1、第二讲 有限元基础理论 及平面问题有限元方法 讲述以下问题-1.有限元与力学关系2.回顾-材料力学研究对象与研究方法3.强度强度问题、刚度刚度问题、稳定性稳定性问题4.点的应力状态-空间问题5.广义Hooke定律6.弹性力学的基本方程7.弹性力学问题分类8.三大方程、三类问题、三种解法9.平面问题10.平面问题的有限元方法1.有限元与力学关系弹性力学与理论力学区别：理论力学研究对象是质点、质点系与刚体（质点系力学与刚体力学）刚体（质点系力学与刚体力学）。材料力学与弹性力学研究变形体变形体。力学分支众多：材料力学、结构力学、弹性力学、板壳力材料力学、结构力学、弹性力学、板壳力学、塑性力学、学、塑
2、性力学、断裂力学、损伤力学、复合材料力学、结构稳定性理论、振动理论、流体力学、结构动力学等;有限元方法是以力学理论为基础，是一种现代数值计算方法，是一种解决工程实际问题的数值计算工具，是现代设计与分析方法的支柱！2.回顾-材料力学研究对象与研究方法研究各种工程结构：常见的如下结构元件（构件）:（1）杆、杆系、梁、柱，杆、杆系、梁、柱，（长（长宽和高）宽和高）-材料力学材料力学（2）板板(中厚板中厚板)、壳，、壳，（厚（厚长与宽）长与宽）-扳壳力学扳壳力学（3）三维体三维体，-弹性力学弹性力学截面法是处理固体力学问题的最基本的方法：截面法是处理固体力学问题的最基本的方法：通过外力（作用力和约束力
3、）与内力（应力）平衡求构件的响应，通过本构（物理）关系求变形（位移与应变），最重要的是材料力学中的平截面法平截面法，其中尤以梁的平截面假设最为重要。-简化计算！平截面假设平截面假设初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于轴线,并且在垂直轴线方向上无变形；梁的基本方程：22dxwdEIM122dxwd2max6bhM)4(222ayhIQbhQ23maxmax maxIyM 3.研究工程结构在使用状态下的安安全性全性、可靠性、使用性等可靠性、使用性等，实现结构的功能与性能。强度强度问题(应力值不超过许用值)；刚度刚度问题(变形不太大)；稳定性稳定性问题（不失稳）；振动振动问题（量值在限制范围
4、）；碰撞问题（安全生存空间）；4.点的应力状态-空间问题xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxz弹性问题弹性问题 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关。九个应力分量，九个应变分量（独立变量各六个）。九个应力分量，九个应变分量（独立变量各六个）。单元体研究方法。单元体研究方法。zzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 2121212121216.弹性力学的基本方程-三大方程物理方程 x=2Gx+xy=Gxy y=2Gy+yz=Gyz z=2Gz+zx=Gzx0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy0Zzyxzyzx
5、z 平衡方程xuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx 几何方程5.各向同性弹性体广义Hooke定律 EEzyxx xyxyE 12 EExzyy yzyzE 12 EEyxzz zxzxE 12弹性力学有弹性力学有15个基本方程个基本方程：3个平衡方程；6个几何方程；6个本构方程；15个基本未知量个基本未知量：3个位移分量；6个应力分量；6个应变分量；*加适当边界条件。弹性力学问题解法-三种解法（位移法、应力法、混合法）物理方程 应力w平衡微分方程w静力边界条件 变形(位移与应变)变形协调方程(或位移单值连续)位移边界条件以位移作为未知数几何方程求应变物理方程求应力位移解法联立求
6、解弹性力学问题分类-三类边界问题静力边界问题 位移边界问题混合边界问题S uS(X,Y,Z)(X,Y,Z)由位移表示的平衡微分方程其中 是Lplace算子静力边界条件使用位移表示位移边界条件0)(XxGuG20)(YyGvG20)(ZGwG2z2222222zyx9.平面问题平面应变物体是一柱体，轴向方向很长 所有外力（体积力和面力）都平行于横截面作用，且沿轴线大小不变平面应力沿z方向的厚度t均匀且很小所有外力均作用在板的周边和板内，平行于板面作用，且沿厚度不变xyzyt/2t/2t/2zxy平面应变特点 （1）位移 u=u(x,y)v=v(x,y)w=0 （2）应变 平面内，x、y、xy 0
7、，均为x、y的函数；平面外，z=xz=yz=0；（3）应力 z=(x+y)平面问题的协调方程01)(yxzz Eyxrxyxyyx222222平面应力特点 （1）应力 在z=的面上各点没有任何应力 z=zx=zy=0 在面内：x、y、xy 0 （2）应变2txyxyyxyyxx E EE EE12yxz E xz=yz=0（3)位移 u=u(x,y)v=v(x,y)w 0平面问题平衡微分方程0Xyxyxx 0Yyxyxy 平面问题几何方程yvy xvyuxy xux 10.有限元方法概念平面问题的有限元法用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于求解偏微分方程的复杂性，而有限元方法则将原来连
8、续的弹性体离散化，其中最简单的就是采用三角形单元对弹性体进行划分。把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。在每一个单元上求势能。将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。最后应用最小势能原理求解单元节点位移。对每个三角形单元选择最简单的线性函数为位移模式，单元中任一点的位移可以通过3个结点的位移进行插值运算，这样整个区域中无限多个未知位移量就可以用有限个节点来表示，从而避免了求解覆盖整个区域的位移函数的困难。平面问题的有限元法，不仅可用来解决实际问题，而且通过其相对简单的概念，可以详细了解用有限元法对一般弹性体进行应力分析的
9、基本原理和方法步骤，了解有限元法的性能特点，使用中应注意的问题，从而为学习后续各章节打下基础。ijmxy(x,y)uv下面就以平面三角形单元阐明有限元的基本概念单元位移模式 每个节点在单元平面内有两个位移分量，相应有两个自由度：一个三角形单元有三个节点，共6个节点位移分量，其单元节点位移列阵可表示为：位移模式可取为最简单的线性函数，包含6个待定常数 、。Tiiivu),(mji TmmjjiiTTmTjTievuvuvu163321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii一种简单的线性位移函数为：式中 、为6个待定常数，可以由单元的节
10、点位移确定。设节点 的坐标分别为(，)、（，）、（，），其节点位移为，将它们代入上式得：联立求解上述公式左边的6个方程，可以求出待定常数:整理后得：yxvyxu65432116ixiyjxjymxmy),(),(),(mmjjiivuvuvu、3321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv单元形函数函数 表示单元内部的位移分布形态，故 可称为单元的形态函数，简称为形函数。得到
11、由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即位移模式的另一形式。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv),()(21mjiycxbaANiiii),(mjivNvNvNvuNuNuNummjjiimmjjiiiNiNjNmN单元应变和应力 mmjjiimmjjiimjimjixyyxvuvuvubcbcbccccbbbA00000021 eB mjiBBBB eeSBD mjiSSSBDS ),(2/)1(2/)1()1(22mjibccbcbAEBDSiiiiiiii单元
12、平衡方程 整个结构处于平衡状态，所划分出的一个小单元体同样处于平衡状态，而结构的平衡条件可通过节点的平衡条件表示。有限元的任务就是要建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。为此首先要建立每一个单元的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。单元平衡方程可以利用最小势能原理建立，也可以利用虚功原理求解。单元节点力列阵：单元节点虚位移列阵：单元内部引起的虚应变：根据虚功原理：外力虚功等于内力虚功。所以节点力在节点的虚位移上所作的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所作的虚功。这就是单元保持平衡状态所必须满足的条件，即单元的平衡条件。TmmjjiieYXYXYXF Tmmjjiivuvuvu
13、*Tzyx*tdxdyFTeeT*eTetdxdyBDBFeeekFtdxdyBDBkTeemmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkkAtBBBDBBBk单元刚度矩阵 利用虚功方程来建立刚度方程，其实质就是单元的平衡方程单元的平衡方程。单元刚度矩阵具有以下性质：(1)单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义。其物理意义是单位节点位移分量所引起的节点力。例如，是表示当单元第n个自由度产生单位位移而其它自由度固定时，在第m个自由度产生的节点力。(2)是对称矩阵。其元素之间有如下关系：，这个特性是由弹性力学中功的互等定理所决定的。(3)（3）是奇异矩阵。其每一行每一列元
14、素之和均为零，物理意义就是：在无约束的条件下，单元可作刚体运动。根据行列式性质，可知值也为零。mnksrrskkekek 单元等效节点载荷 外载荷必须作用在节点上，而实际的外载荷又往住并不是通过节点作用的。因此，必须将这些非节点载荷按一定原则移置到节点上，即所谓等效节点载荷处理。这种移置必须满足静力等效原则。处理单元内的集中力、体力和单元边界上的分布力，惯性力则作用在整个结构上。总刚度矩阵 当以有限个单元通过有限个节点连接而成的组合体来代替实际的连续体结构而受力变形时，显然它们必须满足整个结构的变形连续条件和平衡条件。在整体分析中，利用节点为分析对象，根据各节点的静力平衡条件，即可建立起组合体
15、所有节点的静力平衡方程式。把它们汇集在一起，得到的平衡方程组就代表了整个结构的平衡条件。进行整体分析，即是将各个单元的平衡方程集合在一起，得到结构的整体平衡方程。K为结构的整体刚度矩阵，一般称为总刚度矩阵，其维数为2n2n。可写成分块形式。RK TTnTTT321 TTnTTTRRRRR321解题步骤与算例(1)首先绘出结构几何简图，在此基础上将结构离散化。平面问题采用三角形单元(其他形状单元以后讲述)，所以其离散就是将计算对象划分成许多三角形单元。包括：进行节点编号、单元编号，任选一直角坐标系，定出所有节点的坐标值等等。确定载荷和边界约束条件，将各单元所受的非节点载荷，包括体力、面力以及可能
16、有的集中力按虚功等效原则移置到节点上，并将各节点上的这些载荷（包括直接作用在节点上的集中载荷）分别按相同方向叠加等。(2)其次进行单元分析、组集总刚度矩阵、求单元应力和节点应力。前处理计算后处理 nnnnnnnRRRnKKKKKKKKK2121212222111211平面问题的离散化 v单元类型的选择 v单元的大小 v单元有密有疏 v不同厚度或不同材料处，应取作为单元的边界线 平面问题的有限元法，不仅有实际意义，而且通过其相对简单的概念，可以详细了解用有限元法对一般弹性体进行应力分析的基本原理和方法步骤，了解有限元法的性能特点，使用中应注意的问题，从而为学习以后各章打下基础。有限元解法的三个主要步骤就是：离散化、单元分析、整体分析。平面高阶单元 四节点矩形单元：为了提高有限单元法计算结果的精度，除了增加单元数目外，还常采用具有较高次位移函数的单元。等参数单元：三角形单元和矩形单元的位移模式和坐换变换式都采用了相同的形函数。例平面四节点任意四边形等参单元。xyyxyxvxyyxyxu87654321)()(，iiiuNu41)()(，iiivNv41)()(，第二讲结束语温故而知新
