1、一、基本概念与基本性质一、基本概念与基本性质二、基本公式二、基本公式三、综合举例三、综合举例积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分基本概念、公式、方法关系图基本概念、公式、方法关系图第四章第四章 不定积分不定积分或或设设 是定义在区间是定义在区间 内的已知函数如果存在内的已知函数如果存在可导函数，使对于任意的，都有可导函数，使对于任意的，都有)(xfI)(xFIx)()(xfxFxxfxFd)()(d则称是函数在上的一个则称是函数在上的一个原函数原函数
2、)(xfI)(xF定义定义41(1)原函数原函数的定义的定义第四章第四章 不定积分不定积分例例1 1解：解：（1）已知）已知F(x)是是 的一个原函数，求的一个原函数，求d(F(x2)，xxsin已知已知 xxxFsin)(则则xxxxF2sin)(222dxxxxFd22sin2)(1.原函数与不定积分原函数与不定积分例例1 1解：解：已知已知 122)(xxxf则则)1()1(xfddxxfCxf)1(（2）.)1(dxxf求,122)(xxxf设Cxx1211.原函数与不定积分原函数与不定积分定义定义42 如果如果函数函数F(x)是是f(x)的一个原函数，则称的一个原函数，则称f(x)的
3、全体原函数的全体原函数F(x)+)+C（C为任意常数）为为任意常数）为f(x)的的不定积分不定积分，记作，记作CxFdxxf )()(2)不定积分不定积分的定义的定义不定积分与微分运算互为逆运算，即不定积分与微分运算互为逆运算，即(2)(2)或或CxFxxF)(d)(CxFxF)()(d(1)(1)或；或；)(d)(xfxxfxxfxxfd)(d)(d性质性质 4.1(1)互逆运算性质互逆运算性质kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx(3)lndxxCxxdxsin)5(Cxcos dxax)4(xdxcos)6(Cxsindxex特别CexCaax ln.基本积分公式
4、基本积分公式xdx2sec7）（CxtanCxdxxtancos12或或dxx211)9(Cxarctandxx211)10(Cxarcsinxdxxtansec)11(Cxsecxdxxcotcsc)12(Cx cscxdx2csc8）（Cxcot或或Cxdxxcotsin12.基本积分公式基本积分公式;coslntan)13(Cxxdx;sinlncot)14(Cxxdx*(15)secln sectan;xdxxxC*(16)csclncsccot;xdxxxC1*(17)ln()()dxxaCxa xbabxb.基本积分公式（续）基本积分公式（续）两个函数代数和的不定积分，等于这两个函
5、数不定积分的两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和代数和xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即xxfkxxkfd)(d)().).0k性质性质 4.2 性质性质 4.3(2)代数运算性质代数运算性质例例2 2计算下列各不定积分计算下列各不定积分dxxxx)1(32)1(222解：解：dxxxx)1(32222dxxxxx)1()1(222222212xdxdxxCxxarctan22.被积函数为有理分式被积函数为有理分式例例2 2解：解：计算下列各不定积分计算下列各不
6、定积分dxxx241)2(dxxx241dxxx24111dxxx)111(22Cxxxarctan3132.被积函数为有理分式被积函数为有理分式例例2 2解：解：计算下列各不定积分计算下列各不定积分223)3(xxdx223xxdx22)2()1()1(xxdCx21arctan22注：以上各小题被积函数均为有理分式，但积分方法不注：以上各小题被积函数均为有理分式，但积分方法不 尽相同！尽相同！2.被积函数为有理分式被积函数为有理分式例例3 3解：解：计算下列各不定积分计算下列各不定积分xedx1)1(xedx1dxeeexxx11dxeexx)11(Cexx)1ln(tex1此题是否还可用
7、其它方法？如，令此题是否还可用其它方法？如，令2.被积函数被积函数中均含有因子的情形中均含有因子的情形 xe解：解：例例3 3计算下列各不定积分计算下列各不定积分dxeexx1)2(2此题可用其它方法求解，请同学们自行思考！此题可用其它方法求解，请同学们自行思考！dxeexx12Ceexx)2(132)(111xxxedeedxeexx)111(2.被积函数被积函数中均含有因子的情形中均含有因子的情形 xe解：解：例例4 4计算不定积分计算不定积分xdxx2sin3sin)1(),cos()cos(21sinsinBABABA),5cos(cos212sin3sinxxxxCxx5sin101
8、sin21dxxxxdxx)5cos(cos212sin3sin3.被积函数被积函数中均含有因子中均含有因子 的情形的情形 bxaxcossin或解：解：例例4 4计算不定积分计算不定积分.cos)2(4xdxxdx4cos dxx222cos1dxxx)2cos2cos21(412dxxx)24cos12cos21(41.324sin42sin83Cxxx3.被积函数被积函数中均含有因子中均含有因子 的情形的情形 bxaxcossin或作业作业 1.1.已知已知 是是 的一个原函数，求的一个原函数，求)(xF2xe dxxFd)(dxefexx)1(Cxxdxxfsin)(2.2.已知已知 ，求，求3.3.计算下列不定积分计算下列不定积分dxxx223)1()1(dxxxx223)2(dxxx2)sin()3(dxeeexxx)4(
