1、1第一章 推理与证明 1.3 1.3 反证法反证法第1页，共17页。2综合法特点综合法特点：由因导果由因导果由由已知已知结论结论分析法特点：分析法特点：执果索因执果索因即：即：由由结果结果找条件找条件倒推倒推复习复习第2页，共17页。3思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。都撒谎。则则C C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真;由由A A假假,知知B B真真.那么假设那么假设“C C没有撒谎没有撒谎”不成立不成立;则则C C必定是在撒谎必定是
2、在撒谎.那么那么A A假且假且B B假假;这与这与B B假矛盾假矛盾.推出矛盾推出矛盾.推翻假设推翻假设.原命题成立原命题成立.分析分析:由假设由假设第3页，共17页。4 反证法：反证法：假设原命题不成立，假设原命题不成立，经过正确的推理经过正确的推理,得出矛盾，得出矛盾，因此说明假设错误因此说明假设错误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：四步四步得出矛盾的方法：得出矛盾的方法：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾
3、。）自相矛盾。第4页，共17页。5应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明比较困难直接证明比较困难;(2)(2)直接证明需分成很多类直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少而对立命题分类较少;（3)3)结论有结论有“至少至少”,“,“至多至多”,“,“有无穷多个有无穷多个”之类字样之类字样（4 4）结论为）结论为“唯一唯一”之类的命题；之类的命题；第5页，共17页。6例例1、已知已知a a是整数，是整数，2 2能整除能整除2a，求证：，求证：2能整除能整除a.1)22(2144)12(2222mmmmma2a2a证明：假设命题的结论不成立，即证明：假设命题的结论不成立，即“2
4、2不不能整除能整除a a”。因为因为a a是整数，故是整数，故a a是奇数，是奇数，a a可表示为可表示为2m2m+1 1（m m为整数），则为整数），则，即，即是奇数。所以，是奇数。所以，2 2不不能整除能整除。这与。这与”相矛盾。于是，相矛盾。于是，“2 2不不能整除能整除a a”已知已知“2能整除能整除这个假设错误，故这个假设错误，故2能整除能整除a.2a第6页，共17页。7例例2、在同一平面内，两条直线在同一平面内，两条直线a a，b b都和直线都和直线c c垂直。垂直。求证：求证：a a与与b b平行。平行。证明：证明：假设命题的结论不成立，即假设命题的结论不成立，即“直线直线a a
5、与与b b相相交交”。设直线。设直线a a，b b的交点为的交点为M M，a a，c c的交点为的交点为P P，b b，c c的交点为的交点为Q Q，如图所示，则，如图所示，则00PMQ。MPQPQMMPQPMQ0001809090PMQ这样这样的内角和的内角和 这与定理这与定理“三角形的内角和等于三角形的内角和等于0180”相矛盾，这说明假设是错误的。相矛盾，这说明假设是错误的。所以所以直线直线a a与与b b不相交，即不相交，即a a与与b b平行。平行。第7页，共17页。8解题反思：解题反思：证明以上题时，你是怎么想到反证法的？证明以上题时，你是怎么想到反证法的？反设时应注意什么？反设时
6、应注意什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？盾归属哪一类？第8页，共17页。9例例3、已知已知a0，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1 12 2则则a ax x=b b，a ax x=b b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01212 a（x-x）=0 a（x-x）=012121212 x x，x-x 0 x x，x-x
7、0 a=0 a=0与与已已知知a a 0 0矛矛盾盾,故故假假设设不不成成立立，结结论论成成立立。证明：关于证明：关于x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。第9页，共17页。10证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2=，n n m m=2 2n n2 22 2 m m=2 2n n 例例4 4、求证：求证：是无理数。是无理数。2 22 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m=2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k=2 2n n，即即n n
8、=2 2k k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。解题反思：解题反思：本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？第10页，共17页。例例5:已知直线已知直线 和平面和平面 ,如果如果 且且 ,求证求证:.ba,ab因为 ，所以 .bb且,bba,ba/a证明：因为ab，所以经过直线 确定一个平面 .ba,证明：因为ab 直线 确定一个平面 .ba,下面用反证法证明直线 与平面 没有公共点.假设直线 与平面 有公共点P,则 ,即点P是直线a与b的公共点,这与 矛盾,所以 .
9、aabPba/a因为 ,而 所以 与 是两个不同的平面.aaP综合法综合法反证法反证法第11页，共17页。感受反证法感受反证法:练习练习1.求证：求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等么它们所对的角也不等这与已知条件这与已知条件ABAC相矛盾，假设错误。相矛盾，假设错误。求证：B C尝试解决问题尝试解决问题已知：在ABC中，中，ABAC。证明：假设B=C。所以AB=AC（等角对等边）（等角对等边）所以B C。第12页，共17页。练习练习2.已知：如图已知：如图ABC中，中，D、E两两 点点分别在分别在AB和和AC上上 求证：求证：CD、B
10、E不能互相平分不能互相平分 E D C B A（平行四边形对边平行）证明：假设CD、BE互相平分互相平分 连结DE，故四边形BCED是平行四边形BDCE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，CD、BE不能互相平分不能互相平分第13页，共17页。14归纳总结：归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，具体地讲，当所证命题的结论为当所证命题的结论为否定形式否定形式或或 含有含有“至多至多”、“至少至少”等不确定词，等不确定词，此外，此外，“存在性存在性”、“唯一性唯一性”问题问题.第14页，共17页。15第15页，共17页。3.3.准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，下面是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个第16页，共17页。17第17页，共17页。
