1、2022-9-261第五讲第五讲 数据统计分析以及数据统计分析以及 概率模型概率模型1 MATLAB1 MATLAB中中统计工具箱中的基本统计命令统计工具箱中的基本统计命令2 2 概率模型概率模型一一 MATLAB中统计工具箱中的基本统计命令中统计工具箱中的基本统计命令1.数据的录入、保存和调用数据的录入、保存和调用2.基本统计量基本统计量3.常见的概率分布函数常见的概率分布函数4.频频 数数 直直 方方 图图 的的 描描 绘绘5.参数估计参数估计6.假设检验假设检验7.综合实例综合实例返回返回一、数据的录入、保存和调用一、数据的录入、保存和调用 例例1 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职
2、工工资总额的数据如下：统计工具箱中的基本统计命令统计工具箱中的基本统计命令1年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入.命令格式：x=a:h:b t=78:872分别以x和y代表变量职工工资总额和商品零售总额.x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4 y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.03将变量t、x、y的数据保存在文件data中.save data t x y 4进行统计分析时，调用数据文件data中的数据.load dataTo MATLAB(txy)1输入矩
3、阵：data=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.02将矩阵data的数据保存在文件data1中：save data1 data3 3进行统计分析时，先用命令：load data1 调用数据文件data1中的数据，再用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y：t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要调用矩阵da
4、ta的第j列的数据，可用命令：data(:,j)To MATLAB(data)返回返回2022-9-266基本统计量基本统计量2022-9-267二、基本统计量二、基本统计量对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：均值：mean(x)中位数：median(x)标准差：std(x)方差：var(x)偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x)例例 对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量.To MATLAB(tjl)返回返回三三、常见概率分布的函数常见概率分布的函数MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：概率密度：pdf 概率分布：cdf逆概率分布：inv
5、 均值与方差：stat随机数生成：rnd （当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）例例 2 画出正态分布)1,0(N和)2,0(2N的概率密度函数图形.在MATLAB中输入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1密度函数密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma)(当mu=0,sigma=1时可缺省)To MATLAB(liti2)如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：To MATLAB(liti3
6、)2概率分布概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)4均值与方差：均值与方差：m,v=normstat(mu,sigma)例例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差.命令为：m,v=normstat(3,5)结果为：m=3,v=25To MATLAB(liti5)1给出数组data的频数表频数表的命令为：N,X=hist(data,k)此命令将区间min(data),max(data)分为k个小区间（缺省为10），返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X.2描绘数组data的频数直方图频数直方图的命令为：hist(data,k)四、数四、数 直直 方方 图图
7、 的的 描描 绘绘返回返回五、参数估计五、参数估计1正态总体的参数估计正态总体的参数估计 设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)此命令在显著性水平alpha下估计数据X的参数（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值,muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.2其它分布的参数估计其它分布的参数估计 有两种处理办法:一、取容量充分大的样本（n50），按中心极限定理，它近似地 服从正态分布；二、使用MAT
8、LAB工具箱中具有特定分布总体的估计命令.（1）muhat,muci=expfit(X,alpha)在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计.（2）lambdahat,lambdaci=poissfit(X,alpha)在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.（3）phat,pci=weibfit(X,alpha)在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.返回返回六、假设检验六、假设检验 在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验.1总体方差总体方差 已知时，总体均值的检验使用已知时
9、，总体均值的检验使用 z检验检验 h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差，alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail=0，检验假设“x 的均值等于 m”tail=1，检验假设“x 的均值大于 m”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 m”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.2 例例7 MA
10、TLAB统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年1月份和2月份的汽油平均价格（price1,price2分别是1、2月份的油价，单位为美分），它是容量为20的双样本.假设1月份油价的标准偏差是每加仑4分币（=4），试检验1月份油价的均值是否等于115.解解 作假设：m=115.首先取出数据，用以下命令：load gas然后用以下命令检验 h,sig,ci=ztest(price1,115,4)返回：h=0，sig=0.8668，ci=113.3970 116.9030.检验结果:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设均值115 是合理的.2.sig值为0.86
11、68,远超过0.5,不能拒绝零假设 3.95%的置信区间为113.4,116.9,它完全包括115,且精度很 高.To MATLAB（liti7）2总体方差总体方差 未知时，总体均值的检验使用未知时，总体均值的检验使用t 检验检验 h,sig,ci=ttest(x,m,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail=0，检验假设“x 的均值等于 m”tail=1，检验假设“x 的均值大于 m”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 m”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.返
12、回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.2返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=116.8 120.2.检验结果:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假 设油价均值115是不合理的.2.95%的置信区间为116.8 120.2,它不包括 115,故不能接受假设.3.sig值为4.9517e-004,远小于0.5,不能接受零 假设.To MATLAB（liti8）例例8 试检验例8中2月份油价price2的均值是否等于115.解解 作假设：m=115，price2为2
13、月份的油价，不知其方差，故用以下命令检验h,sig,ci=ttest(price2,115)3两总体均值的假设检验两总体均值的假设检验使用使用 t 检验检验 h,sig,ci=ttest2(x,y,alpha,tail)检验数据 x，y 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail=0，检验假设“x 的均值等于 y 的均值”tail=1，检验假设“x 的均值大于 y 的均值”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 y 的均值”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝
14、假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为与x与y均值差的的 1-alpha 置信区间.返回：h=1，sig=0.0083，ci=-5.8,-0.9.检验结果:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的 假设“油价均值相同”是不合理的.2.95%的置信区间为-5.8,-0.9,说明一月份油 价比二月份油价约低1至6分.3.sig-值为0.0083,远小于0.5,不能接受“油价均 相同”假设.To MATLAB（liti9）例例9 试检验例8中1月份油价price1与2月份的油价price2均值是否相同.解解 用以下命令检验h,sig,ci=ttest2(price
15、1,price2)4非参数检验：总体分布的检验非参数检验：总体分布的检验MATLAB工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令:（1）h=normplot(x)（2）h=weibplot(x)此命令显示数据矩阵x的正态概率图.如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态.而其它概率分布函数显示出曲线形态.此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图.如果数据来自于Weibull分布，则图形将显示出直线性形态.而其它概率分布函数将显示出曲线形态.返回返回2022-9-2622分布函数的近似求法分布函数的近似求法2022-9-26230510152000.020.040.060.080.10.120
16、.140.162022-9-2624-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.42022-9-262500.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91返回返回F（10，50）分布的密度函数曲线例例10 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 4
17、34 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 4
18、99 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布.解解 1数据输入To MATLAB（liti101）2作频数直方图 hist(x,10)3分布的正态性检验 normplot(x)4参数估计：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)（看起来刀具寿命服从正态分布）（刀具寿命近似服从正态分布）估计出该刀具的均值为594，方差204，均值的0.95置信区间为 553.4962，634.5038，方差的0.95置信区间为 179.2276，237.1329.To MAT
19、LAB（liti104）To MATLAB（liti102）To MATLAB（liti103）5假设检验To MATLAB（liti105）已知刀具的寿命服从正态分布，现在方差未知的情况下，检验其均值 m 是否等于594.结果：h=0，sig=1，ci=553.4962，634.5038.检验结果:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说 明提出的假设寿命均值594是合理的.2.95%的置信区间为553.5，634.5,它 完全包括594,且精度很高.3.sig值为1,远超过0.5,不能拒绝零假 设.返回返回2022-9-2629第五讲第五讲 概率模型概率模型1 轧钢中的浪费轧钢中的浪费2
20、随机存储策略随机存储策略2022-9-2630确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型2022-9-26311 轧钢中的浪费轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧)形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧)得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以调整
21、均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景2022-9-2632分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m,2)切掉多余部切
22、掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根报废整根报废的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP 2022-9-2633lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费=+lPm粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mNNlPNmN lPm共浪费长度共浪费长度 mN-lPN2022-
23、9-2634lPmPNlPNmN)()(mPmmJ记222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适的目标函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m)最小（已知最小（已知l,）建模建模粗轧粗轧N根根得成品材得成品材 PN根根2022-9-2635,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求
24、z 使使J(z)最小（已知最小（已知 ）2022-9-2636求解求解)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/)(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/)()()(zzzFzzF2022-9-2637简表)()()(zzzFz*z例例设设l=2(米米),=20(厘米厘米)，求求 m 使浪费最小。使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4
25、771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z2022-9-26382 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略存贮策略制订下界制订下界s,上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S;否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略存贮策
26、略,使使(平均意义下平均意义下)总费用最小总费用最小2022-9-2639模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0,每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3 (c1c3)每周销售量每周销售量 r 随机、连续，概率密度随机、连续，概率密度 p(r)周末库存量周末库存量x,订货量订货量 u,周初库存量周初库存量 x+u 每周贮存量按每周贮存量按 x+u-r 计计 2022-9-26400)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模与求解建模与求解（s,S)
27、存贮策略存贮策略0usx确定确定(s,S),使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用 订货费订货费c0,购进价购进价c1,贮存费贮存费c2,缺货费缺货费c3,销售量销售量 r Suxusx,0s 订货点，订货点，S 订货值订货值2022-9-264112130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模与求解建模与求解1）设）设 xs,求求 u 使使 J(u)最小，确定最小，确定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模与求解建模与求解xxd
28、rrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2022-9-26422）对库存）对库存 x，确定订货点确定订货点s)()(101SLxSccJ若订货若订货u,u+x=S,总费用为总费用为)(2xLJ 若不订货若不订货,u=0,总费用为总费用为 12JJ)()(1xIxLxc记)()(0SIcxI订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货不订货)()(1
29、01SLSccxLxc)()(0SIcxI2022-9-2643)()(0SIcxI最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x)0 S I(S)s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)与与I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s某校60名学生的一次考试成绩如下:93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 551)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.
