1、高等代数试卷第 1 页共 4 页中国计量大学中国计量大学20212021 年硕士研究生招生考试试题年硕士研究生招生考试试题考试科目代码：考试科目代码：813考试科目名称：高等代数考试科目名称：高等代数所有答案必须写在所有答案必须写在报考点提供的答题纸上报考点提供的答题纸上，做在试卷或草做在试卷或草稿纸上无效。稿纸上无效。一、填空题一、填空题（每小题（每小题 4 分，共分，共 32 分分）1.实二次型?，?，?，当?_时二次型的秩为 2.2.计算行列式?=_.3.设矩阵?，则?=_.4.设?，则?_.5.求一个与?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?都正交的单位向量?_.6.已知矩阵?和
2、矩阵?相似，则?_,?=_.7.矩阵?的秩为 2，则?_.8.矩阵?，则?=_.高等代数试卷第 2 页共 4 页二二、单选题（每小题、单选题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分）1.设?，则?_.A.1B.2C.3D.02.设?，?，?，?和?，?，?，?为两个?维向量组，如果_，则?，?，?，?和?，?，?，?的秩相等.A.两个向量组等价B.?C.?，?，?，?可由?，?，?，?线性表示D.?，?，?，?可由?，?，?，?线性表示3.7354765443214323)(22xxxf=0 的根（包括重根）的个数为_.A.1B.2C.3D.44.设?为 3 阶矩阵，?，?为?的伴随矩阵，若交
3、换?的第 1 行与第 2 行得到矩阵，则?_.A.-3B.3C.-27D.95.设?、?均为?阶方阵，?为?阶单位矩阵，若?，?，则?_.A.?B.?C.?D.?高等代数试卷第 3 页共 4 页6.设?与?是矩阵?的两个不同的特征值，?，?是?的分别属于?与?的特征向量，则下列结论成立的是_.A.对任意?，?，?都是?的特征向量B.存在常数?，?，使得?是?的特征向量C.当?，?，?不可能是?的特征向量D.存在唯一的一组常数?，?，使得?是?的特征向量7.设?，为?阶矩阵，且?与 相似，?为?阶单位矩阵，则_.A.?B.?与 有相同的特征值和特征向量C.?与 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数
4、?，?和?相似三三、解答题（本题共、解答题（本题共 7 小题小题，满分满分 90 分，解答应写出文字说明，验算步骤分，解答应写出文字说明，验算步骤）1.（10 分）计算?.2.（11 分）已知?个向量?，?，?，?线性相关，但其中任意?个向量都线性无关.证明：如果存在等式?，则这些系数?，?，?，?或者全为 0，或者全不为 0.3.（13 分）设矩阵?，?，利用分块矩阵求?.高等代数试卷第 4 页共 4 页4.（15 分）由向量组?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?生成的向量空间?，求?的基和维数.5.（14 分）已知?，证明方程组?有唯一解，并求解.6.（13 分）设?，求?的逆矩阵.7.（14 分）设三阶实对称矩阵?的特征值为 1，2，-2，且?，?，?是?的属于特征值 1 的一个特征向量。记?，其中?为三阶单位矩阵。验证?是矩阵 的特征向量，并求出 的全部特征值和特征向量.【完】
