1、第四章 级数1 复数项级数1.复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作aannlim此时也称复数列an收敛于a.定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是bbaannnnlim,lim.lim,lim|)()(|)()(|bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn-同理所以则ee证 如果 ,则对于任意给定的e0,就能找到一个正数N,当nN时,aannlim反之,如果.lim|)()(|2|,2|,l
2、im,limaaeaaeee-nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以从而有时当存在则任给2.级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式nnnaaaa211.,.lim,11发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数nnnnnnnsssaa称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和.如果部分和数列sn收敛,定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an,tn=b
3、1+b2+.+bn分别为 和 的部分和,由定理一,sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在,即级数 和 都收敛.1nna1nna1nnb1nna1nnb1nna1nnb定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题.0lim,0lim,0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数定理三成立且不等式也收敛则收敛如果1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221|,|,|nnnnnnnnnnnbabbaabaa而由于证11111111111|limlim,|.,|kkkknkknnk
4、knnkknkknnnnnnnnnnbabaaaaaaaa或因此而又因是收敛的则也都收敛和因而都收敛及可知级数.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果nnnnaa.,|,|1111111112222绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaa2 幂级数1.幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式)1.2.4()()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2
5、(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)称为级数 的和函数如果对于D内的某一点z0,极限)()(lim00zszsnn1)(nnzf这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为 ,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:)3.2.4()2.2.4()()()()(22
6、10022100-nnnnnnnnnnzczczcczcazcazcazccazc或0nnncz定理一(阿贝尔Abel定理).,|,|,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnnz0 xyO证nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|,1|,|,0lim,而则如果有使对所有的则存在则收敛因.|,1|000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可
7、导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc2.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy当a由小逐渐变大时,Ca必定
8、逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.例1 求幂级数nnnzzzz201)1(,1112-zzzzzzsnnn的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数,部分和为-nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111,1|.,1|,11,1|,11lim
9、,0lim,1|)1(,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当3.收敛半径的求法4.幂级数的运算和性质 像实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnn
10、nnnnn-更为重要的是代换(复合)运算.)()(,|,|)(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛定理四 设幂级数-00)(nnnzzc的收敛半径为 R,则 1)它的和函数-00)()(nnnzzczf是收敛圆|z-a|R 内的解析函数.2)f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到,即-11)()(nnnaznczf 3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即-010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCaznc
11、fRazCzazczzfzz或3 泰勒级数设函数f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式,有)1.3.4(,d)(21)(-Kzfizfzzz-01000000000)()(1,1,111)()(11nnnzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzzz所以的内部在点上取在圆周由于积分变量其中K取正方向,且有代入(4.3.1)得.d)()()(21)()(d)(21)(01010010-KNnnnNnnKnzzzfizzzfizfzzzzzz)3.3.4()()()(21)(
12、)2.3.4()()(!)()(001000)(-KNnnNNNnnndzzzfizRzRzznzfzfzzz其中由解析函数高阶导数公式(3.6.1),上式可写成在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达qrzzzzz-000z令q与积分变量z无关,且0q1.)4.3.4()(!)()()2.3.4(,0)(lim)3.3.4()()()(21)(000)(00-nnnNNKNnnNzznzfzfKzRdzzzfizR由内成立在如果能证明zzzK含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.01221d|)(|21d)()()(21|)(|0000
13、10-NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz因此,下面的公式在K内成立.称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则(4.3.4)在圆域|z-z0|d内成立.但这时对f(z)在z0的泰勒级数来说,它的收敛半径R至少等于d,因为凡满足|z-z0|d的z必能使(4.3.4)成立.即Rd.)4.3.4()(!)()(000)(-nnnzznzfzf定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短
14、距离,则当|z-z0|d时,.,2,1,0),(!1,)()(0)(00-nzfnczzczfnnnnn其中成立如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.这是因为f(z)在收敛圆内解析,故奇点a不可能在收敛圆内.又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在收敛圆周上.Oxyz0a任何解析函数民开成泰勒级数的结果就是就是泰勒级数因而是唯一的.这是因为,假设f(z)在z0用另外的方法展开为泰勒级数:f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+.+an(z-z0)n
15、+.,则f(z0)=a0.而f(z)=a1+2a2(z-z0)+.于是f(z0)=a1.同理可得),.(!10)(zfnann利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:),2,1,0()(!10)(nzfncnn)5.3.4(.!21e2nzzznz把f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法,例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于 (ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,.)故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为.同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:)7.3.4()!2()1(!4!21cos)6.3.4()!
16、12()1(!5!3sin2421253-nzzzznzzzzznnnn因为sin z与cos z在复平面上处处解析,所以这些等式也在复平面内处处成立.,!21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 -nnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)4(1253 -nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式)1(z)1(z)(z)(z,)1()1(111)3(02 -nnnnnzzzzz,)!2()1(!4!21cos)5(242-nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6(132 -nzzzzznn -011)1(nnnnz)1(z-32!3)2)(1(!2)1(1)1(
17、)7(zzzza aa aa aa aa aa aa a,!)1()1(-nznna aa aa a)1(z除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质(定理四),以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:.)!12()1(!5!3!)(!)(21)e(e21sin0125300-nnnnnnniziznzzzznizniziiz例 1 把函数2)1(1z展开成 z 的幂级数.解 由于函数2)1(1z有一奇点 z-1,而在|z|1 内处处解析,所以可在|z|1 内展开成 z 的幂级数.
18、因为)8.3.4.(1|,)1(1112-zzzzznn 将上式两边求导得.1|,)1(321)1(11122-znzzzznn 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|R1时,zR,(4.4.4)收敛即(4.4.3)收敛,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,级数(4.4.1)才收敛.)4.4.4(,)(221110-zzzccczzcnnnnnnz0R1R2例如级数.|.|.|,|,1)(01101处处发散时原级数当收敛圆环域时原级数在所以当时收敛则当而正幂项级数时收敛即当中
19、的负幂项级数为复常数与babzababzbzazzazazababzzannnnnnnnnnnnnn幂级数在收敛圆内的许多性质,级数(4.4.1)在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,级数(4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例.1|0)(,.11111)1(1)(,1|0.1|1|01|0,10)1(1)(2数的内是可以展开为级在由此可见的情形先研究内都是解析的及在圆环域但都不解析及在函数-zzfzzzzzzzzzfzzzzzzzzfn其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为级数:-1212)1(
20、)1()1(1)1()1()1()1(1 11)1(1111)1(1)(nnzzzzzzzzzzzzzf1Oxy定理 设f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析,则),2,1,0(.d)()(21)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz其中C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线.证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西积分公式得-00100022)()()(21)(21,.1,)(21)(21)(2212nnKnKKKzzdzfidzfizzzKzKdzfi
21、dzfizfzzzzzzzzzzzzzz可以推得和泰勒展开式一样内在上在对第一个积分,)()(1)()(1111.1,.d)(211010101000000122-nnnnnnKzzzzzzzzzzzzzzzKzKzfizzzzzzzzz因此的外部在点上在由于第二个积分10,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(2100001011010111-qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiKNnnnNNNnnKnK则令其中zzzzzzzzzz因此有,0)(lim,0lim.|)(|.1221d|)(|21|)(|111100001-zRqKzfMqqMrqrMszzzz
22、fzRNNNNNNnnKnnN所以因为上的最大值在是zzz)7.4.4(),2,1(,d)()(21)6.4.4(),2,1,0(,d)()(21)5.4.4(,)()()()(12101001000-nzficnzficzzczzczzczfKnnKnnnnnnnnnnnzzzzzz因此级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.5)与(4.4.7)表出.如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:)8.4.4(),2,1,0(,d)()(2110-nzficCnnzzzCz0R1R2(4.4.5)称为函数f(z)在以z0为中心的圆环
23、域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.)8.4.4(),2,1,0(,d)()(21)5.4.4(,)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.事实上,假定f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数:-nnnnnnzazfCCzzazf)()(,)()(00zz则上一点为条正向简单闭曲线为圆环域内任何并设以(z-z0)-p-1去乘上
24、式两边,这里p为任一整数,并沿C沿分,得),2,1,0(,d)()(212d)(d)()(101010-pzfiaiazazfCpppnCpnnCpzzzzzzzz从而这就是(4.4.8)-nnnzazf)()(0z用(4.4.8)计算cn要求环积分,过于麻烦,因此一般不用.一般是根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,可以用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.例如:)0(,!41!312111)!4!321(1e2243222zzzzzzzzzzzz例1 函数 在圆环域i)0|z|1;ii)1|z|2|z|+;内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内
25、展开成洛朗级数.)2)(1(1)(-zzzfxyO1xyO12xyO2解 先把f(z)用部分分式表示:.87432122121)1(2112111)(1|0i).2111)(22222-zzzzzzzzzfzzzzf内在ii)在1|z|2内.842111122121)111(12112111112111)(212222-zzzzzzzzzzzzzzzzfnniii)在2|z|+内.731)421(1)111(1211111112111)(43222-zzzzzzzzzzzzzzzzf例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz.!41!31!2)!41!31!2111(e!3!21e2343231332zzzzzzzzzznzzzzznz解 因有作业 第四章习题 第143页开始第11题 第1),2),3)小题第12题 第1),2)小题第16题 第1),2),5),6)小题
