1、1.4生活中的优化问题举例问题背景：问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？例例1 1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p0.8pr r2 2分，其中分，其中r r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不是瓶子的半
2、径，单位是厘米，已知在不考虑瓶子的成本的前提下，每出售考虑瓶子的成本的前提下，每出售1 1mlml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.20.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm6cm，则每瓶饮料，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？的利润何时最大，何时最小呢？2()=0.8-20=2()，f rrrr 令令得得-+减函数减函数 增函数增函数 解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:)(343mlr 每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：238.0342.0)(rrrfy 32=0.8(-)3rr)60(r)(343mlr 极小值极小值例例1、某制造
3、商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8 r2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不考虑瓶子的成本的前提下，每出售考虑瓶子的成本的前提下，每出售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则238.0342.0)(rrr fy 32=0.8(-)3rr)60(r-
4、+减函数减函数 增函数增函数 f(r)在在(0，6上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，当由上表可知，当r=2时，利润最小时，利润最小极小值极小值解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则238.0342.0)(rrr fy 32=0.8(-)3rr)60(r当当r(0，2)时，时，()(0)0f rf答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小时，每瓶饮料的利润最小.28.8 故故f(6)是最大值是最大值-+减函数减函数 增函数增函数 极小值极小值而当而当r(2，6时，时，()(6
5、)_f rf例例2、海报版面尺寸的设计：、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右两边各，左、右两边各空空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm解：设版心的高为解：设版心的高为xdm，则版心的，则版心的宽宽 dm，此时四周空白面积为，此时四周空白面积为128x128()(4)(
6、2)128S xxx51228(0)xxx2512()2Sxx()016-16Sxxx令令可可解解得得（舍舍去去）-+减函数减函数 增函数增函数 极小值极小值列表讨论如下：列表讨论如下：S(x)在在(0，+)上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，当由上表可知，当x=16，即当版心高为，即当版心高为16dm，宽为宽为8dm时，时，S(x)最小最小答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周的时，海报四周的 空白面积最小。空白面积最小。2512512()28()2S xxSxxx，1优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题新
7、新 知知 视视 界界尝尝 试试 应应 用用答案：答案：A答案：答案：A 3某商品一件的成本为某商品一件的成本为30元，在某段时间元，在某段时间内，若以每件内，若以每件x元出售，可卖出元出售，可卖出(200 x)件，件，当每件商品的定价为当每件商品的定价为_元时，利润元时，利润最大最大 解析：解析：利润为利润为S(x)(x30)(200 x)x2230 x6000，S(x)2x230，由，由S(x)0，得，得x115，这时利润达到最大这时利润达到最大 答案：答案：115 4某公司租地建仓库，每月土地占用费某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存与仓库到车站的距离成
8、反比，而每月库存货物的运费货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果与到车站的距离成正比，如果在距离车站在距离车站10千米处建仓库，这两项费用千米处建仓库，这两项费用y1和和y2分别为分别为2万元和万元和8万元，那么，要使这两万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处千米处答案：答案：5 5在边长为在边长为60 cm的正方形铁片的四的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形，再把它角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大
9、？最大容积是多少？的容积最大？最大容积是多少？当0 x0，当40 x60时，V(x)0，由此可知x40是极大值点，且在(0,60)内，40是唯一的极值点，所以x40是V(x)的最大值点由于V(40)16000 cm3.因此16000是最大值 答案：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16000 cm3.练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量耗油量y（升）关于行驶速度（升）关于行驶速度x（千米（千米/小时）的函数解析式小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。
10、千米。（I）当汽车以）当汽车以40千米千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为乙地要耗油为 升升;（II）若速度为若速度为x千米千米/小时，则汽车从甲地到乙地需小时，则汽车从甲地到乙地需行驶行驶 小时，记耗油量为小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为升，其解析式为:.(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？最少？最少为多少升？313()8(0120).12800080f xxxx17.5 1 0 0 x32131 0 0 18 0 01 5()(8).(0 1 2 0),1
11、2 8 0 0 0 8 01 2 8 04hxxxxxxx 32131 0 0 18 0 01 5()(8).(0 1 2 0),1 2 8 0 0 0 8 01 2 8 04hxx xxxxx 练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量耗油量y（升）关于行驶速度（升）关于行驶速度x（千米（千米/小时）的函数解析式小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多
12、少升？最少？最少为多少升？3138(0120).12800080yxxx解：设当汽车以解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为的耗油量为h(x)L，则，则313100()(8).12800080h xxxx2180015(0120)12804xxx332280080()(0120)640640 xxh xxxx练习练习2：已知某厂每天生产：已知某厂每天生产x件产品的总成本为件产品的总成本为225000200()40 xcx元 若受到产能影响，该厂每天至多只能生产若受到产能影响，该厂每天至多只能生产800件产品，件产品，则要使平均成本最低，每天应生
13、产多少件产品呢？则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，每天生产元，每天生产x件产品，则件产品，则25000200(0800)40cxyxxx225000140yx 001000yx由，可求得练习练习2：已知某厂每天生产：已知某厂每天生产x件产品的总成本为件产品的总成本为225000200()40 xcx元变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？函数在函数在(0，1000)上是减函数上是减函数800 xy当时，取最小值答：每天生产答：每天生产800件产品时，平均成本最低件产品时，平均成本最低解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案小结：小结：在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题常称为优化问题.
