1、【 精品教育资源文库 】 第 4 讲 万有引力与航天 考试标准 知识内容 必考要求 加试要求 说明 行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法 4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力 5.不要求分析重力随纬度变化的原因 . 太阳与行星间的引力 a 万有引力定律 c 万有引力理论的成就 c 宇宙航行 c 经典力学的局限性 a 一、开普勒行星运动三定律 1开普勒第一定律：所有行星绕 太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个焦点上 2开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相
2、等的时间内扫过相等的 面积 3开普勒第三定律 (又叫周期定律 )：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的 公转周期 的二次方的比值都相等 自测 1 关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是 ( ) A所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动 B所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动 C对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率 D所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都 相同 答案 C 解析 根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦【 精品教育资源文库 】 点上，故 A 错误；行星绕太阳运动的轨道半径越大，则运动的速率越小，故 B 错
3、误；根据开普勒第二定律对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率，故 C 正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，故 D 错误 二、万有引力定律 1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的平方成反比 2表达式： F Gm1m2r2 . 3适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算 质点 间的相互作用 4引力常量是由英国物理学家 卡文迪许 利用扭称装置测得的， G 6.6710 11 Nm 2/kg2. 自测 2 关于万有引力公式 F Gm1m
4、2r2 ，以下说法中正确的是 ( ) A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大 C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的 答 案 C 解析 万有引力定律公式适用于任何两个质点之间的万有引力计算，当两物体间的距离趋近于 0 时，物体不能视为质点，万有引力公式不再适用， A、 B 均错误；万有引力为两物体间的相互作用力，符合牛顿第三定律， C 正确；引力常量 G 的值是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出的， D 错误 三、万有引力理论的成就 1预言未知星体 2计算天体质量 四、宇宙
5、航行 1第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为 7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度 2第二宇 宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s. 3第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为 16.7 km/s. 自测 3 我国将在 2018 年前后完成约 18 颗北斗导航卫星的发射，该卫星发射速度 v 大小的范围是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A v 7.9 km/s B 7.9 km/s v 11.2 km/s C 11.2
6、 km/s v 16.7 km/s D v 16.7 km/s 答案 B 命题点一 万有引力定律的理解和应用 1解决天体 (卫星 )运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 GMmr2 man mv2r m2r m42rT2 . (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 GMmR2 mg(g 表示天体表面的重力加速度 ) 2天体质量和密度的估算 (1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. 由于 GMmR2 mg，故天体质量 M gR2G ， 天体的平均 密度 MV M43 R3 3g4 GR. (2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期
7、T 和轨道半径 r. 由万有引力等于向心力，即 GMmr2 m42T2 r，得出中心天体质量 M4 2r3GT2 ； 若已知天体半径 R，则天体的平均密度 MV M43 R3 3 r3GT2R3. 例 1 如图 1 所示是美国的 “ 卡 西尼 ” 号探测器经过长达 7 年的 “ 艰苦 ” 旅行，进入绕土星飞行的轨道若 “ 卡西尼 ” 号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知万有引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 图 1 A M 42 R h 3Gt2 ， R
8、h 3Gt2R3 B M 42 R h 2Gt2 ， R h 2Gt2R3 C M 42t2 R h 3Gn2 ， 3 t2 R h 3Gn2R3 D M 42n2 R h 3Gt2 ， 3 n2 R h 3Gt2R3 答案 D 解析 设 “ 卡西尼 ” 号的质量为 m， “ 卡西尼 ” 号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供， G MmR h 2 m(R h)? ?2T 2，其中 T tn，解得 M 42n2 R h 3Gt2 .又土星体积 V 43 R3，所以 MV 3 n2 R h 3Gt2R3 .故 D 正确 变式 1 (2017 绍兴一中高一期末 )物理学的发展丰富了
9、人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列说法中正确的是( ) A开普勒通过对行星观测记录的研究发现了万有引力定律 B伽利略指出物体的运动需要力来维持 C牛顿测出了引力常量 G 的数值 D海王星是运用万有引力定律在 “ 笔尖 ” 上发现的行星 答案 D 解析 牛顿发现了万有引力定律， A 错误；伽利略认为力是改变物体运动的原因而不是维持物体运动的原因， B 错误；卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 G， C 错误 变式 2 (2017 温州市高一期末 )质量均为 110 5 kg 的两物体 (都可看成质点 )相距 1 m时，已知引力常量 G 6
10、.6710 11 Nm 2/kg2，它们之间的万有引力大小最接近于 ( ) A一个大人的重力 B一个鸡蛋的重力 C一个大西瓜的重力 D一头牛的重力 答案 B 变式 3 (2017 绍兴市一中高一期末 )某个行星，其半径 是地球半径的 2 倍，质量是地球【 精品教育资源文库 】 质量的 25 倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 ( ) A 6 倍 B 4 倍 C.254 倍 D 12 倍 答案 C 解析 设地球的质量为 M，半径为 R，质量为 m 的物体在地球表面运动时，地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，则有 GMmR2 mg 地 ，解得 g 地 GMR2，同理 g 行 GM
11、行R2行，则该行星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为： g行g地G25 MR 2GMR2 254 ，故 A、 B、 D 错误， C 正确 变式 4 通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量这两个物理量可以是 ( ) A卫星的速度和质量 B卫星的质量和轨道半径 C卫星的质量和角速度 D卫星的运行周期和轨道半径 答案 D 解析 根据线速度和角速度可以求出半径 r v ，根据万有引力提供向心力： GMmr2 mv2r，整理可以得到 M v2rG v3G ，故选项 A、 B、 C 错误；若知道卫星的周期
12、和半径，则GMmr2 m?2T2r，整理得到 M 42r3GT2 ，故选项 D 正确 变式 5 (2017 浙江 11 月选考 7) 如图 2 所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图，则卫星 ( ) 图 2 A在 a 轨道运行的周期为 24 h B在 b 轨道运行的速度始终不变 C在 c 轨道运行的速度大小始终不变 D在 c 轨道运行时受到的地球引力大小是变化的 【 精品教育资源文库 】 答案 D 解析 同步卫星必须在赤道正上空 36 000 km 处，所以 a 轨道不可能是同步轨道，选项 A错误； b 轨道上的卫星的速度方向不断变化，所以速度不断变化，选项 B 错误；地球在 c 轨道的
13、其中一个焦点上，因此在近地点时卫星速度要快，远地点速度要慢，选项 C 错误；在 c轨道上，卫星离地球的距离不断变化，所以根据 F GMmr2 可以看出卫星受地球的引力大小不断变化， D 正确 变式 6 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的 (忽略其自转影响 )( ) A.14 B 4 倍 C 16 倍 D 64 倍 答案 D 解析 天体表面的重力加速度 g GMR2， 又知 MV 3M4 R3， 所以 M 9g316 2 2G3，故M星M地 (g星g地 )3 64. 命题点二 宇宙航行和卫星问题 1第一宇宙速度的推导
14、方法一：由 GMmR2 mv 21R 得 v1 GMR 7.9103 m/s. 方法二：由 mg mv 21R 得 v1 gR 7.9103 m/s. 2第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度 3 a、 v、 、 T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，故对同一中心天体来说，卫星所有参量的比较，最终归结到轨道半径 的比较 r 越大， a、 v、 越小，T 越大 4利用万有引力定律解决卫星运动的技巧 (1)一个模型 天体 (包括卫星 )的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型 (2)两组公式 GMmr2 mv2r m2r m42T2 r ma 【 精品教育资源文库 】 mg GMmR2 (g 为天体表面处的重力加速度 ) 例 2 (2017 浙江 4 月选考 11) 如图 3 所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的 n 倍，质量为火星的 k 倍不考虑行星自转的影响，则 ( ) 图 3 A金星表面的重力加速度是火星的 kn倍
