1、第五章 计算机控制系统的间接设计法 q 1.离散与连续等效设计的基本步骤q 2.离散与连续等效设计方法 q 3.数字PID控制器设计 q 4.改进的数字PID控制算法 q 5.数字PID控制器的参数整定 1离散与连续等效设计的基本步骤 连续域离散化设计是先在连续域（平面）上进行控制系统的分析、设计，得到满足性能指标的连续控制系统，然后再离散化，得到与连续系统指标相接近的计算机控制系统。下面具体说明设计步骤：s第一步：根据连续控制系统框图（其中 为被控对象传递函数，为控制器。首先在连续域上完成 的分析、设计。在设计 时，要把对系统有不利影响的时间滞后零阶保持器加入连续系统模型，检查系统性能指标，
2、如果不满足，则修改 。基本步骤()PGs()D s()D s()D s()D s基本步骤第二步：将连续传递函数 离散为脉冲传递函数（传递函数），这样，就得到下图所示的计算机控制系统：D s zDz01()TsheGss 0()()hPGsGs Gs图中，为零阶保持器的传递函数，把 称为广义被控对象的传递函数 基本步骤第三步：将变为差分方程或状态空间方程，并编写计算机程序。2.离散与连续等效设计方法 在对连续控制器进行离散化时，常用的离散化方法如下：反向差分变换法；正向差分变换法；双线性变换法；脉冲响应不变法（Z变换法）；阶跃响应不变法（具有采样-保持器的脉冲响应不变法)；零、极点匹配Z变换法1
3、、反向差分变换法 对于给定其微分方程 （5.1）用反向差分代替微分，得 取Z变换得：(5.2)()1()()U sD sE ss()()(1)()du tu ku ke kdtT1()1()1()U zD zzE zT反向差分变换法 比较式（5.1）与式（5.2）可知，将式（5.1）中 的s直接用 代入即可，即 另外，还可将 作级数展开 取一阶近似 ，也可得到 11zsT11()()zsTD zD s11zsT反向差分变换法1z2211.2TsT szeTs 11zTs s平面的稳定域为：,参考式z z平面的稳定域为将 写成 上式可变换为：反向差分变换法0)Re(s111ReRe0zzTTz1
4、1zsTzzj2221122由上式可以看出，s平面的稳定域映射到Z平面上，以 ，为圆心，1/2为半径的圆内，如图所示：2/10反向差分变换法反向差分变换法反向差分变换方法的主要特点如下：n变换计算简单；ns平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果D(s)稳定，则变换后D(z)的也是稳定的；n不能保持的脉冲与频率响应。正向差分变换法2、正向差分变换法对于给定其微分方程用正向差分代替微分，得 取Z变换得：()1()()U sD sE ss()()du te tdt()(1)()()du tu ku ke kdtT()1()1()U zD zzE zT正向差分变换法对 进行正向差
5、分变换时，将其中的s直接用 代入即可，即()D s1zsT1()()zsTD zD s另外还可将 级数展开 z221.2TsT szeTs 取一阶近似 ，可以得到 1zTs 1zsT正向差分变换法 平面的稳定域为 ，平面的稳定域为：令 ，则可写成：正向差分变换s平面与z平面的对应关系 0)Re(ssz1Re0zTzj1Re0jT双线性变换法3、双线性变换法 双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。TszeTse由Z变换定义将改写为形式：22TsTsTseee 然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：1212TszTs计算出得双线性变换公式：1
6、12 11zsTz双线性变换法由下图所示的梯形面积近似积分并且进行Z变换，并整理得到可得：同时可以得到双线性变换：11()1()2 1Y zTzX zz11211()()zsTzD zD s112 11zsTz还可以将式 看作采用双线性变换时由s平面到z平面的映射。应当注意到，双线性变换使 的极、零点数目相同，且离散滤波器的阶数（即离散滤波器的极点数）与原连续滤波器的阶数相同。()D zs平面的左半平面 映射到z平面时，其关系为：Re()0s 112 121ReRe011zzTzT z22221112ReReRe011(1)zjjzj 因为T0，上面的不等式可以简化为即：2221双线性变换法双
7、线性变换法双线性变换将s平面上整个左半平面映射到z平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是z平面上的稳定区），如下图所示：双线性变换s平面与z平面的对应关系 双线性变换的主要特点是：双线性变换法如果D(s)稳定，则相应的D(z)也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定。所得D(z)的频率响应在低频段与D(s)的频率响应相近，而在高频段相对于D(s)的频率响应有严重畸变。双线性变换法例5.1 用双线性变换法将模拟积分控制器 离散化为数字积分控制器()1()()U sD sE ss脉冲响应不变法4、脉冲响应不变法 所谓脉冲响应不变法就是将连续滤波器 离散得到离散滤波器 后，它的脉冲响应 与连续
8、滤波器 的脉冲响应在各采样时刻的值是相等的。即()D s()D z1()()DgkTZD z1()()g tLD s()()Dt kTgkTg t 因此，脉冲响应不变法保持了脉冲响应的形状()()D zZ D s因而，上面给出的连续滤波器 ，采用脉冲响应不变法所得到的离散滤波器 即 的z变换。所以，脉冲响应不变法也称z变换法。()D s()D z()D sZ变换法的特点是：n 和 有相同的单位脉冲响应；n 若稳定，则也稳定；n 存在着频率失真；n 该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。()D z()D s()D s()D z()D z脉冲响应不变法 脉冲响应不变法 它主要应用于
9、连续控制器 具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及 具有陡衰减特性，且为有限带宽的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证 的频率特性接近原连续控制器 。()D s()D s()D z()D s阶跃响应不变法5、阶跃响应不变法 所谓阶跃响应不变法就是将连续滤波器 离散后得到的离散滤波器 ，保证其阶跃响应与原连续滤波器的阶跃响应在各采样时刻的值是相等的。用阶跃响应不变法离散后得到的离散滤波器 ，则有()D s()D z11111()()1t kTZD zLD szs式中 表示 的阶跃响应，而 表 示 的阶跃响应。取上式的Z变换，得到111()1ZD zz()D z11()
10、LD ss()D s1()()TseD zZD ss()D z阶跃响应不变法 这个方程的右边可以看作前面加了一个采样器和零阶保持器。因而，可以假设一个连续信号和一个假想的采样-保持装置，如图所示：这里的采样保持器是一个虚拟的数字模型，而不是实际硬件。由于这种方法加入了零阶保持器，对变换所得的离散滤波器会带来相移，当采样频率较低时，应进行补偿。零阶保持器的加入，虽然保持了阶跃响应和稳态增益不变的特性，但未从根本上改变Z变换的性质。阶跃响应不变法阶跃响应不变法的特点如下：若 稳定，则相应的 也稳定；和 的阶跃响应序列相同；()D s()D z()D z()D s零、极点匹配z变换6、零、极点匹配z
11、变换法 所谓零、极点匹配z变换法，就是按照一定的规则 把的 零点映射到离散滤波器 的零点，把 的极点映射到 的极点。极点的变换同z变换相同，零点的变换添加了新的规则。设连续传递函数 的分母和分子分别为n阶和m阶，称 有m个有限零点，n-m个 的无限零点，如：,还有两 个 的无限值零点。()G s()D z()G s()D z()G s()G ss 1123()()()()szG sspspsp其有限零点为 1sz s 零、极点匹配z变换零极点匹配Z变换的规则是：所有的极点和所有的有限值零点均按照 变换 所有的在 处的零点变换成在 处的零点。如需 要的脉冲响应具有一单位延迟，则 分子的零点数应比
12、分母的极点数少1。要保证变换前后的增益不变，还需进行增益匹配。sTze()G ss 1z()D z()D z零、极点匹配z变换例5.2 求 的零、极点匹配z变换。()1/()G ssa零、极点匹配z变换求的零、极点匹配Z变换()/()G sssa例5.3 离散与连续的等效设计举例例5.3 某天线跟踪控制系统框图如下图所示，系统的设计指标要求如下：超调量 ，调节时间 秒，速度误差系数 。%17%10st 1K结构图 3.数字PID设计常规模拟PID控制系统原理框图如图5-10所示。0()1()()()tDPIT de tu tKe te t dtTdt数字PID算法写成传递函数形式:()1()(
13、1)()pDIU sG sKT sE sT s 式中KP比例系数；TI积分时间常数；TD微分时间常数。在PID控制器中，比例环节对偏差是即时反映的，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差；积分环节主要用来消除静差和提高控制精度。微分环节反映了偏差信号的变化趋势（变化速率），从而能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。数字PID算法1、位置式PID控制算法 当采样周期T足够短时，以一系列的采样时刻点 代表连续时间t，以和式代替积分，以增量代替微分，,则可作如下近似变换：000()()()(1)()()(1)kktjje t
14、dt Te jTTe je kTe kTde te ke kdtTT0,1,2,tkTk，其中kT数字PID算法上式简化表示成 0()()()()(1)kDPjITTu kKe ke je ke kTT0()()()()(1)kPIDju kK e kKe jKe ke k 或写成：式中 k 采样序号；第次采样时刻的计算机输出值；第k次采样时刻输入的偏差值；积分系数，；微分系数，。)(ku()e kIKIPITTKK/DKTTKKDPD/数字PID算法由于位置式PID控制算法是全量输出，故每次输出均与过去的状态有关，计算时要对 进行累加，计算机运算工作量大。而且，因为计算机输出对应的是执行机构
15、的实际位置，如果计算机出现故障，大幅度变化，会引起执行机构位置的大幅度变化，在某些场合，可能造成重大的生产事故，为避免这种情况的发生，提出了增量式PID控制的控制算法。)(ke)(ku)(ku2、增量式PID控制算法 增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量 数字PID算法10(1)(1)()(1)(2)kPIDju kK e kKe jKe ke k用式u(k)减去u(k-1)，可得()()(1)()()2(1)(2)PIDu kKe ke kK e kKe ke ke k 由递推原理可得)(ku数字PID算法()()()()(1)PIDu kKe kK e kKe ke k()()
16、(1)e ke ke k()()(1)(2)u kAe kBe kCe k1DPITTAKTT12DPTBKT/PDCK TT 它们都是与采样周期、比例系数、积分时间常数、微分时间常数有关的系数。上式可以简化为：式中：也可以进一步简化为：其中：和位置式PID控制相比，增量式PID控制具有许多优点：由于计算机输出增量，所以误动作时影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉。手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换。此外，当计算机发生故障时，由于输出通道或执行装置具有信号的锁存作用，故仍能保持原值。算式中不需要累加。控制增量 的确定，仅与最近 次的采样值有关，所以较容易通过加权处理而获得比较好的控制效
17、果。增量式PID控制器的不足之处：积分截断效应大，有静态误差；溢出的影响大。数字PID算法)(kuk改进的数字PID算法1.积分分离PID控制算法具体实现如下：（1）人为设定一阈值。（2）当 时，采用PD控制。（3）当 时，采用PID控制。)(ke()e kLKLK写成计算公式，可在积分项乘一个系数 ，按下式取值:，1()0()Le kKe k当当改进的数字PID算法 下面举例说明采用积分分离PID控制的效果:设被控对象为 。采样周期为T=0.1s，输入为单位阶跃信号。数字PID控制器的参数为 ，。采用普通PID控制所得的阶跃响应曲线如下图的虚线所示。采用积分分离PID控制算法，所得的阶跃响应
18、曲线如下图的实线所示。可见，采用积分分离PID控制算法使得控制系统的性能有了较大的改善。010(1)(2)Gss1PK 0.14IK 1DK改进的数字PID算法改进的数字PID算法 2.遇限削弱积分PID控制算法 遇限削弱积分PID控制算法的基本思想是：当控制量进入饱和区以后，便不再进行积分项的累加，而只执行削弱积分的累加。在计算 时，分为两种情况：为正时，如果 ，则只累加负偏差；若 ，则正常积分。为负时，如果 则只累加正偏差；若 ，则正常积分。这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。)(ku)(kumax)1(ukumax)1(uku)(kumax)1(ukumax)1(uku改进的数字P
19、ID算法3.不完全微分PID控制算法微分环节的引入，改善了系干扰特别敏感微分项的输出与误差的关系为：()()(1)()(1)DDPDTukKe ke kKe ke kT当 为阶跃函数时，输出为 ，即仅第一个周期有激励作用，并且 的幅值一般比 较大，容易造成计算机中数据溢出。)(ke)(kuDDDKu)0(0)2()1(DDuuDuDK克服上述缺点的方法之一是，在PID算法中加一个一阶惯性环节（即低通滤波器）()1/1()ffGsTs改进的数字PID算法 a）低通滤波器直接加在微分环节 b）低通滤波器加在整个PID控制器之后 改进的数字PID算法4.微分先行PID控制算法微分先行PID控制的特点
20、是只对输出量进行微分，而对给定值不作微分。这样，在改变给定值时，输出不会改变，而被控量的变化通常总是比较缓和的。这种输出量先行微分控制适用于给定值频繁升降的场合，可以避免给定值升降时所引起的系统振荡，明显地改善了系统的动态特性。5.带死区的PID控制算法 在计算机控制系统中，某些系统为了避免控制动作的过于频繁，消除由于频繁动作所引起的振荡，可采用带死区的PID控制，如图所示,相应的控制算式为改进的数字PID算法0()()e ke k00()()e kee ke当时当时5.数字PID的参数整定 整定PID控制参数的方法很多，可以归纳为理论整定法与工程整定法两大类。理论整定法以被控对象的数学模型为
21、基础，通过理论计算（如根轨迹、频率特性等方法）直接求得控制器参数。理论整定需要知道被控对象的精确数学模型，否则整定后的控制系统难以达到预期的效果。而实际问题的数学模型往往都是一定条件下的近似，所以这种方法主要用于理论分析和工程应用指导。实际中应用较多的是工程整定法，即一种近似的经验方法。由于其方法简单，便于实现，特别是不依赖控制对象的精确数学模型，且能解决控制工程中的实际问题，因而在实际中被广泛采用。T。PID参数对系统性能的影响分析1、比例系数Kp对系统性能的影响（1）对系统的动态性能影响：Kp加大，将使系统响应速度加快，Kp偏大时，系统振荡次数增多，调节时间加长；Kp太小又会使系统的响应速
22、度缓慢。（2）对系统的稳态性能影响：在系统稳定的前提下，加大Kp可以减少稳态误差，但不能消除稳态误差。2、积分时间TI对系统性能的影响积分控制通常和比例控制或比例微分控制联合作用，构成PI控制或PID控制。（1）对系统的动态性能影响：积分控制通常影响系统的稳定性。TI太小，系统可能不稳定，且振荡次数较多；TI太大，对系统的影响将削弱；当TI较适合时，系统的过渡过程特性比较理想。（2）对系统的稳态性能影响：积分控制有助于消除系统稳态误差，提高系统的控制精度，但若TI太大，积分作用太弱，则不能减少余差。PID参数对系统性能的影响分析3、微分时间TD对系统性能的影响微分控制通常和比例控制或比例积分控
23、制联合作用，构成PD控制或PID控制。（1）对系统的动态性能影响：微分时间TD的增加即微分作用的增加可以改善系统的动态特性，如减少超调量，缩短调节时间等。但微分作用有可能放大系统的噪声，降低系统的抗干扰能力。（2）对系统的稳态性能影响：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。PID参数对系统性能的影响分析 试凑法是通过计算机仿真或实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各调节参数（）对系统响应的影响，反复调节试凑，直到满意为止，从而确定PID参数。试凑时，
24、可参考PID各参数对控制系统性能的影响趋势，实行先比例、后积分、再微分的反复调整。试凑法确定PID控制器参数,pIDKT T试凑法确定PID控制器参数 首先只确定比例系数，将 由小变大，使系统响应曲线略有超调。此时若系统无稳态误差或稳态误差已小到允许范围内，并且认为响应曲线已属满意，那么，只须用比例控制器即可，而最优比例系数 也就相应确定了。pKpK 若在比例调节的基础上，系统稳态误差太大，则必须加入积分环节。整定时先将第一步所整定的比例系数略为缩小（如为原值的0.8倍），再将积分时间常数置成一个较大值并连续减小，使得在保持系统动态性能的前提下消除稳态误差。这一步骤可反复进行，即根据响应曲线的
25、好坏反复改变比例系数与积分时间常数，以期得到满意的结果。试凑法确定PID控制器参数 若使用PI控制器消除了稳态误差，但系统动态响应经反复调整后仍不能令人满意，则可以加入微分环节，构成PID控制器。在整定时，先将微分时间常数设定为零，再逐步增加 并同时进行前面、两步的调整。如此逐步凑试，以获得满意的调节效果和控制参数。试凑法确定PID控制器参数 DT工程算法确定PID参数 1、扩充临界比例度法使用该方法整定数字PID控制器参数的步骤如下：选定一个足够短的采样周期，一般采样周期T小于被控对象纯滞后时间的1/10以下。用该比例控制器构成闭环，并使数字闭环系统工作。逐渐加大比例系数，直到系统发生持续等
26、幅振荡，即系统输出或误差信号发生等幅振荡。对应此时的比例系数为，临界振荡周期为。按下面的经验公式得到不同类型控制器参数工程算法确定PID参数 0.5prKK0.45,0.83prIrKK TT0.6,0.5,0.125prIrDrKK TT TTP控制器：PI控制器：PID控制器：使用中还可以将这一方法扩充，即引入控制度的概念。控制度是以模拟调节为基准，将直接数字控制即DDC的控制效果与模拟控制效果相比较。评价函数采用误差平方积分（即控制度Q），其表达式如下：工程算法确定PID参数 2()2()()()e t dte t dt0数字控制0模拟控制Q=控制度 控制规律T 1.05PIPID0.0
27、30.0140.550.630.880.490.141.2PIPID0.050.0430.490.470.910.470.161.5PIPID0.140.090.420.340.990.430.202.0PIPID0.220.160.360.271.050.400.22模拟控制器PIPID0.570.700.830.500.13简化的扩充临界比例度法PIPID0.450.600.830.500.125pKITDTrTrT rTrTrTrTrTrTrKrKrKrKrKrKrKrKrKrKrKrKrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrT工程算法确定PID参数 实际运
28、用中，控制度仅是表示控制效果的物理概念，并不需要计算两个误差平方面积。当控制度为1.05时，可以认为数字控制与模拟控制效果相当；从提高数字PID控制品质出发，控制度可以选的小一些；从提高系统稳定性出发，控制度可以选的大一些。引入控制度后，根据 和 由上表表中求得PID各参数之值。rKrT工程算法确定PID参数 一阶保持器幅频特性 根据表5.4得到的PID参数，运行系统，如果控制效果不好，可适当减少比例系数 ，重复步骤，直到获得满意的控制效果。pK工程算法确定PID参数 工程算法确定PID参数2、扩充响应曲线法在数字PID控制器参数整定时，也可以采用模拟PID控制的响应曲线法，即扩充响应曲线法。
29、其步骤如下：让系统处于手动操作的开环状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。给系统加以阶跃输入，记录被调量的阶跃响应曲线，如下图所示。在阶跃响应曲线的拐点处作切线求得滞后时间和被控对象时间常数，工程算法确定PID参数 扩充响应曲线法 3、PID归一参数整定法 Roberts在1974年提出了一种简化的扩充临界比例度整定法，该方法以扩充临界比例度整定法为基础。设PID的增量算式为：工程算法确定PID参数u(kT)()()()()2()(2)DpITTKe kTe kT Te kTe kTe kT Te kTTTT工程算法确定PID参数根据大量的实际经验的总结，人为假设约束条 件，以减少独立变量的个数。如取：0.10.50.125rIrDrTTTTTT得到：u(kT)2.45()3.5()1.25(2)pKe kTe kTTe kTT由上式可以看出，对四个参数的整定简化成了对一个参数 的整定，使问题简化了。pK
