1、6.3.2随机变量及其分布-2-考向一考向二考向三考向四依据频率求概率的综合问题例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);-3-考向一考向二考向三考向四(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记
2、事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.-4-考向一考向二考向三考向四解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图.通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.-5-考向一考向二考向三考向四(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B
3、地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).-6-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得对于求由几个简单事件组合而成的复杂事件的概率,一般有两种解题方法:1.直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.2.间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况比较少,则可利用其对立事件进行
4、求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.-7-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练1(2019北京卷,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:-8-考向一考向二考向三考向四(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月
5、支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.-9-考向一考向二考向三考向四解(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为=
6、0.4.-10-考向一考向二考向三考向四(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.-11-考向一考向二考向三考向四-12-考向一考向二考向三考向四离散型随机变量的分布列(多维探究)类型类型1相互独立事件、互斥事件的概率及分布列相互独立事件、互斥事件的概率及分布列 例2某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放
7、着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其他都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所买的衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A,B,C三位顾客各买了一件衣服.(1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服打6折的概率;(2)A,B两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服,设X为打折后两位顾客的消费总额,求X的分布列和数学期望.-13-考向一考向二考向三考向四-14-考向一考向二考向三考向四-15-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得字母表示事件法:使用简洁、准确的数学语言描述解
8、答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.-16-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练2电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.-17-考向一考向二考向三考向四假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k
9、类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.-18-考向一考向二考向三考向四-19-考向一考向二考向三考向四-20-考向一考向二考向三考向四-21-考向一考向二考向三考向四类型类型2超几何分布超几何分布 例3(2019北京东城一模,理16)改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).-22-考向一考向二考向三考向四(1)从2007年至201
10、6年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率;(2)从2007年至2016年随机选择3年,设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)-23-考向一考向二考向三考向四(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.-24-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中
11、恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.-25-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练3(2019河南郑州一月质检,理19)2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污
12、染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值;(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布,11月份仅有一天AQI在170,180)内.-26-考向一考向二考向三考向四-27-考向一考向二考向三考向四郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,如果AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率,求该校周日进行社会实践活动的概率;在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望
13、.-28-考向一考向二考向三考向四解(1)设重度污染区AQI的平均值为x,则742+1145+2x=1189,解得x=172.即重度污染区AQI平均值为172.(2)由题意知,AQI在170,180)内的天数为1,由表可知,AQI在50,170)内的天数为17天,故11月份AQI小于180的天数为1+17=18,-29-考向一考向二考向三考向四-30-考向一考向二考向三考向四类型类型3二项分布二项分布 例4(2019山东济宁一模,理19)某学校为了了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,结果这100人的体重全部介于45kg到75kg之间,现将结果按如下方式分为6组:第
14、一组45,50),第二组50,55),第六组70,75),得到如图(1)所示的频率分布直方图,并发现这100人中,其体重低于55kg的有15人,这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示,以样本的频率作为总体的概率.-31-考向一考向二考向三考向四(1)求频率分布直方图中a,b,c的值;(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在55,65)的人数,求X的概率分布列和数学期望;(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布N(,2),其中=60,2=25.若P(-20.9545,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.-32-考向一考向二考向三考
15、向四(2)用样本的频率估计总体的概率,可知从全体学生中随机抽取一人,体重在55,65)的概率为0.0710=0.7,随机抽取3人,相当于三次独立重复试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7),则所以,X的概率分布列为:E(X)=30.7=2.1.(3)由N(60,25)得=5,得P(-2+2)=P(500.9545.所以可以认为该校学生的体重是正常的.-33-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1
16、-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.-34-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练4(2019山西晋城二模,理18)一年之计在于春,一天之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端,某种植户对一块地的n(nN*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.-35-考向一考向二考向三考向四-36-考向
17、一考向二考向三考向四-37-考向一考向二考向三考向四样本的均值、方差与正态分布的综合例5为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;下面是检验员
18、在一天内抽取的16个零件的尺寸:-38-考向一考向二考向三考向四-39-考向一考向二考向三考向四解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0027,故XB(16,0.0027).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9973160.0423.X的数学期望为E(X)=160.0027=0.0432.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线
19、在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.由=9.97,s0.212,得的估计值为-40-考向一考向二考向三考向四-41-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.-42-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练5某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即
20、要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X满足60.6mm69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(参考数据:若XN(,2),则P(-X+)=0.6826;P(-2X+2)=0.9544;P(-3X+3)=0.9974.)-43-考向一考向二考向三考向四-44-考向一考向二考向三考向四-45-考向一考向二考向三考向四概率与函数或数列的综合例6(2019全国卷1,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.
21、试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.-46-考向一考向二考向三考向四(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分
22、,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.-47-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=
23、p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.-48-考向一考向二考向三考向四-49-考向一考向二考向三考向四解题心得解题心得解决概率与函数或数列的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题转化为函数或数列的问题,在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,使之与求证的结论建立联系,从而解决问题.-50-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练6某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p400,故应该对余下的产品作检验.
