1、22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 商品利润最大问题 学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）导入新课导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？利润问题中的数量关系一讲授新课讲授新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润
2、元.探究交流180006000数量关系（1）销售额=售价销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润销售量;（3）单件利润=售价-进价.例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？u涨价销售每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10 xy=(20+x)(300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+
3、6000.如何定价利润最大二6000自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250.10052(10)x 即定价65元时，最大利润是6250元.u降价销售每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(
4、300+18x)，即：y=-18x2+60 x+6000.例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时,6052(18)3x 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60 x+6000，25518
5、()606000 6050.33y 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10 xy=(10+x)(180-10 x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10
6、 x),即：y=-10 x2+80 x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10 x 0，因此自变量的取值范围是x 18.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+80 x+1800 =-10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.自变量x的取值范围如何确定？知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3
7、）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在4050元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40 x50时，Q=60(x30)=60 x1800 y=60 0，Q随x的增大而增大 当x最大=50时，Q最大=1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.（2）当售价在5070元时，每月销售量与售价的关系如图所示，
8、则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当解：当50 x70时，时，设设y与与x函数关系式为函数关系式为y=kx+b,线段过线段过(50，60)和和(70，20).50k+b=6070k+b=20y=2x+160（50 x70）解得：解得：k=2b=160y=2x+160（50 x70）Q=(x30)y =(x30)(2x+160)=2x2+220 x 4800 =2(x55)2+1250(50 x70)a=20，图象开口向下，图象开口向下，当当x=55时，时，Q最大最大=1250当售价在当售价在5070元时，售价元时，售价x是是55元时，获利最大，元时，获利
9、最大，最大利润是最大利润是1250元元.解：解：当当40 x50时，时，Q最大最大=12001218 当当50 x70时，时，Q最大最大=12501218 售价售价x应在应在5070元之间元之间.令：令：2(x55)2+1250=1218 解得：解得：x1=51，x2=59 当当x1=51时，时，y1=2x+160=251+160=58(件件)当当x2=59时，时，y2=2x+160=259+160=42(件件)若若4月份该商品销售后的总利润为月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品元，则该商品售价为售价为51元或元或59元，当月的销售量分别为元，当月的销售量分别为58件或件或42件件.
10、（3）若）若4月份该商品销售后的总利润为月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？品售价与当月的销售量各是多少？变式：变式：(1)若该商品售价在若该商品售价在4070元之间变化，根据例元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价与售价x的函数的函数关系式；并说明，当该商品售价关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？每月获利最大，最大利润是多少元？解：解：Q与与x的函数关系式为：的函数关系式为：60 x1800 （40 x50）2(x55)2+12
11、50（50 x70）Q=由由例例3可知：可知：若若40 x50，则当则当x=50时，时，Q最大最大=1200若若50 x70，则当则当x=55时，时，Q最大最大=125012001250售价售价x是是55元时，获利最大，最大利润是元时，获利最大，最大利润是1250元元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试元，试确定该商品的售价确定该商品的售价x的取值范围；的取值范围；解：当解：当40 x50时，时，Q最大最大=12001218，此情况不存在此情况不存在.60 x1800 （40 x50）2(x55)2+1250（50 x70）Q=当当50 x7
12、0时，时，Q最大最大=12501218，令令Q=1218，得，得 2(x55)2+1250=1218 解得：解得：x1=51，x2=59 由由Q=2(x55)2+1250的的 图象和性质可知图象和性质可知:当当51x59时，时，Q1218若该商品所获利润不低于若该商品所获利润不低于1218元，元，则售价则售价x的取值范围为的取值范围为51x59.xQ055121859511250（3）在（）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于的进货款不低于1620元，则售价元，则售价x为多少元时，利润最为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？大，最大利润
13、是多少元？解：由题意得：解：由题意得：51x5930(2 x+160)1620 解得：解得：51x53Q=2(x55)2+1250的顶点的顶点 不在不在51x53范围内，范围内，又又a=20，当当51x53时时，Q随随x的增大而增大的增大而增大当当x最大最大=53时，时，Q最大最大=1242此时售价此时售价x应定为应定为53元，元，利润最大，最大利润是利润最大，最大利润是1242元元.xQ055124253511.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.25当堂练习当堂练习2.进价为80
14、元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.y=2000-5(x-100)w=2000-5(x-100)(x-80)3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？w=12+2(x1)804(x1)=(10+2x)
15、(844x)=8x2+128x+840=8(x8)2+1352.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.xy516O74.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.课堂小结课堂小结最大利润问题建立函数关 系 式总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取 值 范 围涨价:要保证销售量0；降件：要保证单件利润0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
