1、第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 退出返回目录上一页下一页v CAPM的基本假设投资者通过预期回收率和标准差来评价投资组合的优劣 投资者永不满足，相同情况下将选择较高预期回报率的投资组合投资者是厌恶风险的，相同情况下将选择具有较小标准差的投资组合每一个资产都无限可分 投资者可以以一个无风险利率贷出（即投资）或借入资金 1v CAPM的基本假设税收和交易成本均忽略不计 所有投资者都有相同的投资期限 对于所有投资者，无风险利率相同 对于所有投资者，信息是免费的并且是立即可得的 投资者具有相同的预期 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资
2、产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 2v资本市场线（Capital Market Line，CML）pr O1 Tr T B O2 Pr P I fr T p 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 3退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 图中的切线就是有借贷条件下的有效边界，是否发生 借贷关系，取决于投资者选择的投资组合是位于 T 的 左边，还是它的右边。若投资者选择的投资组合 位于 T 的左边，如图中的2O，
3、则投资者不需要融资，且在投资组合中一定还包含有一定量的无风险证券（相当于贷出资金）；若投资者选择的投资组合位于 T 的右边，如1O点，他就必须进行融资，即在利率为 fr下借入所需要的资金。4如果现实中借贷条件不能被满足，即投资者只能以自有资金 选择投资组合，这时有效边界由两部分构成，一部分是 T 点 左边的切线段，另一部分是原不含无风险证券有效边界 T 点 的右半部分，即曲线 TB。有借贷条件的有效边界（图中的切 线）被称为资本市场线。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 5退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资
4、产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 因为，资本市场线是通过（0，fr）和（T，Tr）两点的直线，而两点可以完全决定一条直线，由这两 点的坐标可得直线的斜率为0TfTrr，所以该直线的方程能被写成 pr=a+TfTrrp （7.1.1）6又因为该直线过（0，fr）点，将pr=fr，p=0 代入（7.1.1）式得fra，这样我们便得到了资本市场线 pr=fr+TfTrrp （7.1.2）其中，pr和p表示引入无风险证券后任一有效组合的 预期回报率和标准差。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模
5、型 7退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 资本市场线上的切点T具有一些特殊的性质：（1）T点是仅包含有风险资产的投资组合；（2）在市场均衡的情况下，T点包含所有有风险资产；（3）在市场均衡的条件下，T点所对应的投资组合完全反映了有风险市场的资产结构。8性质（2）证明。在资本市场线上，（0，fr）和 T（TTr,）所对应的投资 组合是含有无风险资产的两个有效组合，由两基金分离定 理知，任何其他的有效组合均可用这两个有效组合线性表 示。设（pPr,）为资本市场线上的任一有效组合所对应 的风险与期望收益之结果，具体的组合为
6、Tnfwwww),(21（11niifww）。再根据点（0，fr）和 T（TTr,）所对 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 9应的经济含义知，（0，fr）对应的组合为T)0,0,0,1(，（TTr,）所对应之组合为Tnwww),0(21（11niiw），则存在非零的21kk、，使 nnfwwwkkwwww21212100001 （7.1.3）成立。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 10由（7.1.3）式得 nnfwkwkwkkwwww2
7、2212121 （7.1.4）有 1kwf，),2,1(2niwwkii （7.1.5）退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 11由上章两基金分离定理的证明过程中知，211kk。若02k，则11k，表示该有效组合即为点（0，fr），这不是我们要讨论的 T 点。当02k，iw也非零对 所有的 i 都成立，否则，至少存在某一0i（ni 01），使00iw，由（7.2.5）式知，当00iw时，002iiwwk 也必然为零，这就是说，若 T 的组合中不含有市场中的某 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本
8、资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 12一有风险资产，则所有其他的有效组合都不含有该有 风险资产。虽然投资者由于风险偏好的不同，可能会 选择不同的投资组合，但理性决定了他们所选择的投 资组合一定是有效组合。而由上述分析知，所有有效 组合中均不含有证券0i。换句话说就是，证券0i在 当前的价格水平下变得无人问津，结果证券0i的价格 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 13必然下跌，证券0i价格下跌意味着它的收益率不断提高，市场价格调整的结果必然使证券0i进入有效投资组合 之中，一旦0i进入有效投资组合
9、，则它就必然进入 T 所 对应的投资组合中。这就是说，在市场均衡的情况下，0iw 不可能为 0，或者说，T 包含了所有的有风险资产。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 14性质（3）证明。由性质（2）的讨论知，点 T 是包含所有有风险证券的有效组合，仍记该组合为Tnwww),0(21。现设资本市场有 m 个投资人，且投资者都是理性的，也就是说，投资者均选择 CML 上的某 一点作为自己的投资组合，第 j 个投资者所选择的投资组合为 Tjnjjjfwwww),()()(2)(1)(，他的总资金规模记为jM，则他投资 于
10、第 i 个有风险证券所占用的资金为jjiMw)(。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 15由（7.1.5）式有ijjiwkw)(2)(所以第 i 个有风险证券占用第 j 个投资者的资金为jijMwk)(2，市场全体投资人投资于第 i 个有风险证券的总资金为 mjjjijijmjMkwMwk1)(2)(21，它也是第 i 个有风险证券均衡时的市值。所有有风险证券的总市值为 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 16mjjjniimjjjmjjj
11、niiMkwMkMkw1)(211)(21)(21（11niiw）。在有了每一个有风险证券和有风险证券总市值后，我们就可非常 容易地计算出第 i 个有风险证券市值占总市值的比重为 imjjjmjjjiwMkMkw1)(21)(2/（i=1,2,n）。这就证实了性质（3）。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 17退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 从T点所对应投资组合的性质看，T点几乎完全反映了有风险证券市场的基本特征，它简直就是一个浓缩的市
12、场，正因为如此，人们才将T点所对应的投资组合称为市场组合（the market portfolio），即市场组合是这样的投资组合，它包含所有市场上存在的有风险资产种类，且各种资产所占的比例与每种资产的总市值占市场所有资产总市值的比例相同。习惯上用M代替图中的T来表示市场组合。PMfMfprrrr18退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 prMr MfrM p图 7.1-2 资本市场线19v证券市场线（security market line,SMLsecurity market line,SML）iMMfMfirrrr
13、22MiMiMiMfMfirrrr为证券的贝塔系数（贝塔值），它表示了证券的相对风险大小，具有可加性。协方差版本贝塔版本退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 20(a)协方差版本 (b)贝塔版本 ir ir Mr M Mr M fr fr 2M iM 1.0 iM 返回目录上一页下一页退出第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 21虽然CML与SML都通过市场组合和点（0，），但CML与SML所使用的是不同的坐标变量，CML描述的是有效组合自身的预期收益率与风险的均衡关
14、系，而SML描述的是单一证券或证券组合与证券市场的相互关系，且它位于CML之下。fr返回目录上一页下一页退出第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 贝塔系数具有一个重要的性质：投资组合的贝塔系数是该组合中各证券的贝塔系数的加权平均数，权数即为各证券在组合中的比例。用公式表示为kiiMipMw122返回目录上一页下一页退出第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 将投资组合也视为一种单一证券，不妨将这种证券称为组合证券，该证券的期望收益率记为Pr，标准差记为p，值记为PM。只需用组合证券 P 的相应
15、量代替（7.2.14）式中证券 i 的值，则（7.2.16）式就是很自然的，且由2/MiMiM，有2/MPMPM，MPPMPM （7.2.17）其中：PM为组合证券与市场的相关系数，11PM 23返回目录上一页下一页退出第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 MPPMPM/（7.2.18）将（7.2.18）式代入（7.2.16）式得 MPPMfMfPrrrr/)(（7.2.19）因为fMrr（若不然的话，就不会有人购买风险资产，从而致使证券市场价格下跌，Mr上升，直到fMrr），且1，所以MPfMfPrrrr/（7.2.20）24返回目录上一页
16、下一页退出第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型（7.2.20）式说明，（7.2.19）式的 SML 位于 CMLMPfMfPrrrr/之下，并且只有当1PM时，（7.2.19）式的证券市场线才与 CML 完全一致。由 CML 的定义知，此时的组合 P 为有效组合。25 因素模型 又称指数模型（Index Models），是建立在证券回报率对各种因素或指数变动的敏感度这一假设基础上的 单因素模型（One-Factor Models）模型形式 ittiiitFbar t时期证券i的回报率，t时期因素的预期值 证券i对该因素的敏感性，与因素F无关的
17、因素的影响，在任何时期均相同 随机误差项，是没有被因素解释的部分 itrtFibiait退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 26退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 itrtir0itiatiF0 tF图 7.3-1 单因素模型图示27 单因素模型（One-Factor Models）模型参数的估计 222)(tttittittiFFnrFFrFa 22)(tttitittiFFnrFrFnb模型具有如下性质 证券i的预期回报率为 Fbari
18、ii方差 2222iFiib协方差 2Fjiijbb退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 28么么么么方面w Sds绝对是假的 单因素模型（One-Factor Models）市场模型 iIIiIiIirr某一给定时期证券i的回报率；相同时期市场指数I的回报率，在单因素模型中表现为因素值；截距项；斜率项，在单因素模型中表现为因素的敏感性；随机误差项。irIriIiIiI退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 30 多因素模型（Multiple-F
19、actor Models）双因素模型（Two-Factor Models）ittiitiiitFbFbar221退出返回目录上一页下一页2211FbFbraiii22122212122211)(iiiiiiiiiiiifffffffffb22122212112122)(iiiiiiiiiiiifffffffffb第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 31双因素模型（Two-Factor Models）证券i的预期回报率为 2211FbFbariiii证券i的方差为22121222221212),cov(2iiiFiFiiFFbbbb任意两种证
20、券i和j之间的协方差为),cov(21122122222111FFbbbbbbbbjijiFjiFjiij退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 32多因素模型itktiktiitiiitFbFbFbar221kjjijiiFbar12112,covikjklljilijiFFbbklklmmmljlimjmilklFljlilijFFbbbbbb1112,cov预期回报率 方差 协方差 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 33 因素模型与均衡
21、单因素模型与CAPM均衡模型参数之间有如下换算关系 将单因素模型中的因素F看作市场组合的回报率 MrMiiirbar满足均衡定价的条件是 fiMira)1(iMib退出返回目录下一页上一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 342222iFiibv单因素模型下总风险的分解 证券i非因素风险组合P非因素风险证券i的总风险 组合的总风险 2222pFppb组合P因素风险证券i因素风险退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 35v市场模型下总风险的分解 证券i的方差（总风险
22、）2222iIIiIi证券i的市场风险及系统性风险 证券i的非系统性风险 组合的总风险 2222pIpIp组合的市场风险，即系统性风险 组合的个别风险，即非系统性风险 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 36p Ip 个别风险 总风险 市场风险 N 随着组合的分散化，将导致个别风险的减少和市场风险的平均化，进而使得总风险逐渐降低并趋于市场风险水平 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 37v由斯蒂芬罗斯（Stephen Ross）于1976年
23、提出套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）vAPT模型假设投资者具有相同的预期 投资者是回避风险的，且以效用最大化为目标 市场是完全的，不考虑交易成本因素的影响 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 38假设证券 i 在时期 t 的回报率itr由如下单因素模型决定 itr=ia+tiFb+it （7.3.1）为了更易于理解，先考虑一个具体的实例。设想一个投资者拥有三种证券，其投资于每种证券的 当前市值均为 50000 元，此时该投资者可投资的财富为 150000 元。这三种证券的预期回
24、报率和敏感性如表 7.5-1 所示。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 例 子39表7.5-1 预期回报率与敏感性值 证券 i ir（%）ib 1 10 0.6 2 14 2.0 3 8 1.2 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 40v套利的原则 套利是利用同一种证券或证券组合的不同价格赚取无风险利润的行为,套利的结果最终使市场达到均衡状态 因素模型的均衡条件表明，具有相同因素敏感性的证券或组合应具有相同的预期回报率，否则，投资者将利用证
25、券或组合间预期回报率之间的差距进行套利 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 41v套利组合（Arbitrage Portfolios）它是一个不需要投资者任何额外资金的组合，也即，投资者是通过所持有组合中证券持有量的调整来构造套利组合 一个套利组合对任何因素都没有敏感性，也就是说，因素的任何变动都不会使组合的收益率发生变化 一个套利组合是能为投资者带来正的预期回报率，且不需要任何额外资金（不承受额外风险）的投资组合 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型
26、与因素模型 42v APT资产定价线 ir APT 资产定价线 Ar A Or O Br B 0 Ab=Ob=Bb ib iibr10当套利机会消失时，具有相同因素敏感性的证券应具有相同的预期回报率，这意味着，证券的无套利价格取决于相同因素的敏感性，当预期回报率与敏感性呈线性关系时 退出返回目录下一页上一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 43v APT定价方程参数的确定iffibrrr1是投资者承担因素风险的超额回报率，又称为因素风险溢价（factor risk premium）或因素预期回报率溢酬（factor-expected re
27、turn premium）fr1退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 44退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 双因素套利定价模型 假设证券i在时期t的回报率具有如下形式 itr=ia+tiFb11+tiFb22+it 其中，1F和2F是影响证券回报率的两个因素，1 ib和2ib分别是这两个因素的敏感性。45退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 双因素模型的套利组合，应
28、满足以下两个条件：该组合不需要投资者任何额外资金，即投资者通过调整原组合中证券的资金匹配量来构造套利组合，或在有做空机制的条件下来构筑套利组合。套利组合对任何因素都没有敏感性，组合中各证券对因素的敏感性的加权平均值为零。46如一个投资者拥有四种证券，他投资于每种证券的 当前市值均为 50000 元，此时该投资者的可投资财 富为 200000 元。且这四种证券的预期回报率和敏感性 如表 7.6-1 所示。例 子退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 477.6-1 预期回报率与敏感性值 证券 i ir（%）1 ib 2ib
29、 1 10 0.6 1.5 2 14 2.0 1.2 3 8 1.2 0.8 4 6 1.5 2.0 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 48根据套利组合的条件可得 04321wwww 05.12.10.26.04321wwww 00.28.02.15.14321wwww 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 49解上述方程组，并令1w=0.1，则可求出，2w=0.1107，3w=-0.1155，4w=-0.0952。这就是说，若投资者按)4
30、,3,2,1(iwi的值 调整证券 i 的持有比例，则新的投资组合可使 预期回报率提高 1.05%=（0.1*10%）+（0.1107*14%）+（-0.1155*8%）+（-0.0952*6%）退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 50这个套利组合是由卖出证券 3 和证券 4，同时买入证券 1 和证券 2 实现的。投资者的买卖行为使得证券 1 和证券 2 的价格逐渐上升，它们的预期回报 率逐渐下降，证券 3 和证券 4 的价格逐渐下降，其预期回报率逐渐上升。证券 i)4,3,2,1(i价格变化的结果，最终使套利组合的
31、预期回报率为零，在这种情况下证券市场便达到了均衡状态。退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 51 双因素套利定价模型 v APT资产定价方程 22110iiibbrv APT定价方程参数的确定2211ififfibrbrrr第一个因素的风险溢价第二个因素的风险溢价退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 52 多因素套利定价模型 ikkiiibbbr22110ikfkififfibrbrbrrr2211证券i的预期回报率等于无风险利率加上证券对k个
32、因素敏感性的风险溢价退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 53v单因素APT模型与CAPM 市场组合为因素的APT模型 iffibrrr11就是市场组合的预期回报率（）Mr当 时，APT模型即为CAPM模型iMib退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 54v单因素APT模型与CAPM模型 其它单因素模型 贝塔系数与因素敏感性的关系 iMMiMbrFCov2),(，存在着稳定的线性相关关系，如果 0，则 与 正相关；如果 0（F与 正相关）时，有
33、 0，因此 ，越大，证券的预期回报率越高。说明证券的预期回报率与因素敏感性呈正向变动关系 ),(MrFCovMr1ib当 0（F与 负相关）时，有 0，因此 ，越大，证券的预期回报率越低。说明证券的预期回报率与因素敏感性呈反向变动关系 ),(MrFCovMr1ib退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 56v双因素APT模型与CAPM模型 222121),(),(iMMiMMiMbrFCovbrFCov 分别是第一、二个因素与市场组合回报率之间的协方差),(1MrFCov),(2MrFCov若双因素APT模型与CAPM均成立，则有 是 、的线性组合 iM1 ib2ib退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 57v多因素APT模型与CAPM模型 ijkjMMjiMbrF12,cov2,covMMjfMjrFrrCAPM是APT单因素时的特例,它们之间最主要的差别在于CAPM强调市场的有效性，而APT则强调了无套利均衡，两者建立的思想基础是不同的 退出返回目录上一页下一页第七章第七章 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPMCAPM）与因素模型与因素模型 58
