1、学习目标1.1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）（难点）2.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）1.1.如图，连接如图，连接A A、B B两点的所有连线中，哪条最短两点的所有连线中，哪条最短？为？为什么？什么？A AB B最短，因为两点之间，线段最短最短，因为两点之间，线段最短2.2.如图，点如图，点P P是直线是直线l l外一点，点外一点，点P P与该直线与该直线l l上各点连接的所有线上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？段中，哪条最短？为什么？P Pl l
2、A AB BC CD DPCPC最短，因为垂线段最短最短，因为垂线段最短 “两点的所有连线中，两点的所有连线中，线段最短线段最短”“”“连接直线外一点与直线上各点连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，的所有线段中，垂线段最短垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题等的问题，我们称之为最短路径问题.本节我们将通过探究数本节我们将通过探究数学史的著名的学史的著名的“牧马人饮马问题牧马人饮马问题”及及“造桥造桥选址问题选址问题”，来体会，来体会 如何运用所学知识选择最短路径。如何运用所学知识选择最短路径。A AB BP Pl lA AB BC CD D 问题问题1 1、如图，牧马人从点如图，牧
3、马人从点A A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l饮马，然后饮马，然后到到B B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C C抽象成抽象成A AB Bl l数学问题数学问题所求问题：所求问题：在在直线直线l l上求作一点上求作一点C,C,使使AC+BCAC+BC最短问题最短问题.实际问题实际问题A AB Bl l思考思考1 1：由以上问题，我们假由以上问题，我们假设点设点A,BA,B分别是直线分别是直线l l异侧异侧的两个点，如何的两个点，如何在在l l上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A
4、A，点，点B B的距离的和最短？的距离的和最短？A Al lB BC C根据是根据是“两点之间，线段最两点之间，线段最短短”，可知这个交点即为所，可知这个交点即为所求求.连接连接AB,AB,与直线与直线l l相交于一点相交于一点C.C.思考思考2 2：那么当点那么当点A,BA,B分别是直线分别是直线l l同侧同侧的两个点，又应该如何解决？的两个点，又应该如何解决？开动脑筋：我们如开动脑筋：我们如何将点何将点B B“移移”到到l l 的另一侧的另一侧BB处，满足直线处，满足直线l l 上的任意一点上的任意一点C C，都保持，都保持CB CB 与与CBCB的长度相等？的长度相等？A AB Bl l
5、利用轴对称，作出点利用轴对称，作出点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B.B.这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。作法：作法：（1 1）作点作点B B 关于直线关于直线l l 的对称点的对称点BB；（2 2）连接连接ABAB，与直线，与直线l l 相交于点相交于点C C 则点则点C C 即为所求即为所求 A AB Bl lB B C C思考思考3 3：你你能用所学的知识证明能用所学的知识证明AC+BCAC+BC最短吗？最短吗？证明：如图，在直线证明：如图，在直线l l 上任取一点上任取一点CC(与点与点C C 不重合不重合)，连接连接ACAC，
6、BCBC，BCBC由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BCBC=BC，BC=BCBC=BC AC+BC=AC+BC=ABAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC AC+BC=AC+BC在在ABCABC中中，ABABAC+BCAC+BC，AC+BCAC+BCAC+BCAC+BC即即AC+BC AC+BC 最短最短A AB Bl lB B C CC C 1 1、如、如图，直线图，直线l l是一是一条街道，条街道，P P、Q Q是是两所学校两所学校.欲在欲在l l上的某处修建上的某处修建一个水泵站，一个水泵站，向向P P、Q Q两两地供水，地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示
7、铺设的管道，则所需要管道现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2 2、如、如图，已知点图，已知点D D、点、点E E分别是等边三角形分别是等边三角形ABCABC中中BCBC、ABAB边的中点，边的中点，AD=AD=8 8，点点F F是是ADAD边上的动点，则边上的动点，则BF+EFBF+EF的最小值为（）的最小值为（）A A7.5 7.5 B B3 3 C C8 8 D D不能确定不能确定 C C 问题问题2 2、如图，如图，A A和和B B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥两地在一条河的两岸，现要在河上造
8、一座桥MN.MN.桥桥造在何处可使从造在何处可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）与河垂直）？A AB BN NM M抽象成抽象成所求问题：所求问题：在在a a、b b上分别求作上分别求作M M、N N,使使AM+MN+NBAM+MN+NB最最短问题短问题.B BA Ab ba aB BA A?N NM MN NM MN NM M折折移移 如图假定任选位置造桥如图假定任选位置造桥MNMN，连接，连接AMAM和和BNBN，从，从A A到到B B的路径是的路径是AM+MN+BNAM+MN+BN，那么怎样确
9、定什么情况下最短呢？那么怎样确定什么情况下最短呢？思考思考1 1：我我们能否在不改变们能否在不改变AM+MN+BNAM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？什么图形变换能帮助我们呢？B BA AA A1 1M MN N如图，平移如图，平移A A到到A A1 1，使，使AAAA1 1等于等于河宽，连接河宽，连接A A1 1B B交河岸于交河岸于N N作作桥桥MNMN，此时路径，此时路径AM+MN+BNAM+MN+BN最最短短.B BA AA A1 1M MN N理由理由:另任作桥另任作桥M M1 1N N，连接，连接AMAM，BNBN，A AN
10、 N.由平移性质可由平移性质可知：知：AMAMA AN N，AAAAMNMNM MN N，AMAMA AN N.AM+MN+BNAM+MN+BN转化为转化为，而，而转化为转化为.在在A AN NB B中，因为中，因为A A1 1N N1 1+BN+BN1 1A A1 1B.B.因此因此 AM+MN+BN.AM+MN+BN.思考思考2 2：你你能用所学的知能用所学的知识证明识证明AM+MN+NBAM+MN+NB最短吗最短吗？解决最短路径问题的方解决最短路径问题的方法法:在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决
11、的问题，从而作出最短路径的选择未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.1 1、如、如图，荆州古城河在图，荆州古城河在CCCC处直角转弯，河宽相同，从处直角转弯，河宽相同，从A A处到处到B B处，须经处，须经两座桥：两座桥：DD,EE DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使北方向的，怎样架桥可使ADD E EBADD E EB的路程最短？的路程最短？A AD DD D C CCCE EEEB B解：作解：作AFCD,AFCD,且且AF=AF=河宽，作河宽，作BG CEBG CE，且，且BG=BG=河宽
12、，连接河宽，连接GF,GF,与河岸相交与河岸相交于于E,D.E,D.作作DD,EEDD,EE即为桥即为桥.理由：由作图法可知，理由：由作图法可知，AF/DDAF/DD，AF=DDAF=DD，则四边形则四边形AFDAFDD D为平行四边形，为平行四边形，于是于是AD=FD,AD=FD,同理，同理，BE=GEBE=GE，由两点之间线段最短可知，由两点之间线段最短可知，GFGF最小最小.AD CCEEBFGD 1 1、如、如图，在直角坐标系中，点图，在直角坐标系中，点A A，B B的坐标分别为（的坐标分别为（1 1，5 5）和）和 （4 4，0 0），点），点C C是是y y轴上的一个动点，且轴上的
13、一个动点，且A A，B B，C C三点不在同一三点不在同一条条 直直线上，当线上，当ABCABC的周长最小时点的周长最小时点C C的坐标是（）的坐标是（）A A（0 0，4 4）B B（0 0，2 2）C C（0 0，1 1）D D（0 0，0 0）BBC CE EA A2.2.如图，如图，AOB=30AOB=30，AOBAOB内有一定点内有一定点P P，且，且OP=10OP=10在在OAOA上有上有一点一点Q Q，OBOB上有一点上有一点R R若若PQRPQR周长最小，则最小周长是（）周长最小，则最小周长是（）A A10 B10 B1515 C C20 D20 D30 30 A A3.3.如图，牧童在如图，牧童在A A处放马，其家在处放马，其家在B B处，处，A A、B B到河岸的距离分别为到河岸的距离分别为ACAC和和BDBD，且，且AC=BD,AC=BD,若点若点A A到河岸到河岸CDCD的中点的距离的中点的距离为为600600米，则牧童米，则牧童从从A A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米米.A AC CB BD D河河12001200本节课我们收获了哪些知识？本节课我们收获了哪些知识？“将军饮马将军饮马”和和”选址造桥选址造桥”问题都运用到了哪些知识？问题都运用到了哪些知识？课本教材第93页：15题
