1、2022-9-27 上一节讨论了开环根轨迹增益 变化时系统的闭环根轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。gk 需要绘制除 以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参量根轨迹。gk)(psskg-)(sR)(sC解：闭环传递函数为：44)(22psskpssksgg绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时的参量根轨迹（设 ）。4gk2022-9-27特征方程为：140422ssppss相同。）与前述根轨迹方程形式（，1)()(11njjmiipszsp42ssp 相当于开环传递函数，称为等效开环传递
2、函数。参数p称为等效根轨迹增益。画出 时的根轨迹如下：pq 负实轴上为根轨迹区间；q 根轨迹有两支，起点为 ，终点一为0零点，另一为无穷远零点。q 分离点和会合点：2j0)()()()(sDsNsDsN根据0p0ppp2j2j2022-9-27ssDssDsNssN2)(,4)(;1)(,)(22解得：s，02)4(12sss显然会合点为-2，会合角为：，无分离点。2dq 出射角：)2()22(1极点j)2()22(2极点j（0p0ppp2j2j2022-9-27【例2】：设单位反馈系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsGa其中开环增益可自行选定。试分析时间常数 对系统性能的影响。a
3、T解：闭环特征方程KssssTsGKssssTssTKssKsTssaaaa)1()1()(0)1()1(10)1()1(0)1)(1(2122要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点2022-9-270)1(1ssKKp41212,1等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在 s 平面上，再令绘制出 变化时的参数根轨迹。aaTT0aT2022-9-270j25.0K1210jK25.0q 负实轴上（-，1）为根轨迹区间；q 根轨迹有三支
4、，一起点为无穷远极点，另两个为有限极点，终点为有限零点（三个）。q K=0.25时，存在分离点。分离角2d2022-9-27绘制参量根轨迹的步骤：列出系统的闭环特征方程；以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。2022-9-27当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称谓根轨迹族。【例3】系统如下。试绘制Kg和p分别从零变化到无穷大时的根轨迹。)(psskg-)(sR)(sC解：有两种方法：q 取Kg为不同值时，绘制参量p从零变化到无穷大时的参量根轨迹。这时，根轨迹方程为：12gKs
5、sp Kg不同时的根轨迹如下页所示：2022-9-271gk4gk9gk16gk2022-9-27q 取p为不同值时，绘制参量Kg从零变化到无穷大时的180度（常规）根轨迹。这时，根轨迹方程为：1)(1 pssKg Kg不同时的根轨迹如右所示：0p2p4p6p2022-9-27 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为 ，具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹ko20)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH零度根轨迹零度根轨迹2022-9-27零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内
6、回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)()(sHsG等效为相角方程（幅角条件）和幅值方程（幅值条件）m1in1jji)0k2()ps()zs(2022-9-27与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则规则5：渐近线的夹角),2,1,0(1802kmnkoamnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点gm1
7、iijn1jK)zs()ps(2022-9-27规则规则6 6：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则规则8 8：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）：ipmjnijjpppzpijiji11izmijjnjzpzzzijiji112022-9-27【例4】设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为1)(,)22)(3()2()(2*sHssssKsG试绘制该回路的根轨迹图。【解】（1）系统的开环零极点分布为3,1,1,23211pjpjpz 有三条根轨迹分
8、支，实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH2022-9-27oooooptgarctgarc6.71)906.26(45)9021(1110j23jjoooak180,0131802（3）确定出射角（4）确定分离点8.00)24.67.4)(8.0(111131212ddddjdjdddop6.7122022-9-27（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKc13/3,3/232*cKKKK10j23jj什么是根轨迹增益
9、，什么是开环增益？2022-9-27【例5】设飞机的纵向运动时的开环传递函数为)1()2()()()(222*nnsssBAssKsHsG试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。23,22222*222*102/)4(,2/)4()2()()2()()()(1nnnnnnjppBAAbBAAasssbsasKsssBAssKsHsG【解】由开环传递函数，有：2022-9-27因为开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。令)2()()()(22*11nnsssbsasKsHsG0j2022-9-27 什么是参量根轨迹 参量根轨迹的绘制步骤 根轨迹族 什么是零度根轨迹 零度根轨迹的绘制2022-9-27
