1、分类加法计数原理与分类加法计数原理与分步乘法计数原理分步乘法计数原理【题型示范】【题型示范】类型一类型一 选选(抽抽)取与分配问题取与分配问题【典例【典例1 1】(1)(1)两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的各人输赢局次的不同视为不同情形不同视为不同情形)共有共有()()A.10A.10种种 B.15 B.15种种 C.20 C.20种种 D.30 D.30种种(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考)从从1,3,5,7,91,3
2、,5,7,9这五个数中，每次取出两这五个数中，每次取出两个不同的数分别为个不同的数分别为a,ba,b，共可得到，共可得到lg alg alg blg b的不同值的个数的不同值的个数是是()()A.9 B.10 C.18 D.20A.9 B.10 C.18 D.20(3)(3)甲、乙、丙甲、乙、丙3 3个班各有三好学生个班各有三好学生3,5,23,5,2名，现准备推选名，现准备推选2 2名名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有_种不同的推选方法种不同的推选方法.【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)的五局三胜中，两人可以进
3、行几局比赛？的五局三胜中，两人可以进行几局比赛？2.2.题题(2)(2)中每次从中每次从1 1，3 3，5 5，7 7，9 9中任取两个不同的数，则共有中任取两个不同的数，则共有多少种不同的取法？多少种不同的取法？3.3.题题(3)(3)中推选的中推选的2 2名三好学生的班级有几种情况？名三好学生的班级有几种情况？【探究提示】【探究提示】1.1.五局三胜中，两人可以进行五局三胜中，两人可以进行3 3局，局，4 4局，局，5 5局比局比赛赛.2.2.分两步选取共有分两步选取共有5 54=204=20种不同的选取方法种不同的选取方法.3.3.有有3 3种情况，分别是甲、乙班各种情况，分别是甲、乙班
4、各1 1名，甲、丙班各名，甲、丙班各1 1名，乙、名，乙、丙班各丙班各1 1名名.【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选C.C.由题意知，比赛局数最少为由题意知，比赛局数最少为3 3局，至多为局，至多为5 5局局.当比赛局数为当比赛局数为3 3局时，情形为甲或乙连赢局时，情形为甲或乙连赢3 3局，共局，共2 2种；当种；当比赛局数为比赛局数为4 4局时，若甲赢，则前局时，若甲赢，则前3 3局中甲赢局中甲赢2 2局，最后一局甲局，最后一局甲赢，共有赢，共有3(3(种种)情形；同理，若乙赢，则也有情形；同理，若乙赢，则也有3 3种情形，所以共种情形，所以共有有6 6种情形；当比赛局数为种情形；当
5、比赛局数为5 5局时，前局时，前4 4局，甲、乙双方各赢局，甲、乙双方各赢2 2局，局，最后一局胜出的人赢，若甲前最后一局胜出的人赢，若甲前4 4局赢局赢2 2局，共有赢取第局，共有赢取第1 1、2 2局，局，1 1、3 3局，局，1 1、4 4局，局，2 2、3 3局，局，2 2、4 4局，局，3 3、4 4局六种情形，所以比局六种情形，所以比赛局数为赛局数为5 5局时共有局时共有2 26=12(6=12(种种)，综上可知，共有，综上可知，共有2+6+12=20(2+6+12=20(种种).).故选故选C.C.(2)(2)选选C.C.由于由于lg alg alg b=lg ,lg b=lg
6、,从从1,3,5,7,91,3,5,7,9中取出两个不同的中取出两个不同的数分别赋值给数分别赋值给a a和和b b共有共有5 54=204=20种种,而得到相同值的是而得到相同值的是1,31,3与与3,93,9以及以及3,13,1与与9,39,3两组两组,所以可得到所以可得到lg a-lg blg a-lg b的不同值的个数是的不同值的个数是18,18,故选故选C.C.(3)(3)分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有乘法计数原理有3 35 51515种选法；种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理
7、有第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3 32 26 6种选法；种选法；ab第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5 52 21010种选法种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15+6+1015+6+103131种种不同选法不同选法.答案：答案：3131【方法技巧】【方法技巧】选选(抽抽)取与分配问题的常见类型及其解法取与分配问题的常见类型及其解法(1)(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、
8、框图法或者图表法图法或者图表法.(2)(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可有不符合条件的抽取方法数即可.【变式训练】【变式训练】(2013(2013成都高二检测成都高二检测)设集合设集合I=1I
9、=1，2 2，3 3，4 4，55，选择，选择I I的两个非空子集的两个非空子集A A和和B B，要使，要使B B中最小的数大于中最小的数大于A A中最中最大的数，则不同的选择方法共有大的数，则不同的选择方法共有()()A.50A.50种种 B.49 B.49种种 C.48 C.48种种 D.47 D.47种种【解题指南】【解题指南】以以A A中最大的数为标准，进行分类讨论，中最大的数为标准，进行分类讨论，A A中最大中最大的数可能为的数可能为1 1，2 2，3 3，4 4，共四种情况，共四种情况.【解析】【解析】选选B.B.按分类加法计数原理做如下讨论：按分类加法计数原理做如下讨论：当当A
10、A中最大的数为中最大的数为1 1时，时，B B可以是可以是22，3 3，4 4，55的非空子集，的非空子集，即有即有2 24 4-1=15(-1=15(种种)方法方法.当当A A中最大的数为中最大的数为2 2时，时，A A可以是可以是22或或11，22，B B可以是可以是33，4 4，55的非空子集，即有的非空子集，即有2 2(2(23 3-1)=14(-1)=14(种种)方法方法.当当A A中最大的数为中最大的数为3 3时，时，A A可以是可以是33，11，33，22，33，11，2 2，33，B B可以是可以是44，55的非空子集，即有的非空子集，即有4 4(2(22 2-1)=12(-1
11、)=12(种种)方方法法.当当A A中最大的数为中最大的数为4 4时，时，A A可以是可以是44，11，44，22，44，33，44，11，2 2，44，11，3 3，44，22，3 3，44，11，2 2，3 3，44，B B可可以是以是55，即有，即有8 81=8(1=8(种种)方法方法.故共有故共有15+14+12+8=49(15+14+12+8=49(种种)方法方法.【补偿训练】【补偿训练】图书馆有图书馆有8 8本不同的有关励志教育的书，任选本不同的有关励志教育的书，任选3 3本本分给分给3 3个同学，每人个同学，每人1 1本，有本，有_种不同的分法种不同的分法.【解析】【解析】分三步
12、进行：第一步，先分给第一个同学，从分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8 8本书本书中选一本，共有中选一本，共有8 8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的下的7 7本中任选本中任选1 1本，共有本，共有7 7种方法；第三步，分给第三个同学，种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的从剩下的6 6本中任选本中任选1 1本，共有本，共有6 6种方法种方法.所以不同分法有所以不同分法有8 87 76 6336336种种.答案：答案：336336类型二类型二 组数问题组数问题【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013青岛高二检测青岛高二检测)如果
13、一个三位正整数形如如果一个三位正整数形如“a“a1 1a a2 2a a3 3”满足满足a a1 1aa2 2且且a a3 3aa2 2，则称这样的三位数为凸数，则称这样的三位数为凸数(如如120120，363363，374374等等)，那么所有凸数的个数为，那么所有凸数的个数为()()A.240 B.204 C.729 A.240 B.204 C.729 D.920D.920(2)(2)用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4五个数字，五个数字，可以排出多少个三位数字的电话号码？可以排出多少个三位数字的电话号码？可以排成多少个三位数？可以排成多少个三位数？可以排成多少个能被可以排成多少个能
14、被2 2整除的无重复数字的三位数？整除的无重复数字的三位数？【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的凸数有什么特点？如何进行中的凸数有什么特点？如何进行“分类分类”或或“分步分步”计数？计数？2.2.题题(2)(2)中的三位数有什么特点？如何进行计数？中的三位数有什么特点？如何进行计数？【探究提示】【探究提示】1.1.题题(1)(1)中的凸数具有中间的一个数比两端两个中的凸数具有中间的一个数比两端两个数大的特点，可按中间数为数大的特点，可按中间数为2 2，3 3，4 4，9 9分分8 8类计数类计数.2.2.题题(2)(2)中的三位数首位可以为中的三位数首位可以为0 0，且每个位上
15、数字可以重复，且每个位上数字可以重复，需分步来计数需分步来计数.中的三位数首位不能为中的三位数首位不能为0 0，但可以有重复数字，但可以有重复数字，按首位优先安排进行分步计数按首位优先安排进行分步计数.中数为偶数，末位数字可取中数为偶数，末位数字可取0 0，2 2，4 4，可分末位为，可分末位为0 0与不为与不为0 0两类来计数两类来计数.【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选A.A.可按十位数字进行分类可按十位数字进行分类.a.a2 2最小为最小为2 2，最，最大为大为9 9，共分，共分8 8类类:a a2 2=2=2时，时，a a1 1=1=1，a a3 3=0,1=0,1，共有，共有2
16、 2个；个；a a2 2=3=3时，时，a a1 1可取可取1 1，2 2，a a3 3可取可取0 0，1 1，2 2，共有，共有2 23=6(3=6(个个)；a a2 2=4=4时，时，a a1 1可取可取1 1，2 2，3 3，a a3 3可取可取0,1,2,3,0,1,2,3,共有共有3 34=12(4=12(个个)；a a2 2=9=9时，共有时，共有8 89=729=72个数，故所有凸数的个数为个数，故所有凸数的个数为N=1N=12+22+23+33+34+44+45+55+56+66+67+77+78+88+89=240(9=240(个个).).(2)(2)三位数字的电话号码，首位
17、可以是三位数字的电话号码，首位可以是0 0，数字也可以重复，数字也可以重复，每个位置都有每个位置都有5 5种排法，共有种排法，共有5 55 55=55=53 3=125(=125(种种).).三位数的首位不能为三位数的首位不能为0 0，但可以有重复数字，首先考虑首位，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除的排法，除0 0外共有外共有4 4种方法，第二、三位可以排种方法，第二、三位可以排0 0，因此，共，因此，共有有4 45 55=100(5=100(种种).).被被2 2整除的数即偶数，末位数字可取整除的数即偶数，末位数字可取0 0，2 2，4 4，因此，可以分，因此，可以分两类，一类是末位
18、数字是两类，一类是末位数字是0 0，则有，则有4 43=12(3=12(种种)排法；一类是末排法；一类是末位数字不是位数字不是0 0，则末位有，则末位有2 2种排法，即种排法，即2 2或或4 4，再排首位，因，再排首位，因0 0不不能在首位，所以有能在首位，所以有3 3种排法，十位有种排法，十位有3 3种排法，因此有种排法，因此有2 23 33=18(3=18(种种)排法排法.因而有因而有12+18=30(12+18=30(种种)排法排法.即可以排成即可以排成3030个能被个能被2 2整除的无重复数字的三位数整除的无重复数字的三位数.【延伸探究】【延伸探究】由题由题(2)(2)中的五个数字可组
19、成多少个无重复数字中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？的四位奇数？【解析】【解析】完成完成“组成无重复数字的四位奇数组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从四步：第一步定个位，只能从1 1，3 3中任取一个，有中任取一个，有2 2种方法；种方法；第二步定首位，把第二步定首位，把1 1，2 2，3 3，4 4中除去用过的一个还有中除去用过的一个还有3 3个可任个可任取一个，有取一个，有3 3种方法；第三步，第四步把剩下的包括种方法；第三步，第四步把剩下的包括0 0在内的还在内的还有有3 3个数字先排百位有个数字先排百位有3 3种方法，再排十位有种
20、方法，再排十位有2 2种方法种方法.由分步乘由分步乘法计数原理共有法计数原理共有2 23 33 32=36(2=36(个个).).【方法技巧】【方法技巧】组数问题的常见类型及解决原则组数问题的常见类型及解决原则(1)(1)常见的组数问题常见的组数问题组成的数为组成的数为“奇数奇数”“”“偶数偶数”“”“被某数整除的数被某数整除的数”；在某一定范围内的数的问题；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等各位数字之间满足某种关系问题等.(2)(2)解决原则解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“
21、分类分类”还是还是“分步分步”的关键的关键.一般按特殊位置一般按特殊位置(末位或首位末位或首位)由谁占领分类，分类中由谁占领分类，分类中再按特殊位置再按特殊位置(或特殊元素或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解类较多，可采用间接法求解.要注意数字要注意数字“0”“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位最高位.【变式训练】【变式训练】(2013(2013山东高考山东高考)用用0 0，1 1，9 9十个数字，可十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为以组成有重复数字的三位数的个数为()()A.
22、243 B.252 A.243 B.252 C.261 C.261 D.279D.279【解题指南】【解题指南】本题可利用间接法来求解本题可利用间接法来求解.【解析】【解析】选选B.B.三位数个数为三位数个数为9 9101010=900.10=900.没有重复数字的没有重复数字的三位数有三位数有9 99 98=648,8=648,所以有重复数字的三位数的个数为所以有重复数字的三位数的个数为900900648=252.648=252.【补偿训练】【补偿训练】从从0 0，2 2中选一个数字，从中选一个数字，从1 1，3 3，5 5中选两个数字，中选两个数字，组成无重复数字的三位数组成无重复数字的三
23、位数.其中奇数的个数为其中奇数的个数为()()A.24 B.18 C.12 A.24 B.18 C.12 D.6D.6【解析】【解析】选选B.B.由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇成两种情况：奇偶奇；偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析可以从个位开始分析(3(3种情况种情况)，之后十位，之后十位(2(2种情况种情况)，最后百，最后百位位(2(2种情况种情况)，共，共1212种；如果是第二种情况偶奇奇：个位种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3(3种种情况情况)，十位，十位(2(2
24、种情况种情况)，百位，百位(不能是不能是0 0，一种情况，一种情况)，共，共6 6种种.因此总共有因此总共有12+6=1812+6=18种情况种情况.故选故选B.B.类型三类型三 染色与种植问题染色与种植问题【典例【典例3 3】(1)(1)用用5 5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻涂一种颜色，若要求相邻(有公共边有公共边)的区域不同色，那么共有的区域不同色，那么共有_种不同的涂色方法种不同的涂色方法.(2)(2)在一块并排在一块并排10 10 垄的田地中，选择垄的田地中，选择2 2垄分别种植垄分别种植A A，
25、B B两种作两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A A，B B两种作两种作物的间隔不小于物的间隔不小于6 6垄，则不同的选垄方法共垄，则不同的选垄方法共_种种.【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中涂色的顺序一般是什么？中涂色的顺序一般是什么？2.2.在题在题(2)(2)中中A A，B B两种作物的间隔不小于两种作物的间隔不小于6 6垄，有几种情形？垄，有几种情形？【探究提示】【探究提示】1.1.一般可按一般可按1,2,3,41,2,3,4的顺序进行的顺序进行.2.2.有有3 3种情形，即间隔种情形，即间隔6,7,86,7,
26、8垄三种垄三种.【自主解答】【自主解答】(1)(1)完成该件事可分步进行完成该件事可分步进行.涂区域涂区域1 1，有，有5 5种颜色种颜色可选可选.涂区域涂区域2 2，有，有4 4种颜色可选种颜色可选.涂区域涂区域3 3，可先分类：若区域，可先分类：若区域3 3的颜色与的颜色与2 2相同，则区域相同，则区域4 4有有4 4种颜色可选；若区域种颜色可选；若区域3 3的颜色与的颜色与2 2不同，则区域不同，则区域3 3有有3 3种颜色可选，此时区域种颜色可选，此时区域4 4有有3 3种颜色可选种颜色可选.所所以共有以共有5 54 4(1(14+34+33)=260(3)=260(种种)涂色方法涂色
27、方法.答案：答案：260260(2)(2)将并排的将并排的1010垄田地从左到右编号为垄田地从左到右编号为1 1到到1010号号.由于由于A A，B B两种两种作物的间隔不小于作物的间隔不小于6 6垄，依据题意知也不大于垄，依据题意知也不大于8 8垄，运用分类讨垄，运用分类讨论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论论的思想，根据两种作物的左右及间隔进行讨论.当当A A种在种在B B左边时左边时(括号内为田垄的序号括号内为田垄的序号)，间隔间隔6 6垄时，垄时，(1,8)(1,8)，(2,9)(2,9)，(3,10)(3,10)；间隔间隔7 7垄时，垄时，(1,9)(1,9)，(2,10)(2
28、,10)；间隔间隔8 8垄时，垄时，(1,10).(1,10).上述共有上述共有6 6种选垄方法，种选垄方法，当当B B种在种在A A左边时，同理也有左边时，同理也有6 6种选垄方法，种选垄方法，综上所述，总的选垄方法数为综上所述，总的选垄方法数为6+6=12(6+6=12(种种).).答案：答案：1212【方法技巧】【方法技巧】解决涂色解决涂色(种植种植)问题的一般思路问题的一般思路(1)(1)按涂色按涂色(种植种植)的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数.(2)(2)按颜色按颜色(种植品种种植品种)恰当选取情况分类，用分类加法计数原恰当选取情况分类，用
29、分类加法计数原理计数理计数.(3)(3)几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理几何体的涂色问题转化为平面的涂色问题处理.(4)(4)如果正面情况较多，可用间接法计算如果正面情况较多，可用间接法计算.【变式训练】【变式训练】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有一条棱上的两端异色，若只有5 5种颜色可用，则不同的染色方种颜色可用，则不同的染色方法共有法共有_种种.【解析】【解析】此题等价于如图所示的平面着色问题：此题等价于如图所示的平面着色问题：第一步：对第一步：对O O点着色，有点着色，有5 5种着色方法种着色方法.第二
30、步：对第二步：对A A点着色，有点着色，有4 4种着色方法种着色方法.第三步：对第三步：对B B点着色，有点着色，有2 2种情况：种情况：第一种情况，第一种情况，B B，D D同色，有同色，有3 3种方法，种方法，C C点有点有3 3种方法，共有种方法，共有3 33=93=9种方法；种方法；第二种情况，第二种情况，B B，D D不同色，有不同色，有3 32=62=6种方法，种方法，C C点有点有2 2种方法，种方法，共有共有6 62=122=12种方法种方法,则第三步共有则第三步共有9+12=219+12=21种方法种方法.综上所述，不同的染色方法共有综上所述，不同的染色方法共有5 54 42
31、1=42021=420种种.答案：答案：420420【补偿训练】【补偿训练】(2013(2013西安高二检测西安高二检测)湖湖北省北省(鄂鄂)分别与湖南分别与湖南(湘湘)、安徽、安徽(皖皖)、陕西陕西(陕陕)三省交界三省交界(示意图如图示意图如图)，且湘、，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有_种种.【解析】【解析】由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂陕西，由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂陕西，
32、有有5 5种结果，再涂湖北省，有种结果，再涂湖北省，有4 4种结果，然后涂安徽，有种结果，然后涂安徽，有4 4种结种结果，再涂湖南有果，再涂湖南有4 4种，即种，即5 54 44 44=320.4=320.答案：答案：320320【规范解答】【规范解答】综合应用两个计数原理解决涂色问题综合应用两个计数原理解决涂色问题【典例】【典例】(12(12分分)用用6 6种不同颜色的彩色种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔色粉笔.则该板报有多少种书写方案？则该板报有多少种书写方案？【审题】【审
33、题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题】【解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题】【点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：若不能准确把握已知信息，对处数学天地的涂色，：若不能准确把握已知信息，对处数学天地的涂色，易出现选取易出现选取3 3种颜色的情况而致误种颜色的情况而致误.失分点失分点2 2：若对两种计数原理不理解，在处不能用分步乘法：若对两种计数原理不理解，在处不能用分步乘法计数原理求出所有的不同方案，则考试时至少会扣掉计数原理求出所有的不同方案，则考试时至少会扣掉2 2分分.【悟题】【悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.加强加强“分类分类”“”“分步分步”的意识的
34、意识在求解比较复杂的计数问题时，要注意分析问题是需要进行在求解比较复杂的计数问题时，要注意分析问题是需要进行“分类分类”还是还是“分步分步”，如本例就是要对各个板块进行分步涂，如本例就是要对各个板块进行分步涂色色.2.2.掌握解决涂色问题的关注点和技巧掌握解决涂色问题的关注点和技巧特别要关注图形的特征特别要关注图形的特征.有多少块，用多少种颜色有多少块，用多少种颜色.如图形不是如图形不是很规则，往往需要从某一块出发进行分步涂色，如本例；如图很规则，往往需要从某一块出发进行分步涂色，如本例；如图形具有一定的对称性，则往往先对涂色方案进行分类，对每一形具有一定的对称性，则往往先对涂色方案进行分类，
35、对每一类再进行分步类再进行分步.【类题试解】【类题试解】如图，要给地图如图，要给地图A A，B,C,DB,C,D四个四个区域分别涂上红、黄、蓝区域分别涂上红、黄、蓝3 3种颜色中的某一种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有多少种？必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有多少种？【解析】【解析】根据题意，由于要用根据题意，由于要用3 3种颜色来给四块涂色，则可以种颜色来给四块涂色，则可以先给先给A A涂色有涂色有3 3种，再给种，再给B B涂色有涂色有2 2种，由于种，由于A,DA,D相同时，相同时，C,DC,D的涂的涂法都有法都有1 1种，根据分步乘法计数原理可知共有种，根据分步乘法计数原理可知共有3 32 21 11 16 6种种.
