1、2.3.1变量间的相关关系变量间的相关关系（1 1）函数关系：）函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定 正方形面积正方形面积S S与其边长与其边长x x之间的函数关系之间的函数关系S=xS=x2 2 ，一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系.1.1.两变量之间的关系两变量之间的关系（2 2）相关关系：）相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性定的随机性对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值与之对应
2、面积的值与之对应.确定关系确定关系水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有随机性随机性不确定关系不确定关系一：变量之间的相关关系一：变量之间的相关关系2、相关关系的概念、相关关系的概念 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫相关关系的两个变量之间的关系叫相关关系.（1）相关关系与函数关系的异同点：）相关关系与函数关系的异同点：相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系 不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系；的关系；而相关关系是一种而相关
3、关系是一种非确定非确定关系；关系；即，函数关系是一种即，函数关系是一种因果关系因果关系，而相关关系不一定是，而相关关系不一定是因果关系，也可能是因果关系，也可能是随机关系随机关系.（2）函数关系与相关关系之间有着密切联系：）函数关系与相关关系之间有着密切联系：在一定的条件下可以相互转化在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系而对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计：种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计：3 3、判断相关关系的基本程序、判断相关关系的基本程序
4、两个变量两个变量 一个变量值一定一个变量值一定另一个变量带有不另一个变量带有不确定性确定性相关关系相关关系4 4、相关关系的类型、相关关系的类型相关关系可分为相关关系可分为线性相关，非线性相关线性相关，非线性相关两类两类.注意：注意：两个变量之间的关系具有确定性关系两个变量之间的关系具有确定性关系函数关系函数关系.两个变量变量之间的关系具有随机性，不确定性两个变量变量之间的关系具有随机性，不确定性相关相关关系关系.二：散点图二：散点图1 1、散点图：、散点图：将样本中将样本中n n个数据点（个数据点（x xi i，y yi i)（i i1 1，2，n n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关
5、系的两个）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图变量的一组数据的图形叫做散点图.2 2、正相关、负相关、正相关、负相关正相关：正相关：如果散点图的点散布在从左下角到右上角的区域，如果散点图的点散布在从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称为小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称为正相关正相关负相关：负相关：如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一
6、个变量的值角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们也近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们称为称为负相关负相关.注意：注意：1 1、散点图的特点形象地体现了各数据的密切程度，、散点图的特点形象地体现了各数据的密切程度，因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有线性关系线性关系.2 2、从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某、从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势种关系，这些点会有一个集中的大致趋势.3 3、在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的
7、关、在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们将变量所对应的点描系有一个大致的了解，人们将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个散点图出来，这些点就组成了变量之间的一个散点图.例如：在例如：在7 7块并排、形状大小相同的试验田上块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：表所示的一组数据（单位：kgkg）：）：y水稻产量水稻产量x(施化肥量施化肥量)10 20 30 40 50300350400450500三、回归分析三、回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析
8、对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析的方法叫回归分析 （1 1）回归分析本质：）回归分析本质：寻找相关关系中非确定寻找相关关系中非确定性关系的性关系的某种确定性某种确定性.（2）回归分析的意义：）回归分析的意义：相关关系到处存在，从某相关关系到处存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系则是一种非常普遍关系而相关关系则是一种非常普遍关系.研究和学习相研究和学习相关关系，不仅可以使我们能够处理更为广泛的数关关系，不仅可以使我们能够处理更为广泛的数学问题，还可以使我们对函数关系的认识再上升学问题，还可以使我们对函数关系的
9、认识再上升到一个新的高度到一个新的高度.四：回归直线方程四：回归直线方程1 1、回归直线、回归直线（1 1）回归直线的）回归直线的定义定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做叫做回归直线回归直线（2）回归直线的）回归直线的特征特征：如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性.
10、就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.2 2、回归直线方程、回归直线方程定义：定义：一般地，设一般地，设x与与y是具有相关关系的两个变量，是具有相关关系的两个变量，且相应于且相应于n组观测值的组观测值的n个点（个点（xi,yi）（）（i1，2，n）大致分布在一条直线附近，求在整体上与这大致分布在一条直线附近，求在整体上与这n个点最接个点最接近的一条直线近的一条直线.设此直线方程为设此直线方程为y=bx+a.(*)这里在这里在y的上方加记号的上方加记
11、号“”，是为了区分实际值，是为了区分实际值y，表示当，表示当x取取值值xi（i1，2，n）时，）时，y相应的观察值为相应的观察值为yi，而直线而直线上对应于上对应于xi的纵坐标是的纵坐标是yi=bxi+a.(*)式叫做式叫做y对对x的回的回归直线方程，归直线方程，a、b叫做回归系数叫做回归系数.注意：注意：求回归直线方程的求回归直线方程的关键关键是如何用数学的方法来刻画是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知即最贴近已知的数据点，最能代表变量的数据点，最能代表变量x x与与y y之间的关系之间的关系.例如：在例如：在7块并排、形
12、状大小相同的试验田上进块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：所示的一组数据（单位：kg）：）：y水稻产量水稻产量x(施化肥量施化肥量)10 20 30 40 503003504004505003、最小二乘法、最小二乘法假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数据（据（x1，y1），（），（x2,y2），），（xn,yn）.这样的方法叫做最小二乘法这样的方法叫做最小二乘法.符号符号21)(niiiabxyQ问题归结为问题归结为:a,b:a,b取什么
13、值时取什么值时Q Q最小最小,即总体和最小即总体和最小.下面是下面是计算回归方程的斜率和截距的一般公式计算回归方程的斜率和截距的一般公式.根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程.4 4、最小二乘法的步骤、最小二乘法的步骤：（1 1）收集样本数据，（）收集样本数据，（x xi i，y yi i).).（2 2）作散点图，确定）作散点图，确定x x、y y具有线性相关关系具有线性相关关系.iii(3)ybxaxxi1 2nybxai1 2n设回归直线方程 ，令 （，）得到 （，）iii4yyybxai12n（）求偏差：-（）（，）21(5).ab(),ab.n
14、iiiQyy求偏差平方和（，）这是一个关于待定系数、的二次多项式6abab（）求、，使Q（，）为最小值.例题例题:根据下表根据下表,求回归方程求回归方程.分析：分析：求线性回归直线方程的步骤：求线性回归直线方程的步骤：iiiixyx y第一步：列表，；nnn22iiiii1i1i1xyxyx y第二步：计算，；ba第三步：代入公式计算、的值；.第四步：写出直线方程1 1、列表、列表2 2、代入公式计算、代入公式计算3 3、写出回归直线方程、写出回归直线方程解：求回归方程的一般方法：求回归方程的一般方法：1、列表、列表2、计算、计算,x,y,12 niixiniiyx 13、求、求 a,b4、代入回归直线方程、代入回归直线方程
