1、返回上页下页目录2022年9月18日星期日1高等数学多媒体课件高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）第1页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日2第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第六章（Surface and Its Equation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱 面五、小结与思考练习第2页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日3一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直
2、平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解:设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹方程.（Equations for a Surface)第3页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日40),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点
3、的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义1第4页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日5故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2222000()()()xxyyzzR2222xyzR例1 求动点到定点第5页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日6042222yxzyx解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明:如下形式的三
4、元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本 例3）表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 5)2()1(222zyx例2 研究方程第6页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日7定义2 一条平面曲线二、二、旋转旋转曲面曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如:(Surface of Revolution)第7页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日8故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定
5、yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:第8页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日90),(:zyfCoyxz0),(22zxyf求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？第9页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日10的圆锥面方程.（课本 例4）解:在yoz面上直线L 的方程为cot
6、yz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zyM例3 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为第10页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日11xy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕 x 轴旋转222221xyzac绕 z 轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z例4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-3 5）第11页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日12xyz三、三
7、、柱柱面面引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程222Ryx解:在 xoy 面上表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,(Cylinder;Cylindrical Surface)的曲面?第12页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日13xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上
8、的抛物线.z 轴的椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线,l 叫做母线.xyzoo定义3 第13页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日14xzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3:H(z,x)=0.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2:G(y,z)=0.母线(,)0F x y 1:方程表示(,)0G y z 2:方程表示(,)0H z x 3:方程表示xyz3lxyz1l一般
9、地,在三维空间第14页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日15四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)(Quadric Surface;Surface of Second Order)第15页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日16),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或
10、y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P202)xyz1.椭圆锥面(Elliptic Cone)第16页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日17zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax2.椭球面(Ellipsoid)第17页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日181222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1
11、zz(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z第18页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日193.抛物面(Paraboloid)2222xyzab(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzab 特别,当a=b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz第19页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日20(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)by 1)1上的截痕为平面1zz
12、椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:4.双曲面xyz(Hyperboloid)第20页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日21虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线:双曲线:0zxyzxy第21页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日222222221zxycab，上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕
13、为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo单叶双曲面:系数二项正,一项为负.双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形(2)双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）第22页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日23内容小结内容小结1.空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.第23页，共82页。返回上页
14、下页目录2022年9月18日星期日24三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222221zxycab 椭圆锥面:22222zbyax2.二次曲面第24页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日25课外练习P204 习题63 1；3(2)(4);4;6（奇数题）；7；8（2）（3）；9第25页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日265x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直
15、线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:第26页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日272262110zxyz2224420 xyzxyz22221xzacz22221yzbcz第27页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日283.习题6-3 8题8答案:在 xoy 面上;194)1(22轴旋转一周绕椭圆xyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz2214yx(2)双曲线绕y轴旋转一周；第28页，共82页
16、。返回上页下页目录2022年9月18日星期日29第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第六章（Surface and Its Equation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱 面五、小结与思考练习第29页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日30一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解:设轨迹
17、上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹方程.（Equations for a Surface)第30页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日310),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义1第31页，共82页。返回上页下页目录
18、2022年9月18日星期日32故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2222000()()()xxyyzzR2222xyzR例1 求动点到定点第32页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日33042222yxzyx解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本 例3）表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA
19、球心为 5)2()1(222zyx例2 研究方程第33页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日34定义2 一条平面曲线二、二、旋转旋转曲面曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如:(Surface of Revolution)第34页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日35故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0)
20、,(zyfozyxC建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:第35页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日360),(:zyfCoyxz0),(22zxyf求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？第36页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日37的圆锥面方程.（课本 例4）解:在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zy
21、M例3 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为第37页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日38xy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕 x 轴旋转222221xyzac绕 z 轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z例4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-3 5）第38页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日39xyz三、三、柱柱面面引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程222Ryx解:在 xoy 面上表示圆C,222Ryx222R
22、yx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,(Cylinder;Cylindrical Surface)的曲面?第39页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日40 xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在
23、平面上)表示母线平行于C 叫做准线,l 叫做母线.xyzoo定义3 第40页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日41xzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3:H(z,x)=0.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2:G(y,z)=0.母线(,)0F x y 1:方程表示(,)0G y z 2:方程表示(,)0H z x 3:方程表示xyz3lxyz1l一般地,在三维空间第41页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日42四、二次曲面四、二次曲面三元
24、二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)(Quadric Surface;Surface of Second Order)第42页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日43),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x
25、 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P202)xyz1.椭圆锥面(Elliptic Cone)第43页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日44zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax2.椭球面(Ellipsoid)第44页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日451222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面
26、.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z第45页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日463.抛物面(Paraboloid)2222xyzab(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzab 特别,当a=b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz第46页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日47(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy),(1222222
27、为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:4.双曲面xyz(Hyperboloid)第47页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日48虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线:双曲线:0zxyzxy第48页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日492222221zxycab，上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo单叶双曲面:系数二项正,一项为负.
28、双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形(2)双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）第49页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日50内容小结内容小结1.空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.第50页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日51三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:
29、椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222221zxycab 椭圆锥面:22222zbyax2.二次曲面第51页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日52课外练习P204 习题63 1；3(2)(4);4;6（奇数题）；7；8（2）（3）；9第52页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日535x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面
30、思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:第53页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日542262110zxyz2224420 xyzxyz22221xzacz22221yzbcz第54页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日553.习题6-3 8题8答案:在 xoy 面上;194)1(22轴旋转一周绕椭圆xyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz2214yx(2)双曲线绕y轴旋转一周；第55页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日56第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 第六章(Sp
31、ace Straight Line and Its Equation)四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角五、平面束六、小结与思考练习第56页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日57xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程(General Equation of a Space Straight Line)直线可视为两平面交线，(不唯一)一、空间直线方程的一一、空间直线方程的一般般方程方程第57页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日58(Symmetr
32、ic Expression)1.对称式方程（点向式方程),(0000zyxM故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx0设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0二、空间直线方程的对称式方程和二、空间直线方程的对称式方程和参参数方程数方程00yyxx第58页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日59设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz03.参数式方程(Para
33、metric Form)第59页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日60解:先在直线上找一点.102340 xyzxyz 632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns例1 用对称式及参数式表示直线（补充题）第60页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日61故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji
34、(自学课本 例1)第61页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日62例 2 求与两平面x4y=3 和2xy5z=1 的交线平行且过点(3,2,5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 12104(43)215ijksnnijk 因此所求直线的方程为 325431xyz第62页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日63例3 求直线 234112xyz与平面2xyz6=0的交点.解：所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中，得 2(2+t)+(
35、3+t)+(4+2t)6=0.解上列方程，得t=1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1,y=2,z=2.（由课本例3改编）第63页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日642L1L则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s（The Angle between Two Straight Lines）三、两直线的夹角三、两直线的夹角第64页，共82页。返回上页下页
36、目录2022年9月18日星期日65特别地有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss第65页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日66解:直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL220:20 xyLxz cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 例4（由课本例4改编）求以下两直线的夹角第66页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日67（The Angle between
37、a Straight Lines and a Plane）当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角第67页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日68特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns例5 求过点(1,2,4)且与平面解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为04
38、32zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn第68页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日69五、平面五、平面束束 有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组111122220,0,AxB yC zDA xB yC zD所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.我们建立三元一次方程：11112222()0AxB y CzDA xB y C zD(III)其中 为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成 (II)(I)（Pencil of Planes）第69页，共82页。返回上页下页目录20
39、22年9月18日星期日70比例，所以对于任何一个 值，方程(III)的系数：121212AABBCC、不全为零，从而方程(III)表示 一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的 值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面.反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).第70页，共82页。返回上页下页目录2
40、022年9月18日星期日71例6 求直线 10,10 xyzxyz 在平面x+y+z=0上的投影直线的 方程.解：过直线 10,10 xyzxyz 的平面束的方程为 (x+y-z-1)+(xy+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即(*)其中 为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 01)1(1)1(1)1(即 10 由此得=-1 代入(*)式，得投影平面的方程为 2y-2z-2=0 即 y-z-1=0所以投影直线的方程为 10,0.yzxyz 第71页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日72解：第72页，共82页。返回上页下页目录
41、2022年9月18日星期日73解：第73页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日741.空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm内容小结内容小结第74页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日75,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss 2.线与线
42、的关系第75页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日76,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L3.面与线间的关系4.平面束第76页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日77课课外外练习练习习题66 1（偶数题）；3；4（2）（4）；6（2）；7（偶数题）；10；12思考与练习D第77页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日78CC面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()(面面面面；xoyQDxoz
43、QCyozQBxoyQA)(;)(;)()(A第78页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日79BB第79页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日80)1,2,1(A,11231:1zyxLiL设直线解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法1 利用叉积.),2,1(isi,n,1nss所以OAsn2121112kjikji333且垂直于直线 又和直线nOA2L2s2.一直线过点第80页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日81设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L)1,2,1(Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB第81页，共82页。返回上页下页目录2022年9月18日星期日820)1()2(2)1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式,得由点法式得所求直线方程而)1,2,1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),(000zyxB第82页，共82页。
