定理（1）对
19、连续信号进行等间隔采样形成采样信号，对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，用公式（，用公式（1.5.5）表示。）表示。（2）设连续信号设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为属带限信号，最高截止频率为c，如果，如果，那么让采样信号，那么让采样信号通过一个增益为通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想低通滤波器，的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则。否则,s/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1
20、模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波器的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。实际中，将解码器与零阶保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。98图 1.5.10零阶保持器的频率特性 991.6 Matlab实现100单位脉冲序列(n-1)101单位阶跃序列 u(n+1)102矩形序列生成函数(1)NRnn103矩形序列 104实指数序列 105正弦序列 3sin(0.1n+/3)106复指数序列 107翻转:调用fliplr 108序列的能量 求总和 求总和 109卷积和：调用conv 110卷积和函数：convextd.m 111卷积和：包含位
21、置向量 112解差分方程：调用filter 113例：解差分方程114例：判断系统稳定 时域离散信号时域离散信号 和系统的频域分析和系统的频域分析116本章主要内容1172.1 引言 118时域与频域分析 傅里叶变换 时间域时间域 频率域频率域(复频域复频域)拉普拉斯拉普拉斯变换变换 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 时间域时间域 频率域频率域(复频域复频域)Z变换变换n连续时间信连续时间信号与系统号与系统n离散时间信离散时间信号与系统号与系统1192.2 序列的傅里叶变换 n周期序列的傅里叶级数表示周期序列的傅里叶级数表示n周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换 1202.2.12.2
22、.1时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义（2.2.1）nnnxnxXjje)()(FT)e(nFTx(n)存在的存在的充分必要条件充分必要条件是序列是序列x(n)满足绝对可和满足绝对可和|()|nx n d)e(21)e(IFT)(jjnjeXXnx（2.2.2）（2.2.3）nX(ej)的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为n序列序列x(n)的傅里叶变换定义为的傅里叶变换定义为:121【例例2.2.1】设设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。解解（2.2.4）当当N=4时，其幅度与相位随频率时，其幅度与相位随频率的变化曲线如的变化曲线如图图2.2.1
23、所示。所示。)2/sin()2/sin(e )ee(e)ee(ee1e1 ee)()e(2/)1(j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRxNNNNNnNnnnN122图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 1232.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质1 FTFT的周期性的周期性(2.2.5)观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。由FT的周期性进一步分析得到，在=0和=2M附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在=0，2,4,点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是=。一般只)e
24、(e)(e)()e()2j()2j(-j-jMnnMnnXnxnxX1242 2 线性线性(2.2.6)式中式中,a，b是常数。是常数。jj1212FT()()(e)(e)ax nbx naXbX 设设 X1(ej)=FTx1(n),X2(ej)=FTx2(n),那么那么1253 3时移与频移时移与频移设设X(ej)=FTx(n),那么那么(2.2.7)(2.2.8)00jj()FTe()(e)nx nXFTx(n-n0)=e-jwn0X(ejw)1264 共轭对称序列 共轭反对称序列 共轭对称与共轭反对称序列的表示 频域函数共轭对称与共轭反对称序列的表示 实因果序列h(n)的对称性127 设
25、序列设序列xe(n)满足下式：满足下式：（2.2.9）则称xe(n)为。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：*ee()()x nxneerei()()j()x nxnxn将上式两边将上式两边n用用n代替，并取共轭，得到：代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）*eerei()()j()xnxnxnerer()()xnxneiei()()xnxn 两式表明。n共轭对称序列共轭对称序列128满足下式的满足下式的序列称为序列称为共轭反对称序列：共轭反对称序列：（2.2.12）将将xo
26、(n)表示成实部与虚部，如下式：表示成实部与虚部，如下式：*oo()()x nxn ooroi()()j()x nxnxn可以得到：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共轭反对称序列的。oror()()xnxn oioi()()xnxnn共轭反对称序列共轭反对称序列129【例例2.2.2】试分析试分析x(n)=ejm的对称性。的对称性。解解:因为因为x*(n)=ejn=x(n)满足满足(2.2.9)式，所以式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到：虚部，则得到：x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇
27、上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。函数。130一般序列可用其共轭对称与共轭反对称分量之和表示，即一般序列可用其共轭对称与共轭反对称分量之和表示，即（2.2.15）将（将（2.2.15）式中的）式中的n用用n代替，再取共轭代替，再取共轭,得到：得到：（2.2.16）eo()()()x nx nx n*eo()()()xnx nx n利用（利用（2.2.15）和（）和（2.2.16）式，得到：）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面两式，可以用利用上面两式，可以用x(n)分别求出其分别求出其xe(n)和和xo(n)。*e1()()()2x nx nxn*o1()(
28、)()2x nx nxn任意序列的共轭对称与共轭反对称分量任意序列的共轭对称与共轭反对称分量131对于频域函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)（2.2.19）Xe(ej)为共轭对称部分（），Xo(ej)共轭反对称部分（）它们满足：（2.2.20）（2.2.21）j-jee(e)(e)XXjjoo(e)(e)XX（2.2.22）（2.2.23）jj*je1(e)(e)(e)2XXXjj*jo1(e)(e)(e)2XXX同样有下面公式成立：同样有下面公式成立：+Xe(ej)、Xo(ej)的表示，132(1)将序列将序列x(n)分成实部分成实部xr(n)
29、与虚部与虚部xi(n)，即，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到将上式进行傅里叶变换，得到:X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ej)具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ej)具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：。jjerr(e)FT()()ennXx nx njjoii(e)FTj()j()ennXx nx n式中式中FT的共轭对成性的共轭对成性133(2)将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分和共轭反对称部分xo(n)，即即x(n
30、)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)将（将（2.2.17）和（）和（2.2.18）式重写如下：）式重写如下：*e1()()()2x nx nxn*o1()()()2x nx nxn因此（因此（2.2.24）式的）式的FT为为（2.2.25）j*jjjeR1FT()(e)(e)Re(e)(e)2x nXXXXj*jjjoI1FT()(e)(e)jIm(e)j(e)2x nXXXXjjjRI(e)(e)j(e)XXX将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：134 因为因为h(n)是实序列，其是实序列，其FT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对
31、称部分为，共轭反对称部分为零。零。jje(e)(e)HHjj(e)(e)HH因此实序列的FT是共轭对称函数,其实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为显然，其模：相位函数：这和实模拟信号的FT有同样的结论。jjRR(e)()HHejjII(e)(e)HH j*-j-j|(e)|(e)|(e)|HHHj*-j-jarg(e)arg(e)arg(e)HHH 实因果序列实因果序列h(n)的频谱的频谱的对称性的对称性135按照（按照（2.2.17）和（）和（2.2.18）式得到：）式得到：eo()()()h nh nh ne1()()()2h nh nhno1()()()2h nh nhn因为因为h(
32、n)是实因果序列，是实因果序列，he(n)和和ho(n)可用下式表示：可用下式表示：（2.2.26）（2.2.27）e(0)01()()021()02hnh nh nnhnno001()()021()02nh nh nnhnn实因果序列h(n)的对称性136实因果序列实因果序列h(n)可以分别用可以分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为（2.2.28）（2.2.29）式中式中（2.2.30）e()()()h nh n uno()()()(0)()h nh n unhn2 0()1 00 0nunnn因为因为h(n)是实序列，上面公式中是实序列，上面公式中he(n)是偶函数，是偶函数，ho(
33、n)是是奇函数。按照（奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（但按照（2.2.29）式，）式，ho(n)中缺少中缺少n=0点点h(n)的信息。因此由的信息。因此由ho(n)恢复恢复h(n)时，要补充一点时，要补充一点h(h)(n)信息。信息。实因果序列实因果序列h(n)的对称性的对称性137实因果序列h(n)的 FT对称性总结*ee()()x nxnn共轭对称序列、函数共轭对称序列、函数n共轭反对称序列、函数共轭反对称序列、函数*oo()()x nxn n一般序列与共轭对称与共轭反对称序列的关系一般序列与共轭对称与共轭反对称序列
34、的关系n实因果序列实因果序列h(n)*e1()()()2x nx nxn*o1()()()2x nx nxnj*jj1FT()(e)(e)2 Re(e)ex nXXXj*jj1FT()(e)(e)2jIm(e)ox nXXXj-jee(e)(e)XXjjoo(e)(e)XX（2.2.26）（2.2.27）e(0)01()()021()02hnh nh nnhnno001()()021()02nh nh nnhnn138【例例2.2.3】x(n)=anu(n),0a1。求其偶函数。求其偶函数xe(n)和奇函数和奇函数xo(n)。解解x(n)=xe(n)+xo(n)按（按（2.2.26）式，得到）
35、式，得到：e(0)01()()021()02xnx nx nnxnn02102101nanannn139按（按（2.2.27）式，得到：）式，得到：x(n)、xe(n)和和xo(n)波形如图波形如图2.2.3所示。所示。o001()()021()02nx nx nnxnn001021 02nnnanan图2.2.3例2.2.3图140 5 时域卷积定理时域卷积定理设设 y(n)=x(n)*h(n)则则 Y(ej)=X(ej)H(ej)（2.2.31）证明证明()()()my nx m h nmjj(e)FT()()()ennmYy nx m h nm 令k=nm，则jjj(e)()()eekn
36、kmYh k x m jj()e()eknkmh kx mjj(e)(e)HX两序列卷积的FT服从相乘的关系（）1416 频域卷积定理频域卷积定理设设y(n)=x(n)h(n)则则(2.2.32)证明证明(2.2.33)jjjjj()11(e)(e)(e)(e)(e)d22YXHXH jj(e)()()ennYx n h njjj1()(e)ede2nnnx nH交换积分与求和的次序：交换积分与求和的次序：(2.2.34)该定理表明，在jjj()1(e)(e)()ed2nnYHx n jj()1(e)(e)d2HX jj1(e)(e)2XH1427 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）
37、定理（2.2.35）22j1()(e)d2nx nx证明证明 2*jj1()()()()(e)ed2nnnnx nx n x nx nXjjj1(e)(e)()ed2nnXXx n2jjj11(e)(e)d(e)d22XXX帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。143表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 1442.3 周期序列的傅里叶级数表示及其FT()(),kx nx nkN为任意整数2j()eknNkkx na（2.7.4）2j1e(n)=enN2je()eknNkn21j01()eNkmNknax nkN 1452.3.1 周
38、期序列的离散傅里叶级数22j()je()e=e=e()kmNnknNNkmNknn21j01()()eNknNkx nX kN（2.7.5）n所以，周期序列所以，周期序列:只取只取k0到到N-1的的N个独立个独立谐波分量足以表示原信号谐波分量足以表示原信号 146(2.3.6)(2.3.7)21j0()DFS()()eNknNnX kx nx n21j01()IDFS()()eNknNkx nX kX kNn周期序列离散傅里叶级数正变换周期序列离散傅里叶级数正变换 n周期序列离散傅里叶级数反变换周期序列离散傅里叶级数反变换 周期序列的离散傅里叶级数147【例例2.3.1】设设x(n)=R4(n
39、)，将，将x(n)以以N=8为周期进行周期为周期进行周期延拓，得到如图延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为所示的周期序列，周期为8，求求DFS。解按照（解按照（2.3.6）式）式,有有()x n()x n其幅度特性如图其幅度特性如图2.3.1(b)所示。所示。273jj8400()()eeknknnnX kx nj44j41 e1 ekkjj22jj88j(ee)j2jj(ee)481 ee1 eekkkkkkk3j 8sin2esin8kkk()X k148图2.3.1例2.3.1图 在模拟系统中，的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，即 对于时域离散系统中的复指数序列
40、，仍假设它的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的傅里叶变换应写为：tjaetX0)(002)(00dteeeFTjXtjtjtjatje00tje0rtjjareFTeX22)(00假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波 的傅里叶变换，根据其周期性能够表示为：)(nxkenxkXNnknNj102)()(rknNjekXN2)(1rknNjrkNkXNekXNFT)22()(2)(12周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,N-1,r=-3,
41、-2,-1,0,1,2,以N为周期，而r变化时，函数变化2r，因此如果让k在(-,)变化，上式可以简化为。)(nx10)22()(2)()(NkrjrkNkXNnxFTeX)(kXkjkNkXNnxFTeX)2()(2)()(152例2.1：令 ，为有理数，求其傅里叶变换。解:将 用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为0()cosx nn02/()x n00jj1()(ee)2nnx n0j0FTe2(2)nrr j000(e)FTcos12(2)(2)2rXnrr 00(2)(2)rrr 上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所示。
42、对于正弦序列 ，为有理数，它的傅里叶变换为0 0()sinx nn02/j000(e)FTsinj(2)(2)rXnrr 2.4 155 aa()()()nxtxnTtnT 对上式进行傅里叶变换得到对上式进行傅里叶变换得到 jaa ja ja ja(j)()ed()()ed()()ed()e()dttntnnTnXx ttx nTtnTtx nTtnTtx nTtnTt ja()enTnx nTa()x t()x n理想采样信号：2.4 156 jj(e)()ennXx nja(e)(j)TXXa()x t()x n 对比时域离散信号x(n)的傅里叶变换：得到：并且在数值上 ，a()()x n
43、x nTT ja s1(e)(jj)TkXXkT ja12(e)jkkXXTT 上式也可以表示成上面三个公式均表示157 s s/2s ，延拓周期是 ，因此由，否则也会产生频域混叠现象，频率混叠在 附近最严重，在数字域 ，则是在附近最严重。时域离散信号时域离散信号和系统的频域分析和系统的频域分析1592.5 序列的Z变换1602.5.1 Z变换及其收敛域的定义()()()(2.5.1)nnX zx nx n z 110()()()(2.5.2)nnXzx nx n z 式中式中z z所在的所在的复平面复平面z是一个连续复变量，具是一个连续复变量，具有实部和虚部有实部和虚部n 变量变量z z的极
44、坐标的极坐标形式形式 j|ezzjez161Z变换的收敛域对于给定的任意序列对于给定的任意序列x(n)，使其，使其Z变换变换收敛收敛的所有的所有z值的集合组成的区域。值的集合组成的区域。|()|nnx n z 162 序列Z变换与序列傅里叶变换关系(e)X(z)jwjwz eX()()jwjwnnX ex n e163例:求序列的Z变换 ()()nx na u n 10011 21 3()()()1()()nnnnnnnX zx n za zazazazaz 1101()(),|1nnzX zazzaazza164例:求序列的Z变换 ()(1)nx na un 11()(n 1)nnnnnnn
45、nnX za uza zaz 1111(),|11a zzX zzaa zazza0()0nx n时，11,a zza即1652.5.2 序列特性对收敛域的影响11(),|()()1nzX zzax na u nazza11(),|()(1)1nzX zzax na unazza 166有限长序列 21()()nnnnX zx n z1212120,00,00,0nnznnznnz 时，0时，0时，012(),()0,x nnnnx n其它167例：求有限长序列的Z变换 1111001()()1NNNnnnnzX zzzz()()Nx nRn168右边序列 1110()(n)z(n)z(n)z
46、nnnnnnnnX zxxx0z xRz xRz 169左边序列 2()()nnnX zx n z20n 0 xzR20n 0 xzR170双边序列 1210()()()()()()nnnnnnX zx n zX zXzx n zx n z 171例：求双边序列的Z变换 1010()nnnnnnnnnnnnnnnX za za za za za z()nx na 1zaza1a 21111()11(1)(1)azaX zazazazaz1aza1a(z)X01a(z)X1722.5.3 逆Z变换 留数定理)173()()|nxxnX zx n zRzR11()()d2ncx nX z zzj)
47、,(xxRRccn序列的序列的Z变换变换n逆逆Z变换变换n用留数定理求逆用留数定理求逆Z Z变换变换nc是是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线n用用F(z)表示被积函数：表示被积函数：nF(z)=X(z)zn-1图2.5.3围线积分路径 c17411()dRes(),2nkckX z zzF z zj Res(),()()kkkz zF z zzzF zn如果如果F(z)在围线在围线c内的极点用内的极点用zk表示，则根据留表示，则根据留数定理有数定理有n1、如果、如果zk是单阶极点是单阶极点，则根据留数定理有，则根据留数定理有n2、如果、如果z
48、k是是N阶极点阶极点，则根据留数定理有，则根据留数定理有n式中式中,ResF(z),zk表示被积函数表示被积函数F(z)在极点在极点z=zk的留数，的留数，逆逆Z变换是围线变换是围线c内所有的极点留数之和。内所有的极点留数之和。n逆逆Z变换对于变换对于N阶极点，需要求阶极点，需要求N1次导数，这是比较麻烦次导数，这是比较麻烦的。如果的。如果c内有多阶极点，而内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理留数辅助定理改求改求c外的所有极点留数之和。外的所有极点留数之和。111dRes(),()()(1)!dkNNkkz zNF z zzzF zNz175如果如
49、果F(z)在在z平面上有平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线个极点，在收敛域内的封闭曲线c将将z平面平面上的极点分成两部分：上的极点分成两部分：一部分一部分c是内极点，设有是内极点，设有N1个极点，用个极点，用z1k表示；表示；另一部分是另一部分是c外极点，有外极点，有N2个，用个，用z2k表示。表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立：。根据留数辅助定理，下式成立：121211Res(),Res(),NNkkkkF z zF z z 成立的条件成立的条件:F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和和Q(z
50、)分别是分别是M与与N阶多项式。阶多项式。成立的条件是成立的条件是 NMn+12因此要求因此要求na,求其逆求其逆Z变换变换x(n)。解解111c1()(1)dz2nx nazzj111()1nF zzaznzza分析F(z)的的极点：极点：1、n0时，时，F(z)在在c内只有内只有1个极点：个极点：z1=a；2、n0时，时，F(z)在在c内只有内只有2个极点：个极点：z1=a,z2=0是一个是一个n阶极点。阶极点。所以，应当分段计算所以，应当分段计算x(n)n0 时，时，()Res(),x nF z a()nz azzazana177 n0时，时，z=0是是n阶极点，不易求留数。阶极点，不易
