1、2.2.1等差数列等差数列复习回顾复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数简记作简记作:an2.2.通项公式通项公式:如果数列如果数列aan n 中第中第n n项项a an n与与n n之间的之间的 关系可以用一个式子来表示关系可以用一个式子来表示,那么这那么这 个公式叫做数列的通项公式个公式叫做数列的通项公式.3.数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列摆动数列摆动数列，常数列。常数列。5.递推公式
2、递推公式:4.4.数列的实数列的实质质 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集或它的有限子集1，2，n）的函数，）的函数，当自变量从小到大依当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函次取值时对应的一列函数值数值。*N 如果已知如果已知an的第的第1项项(或前或前n项项),且任一项且任一项an与与它的前一项它的前一项an-1(或前或前n项项)间的关系可用一个公式间的关系可用一个公式来表示来表示,这个公式叫做数列的递推公式这个公式叫做数列的递推公式.说明说明:递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式也是数列的一种表示方法。观察下面的数列：观察下面的数列：
3、4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，10 10 ；3 3，0 0，3 3，6 6，；下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cmcm）2121，21.5 21.5 ，2222，22.5 22.5 ，2323，23.5 23.5 ，2424，24.5 24.5 ，25;25;一张梯子一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位从高到低每级的宽度依次为（单位cmcm）4040，5050，6060，7070，8080，9090，100100；每级之间的高度相差分别为每级之间的高度相差分别为 4040，4040，4040，4
4、040，4040，40.40.这就是说，这些数列具有这样的共同特点：这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第从第2 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。思考：这这5 5个数列有什么共同特点？个数列有什么共同特点？数学语言：数学语言：anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）定义：定义：一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2 2项起项起，每一每一项与它的前一项的差都等于同一个常数项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这，那么这个数列就叫做等差数列。个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母这个常数叫做等差
5、数列的公差，公差通常用字母d d表示。表示。它们是等差数列吗？它们是等差数列吗？(2)5，5，5，5，5，5，公差公差 d=0 常数列常数列公差公差 d=2x(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,3,5,7,9,xxxxx(3)观察下面的数列：观察下面的数列：4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，10 10 ；3 3，0 0，3 3，6 6，；下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是cmcm）2121，21.5 21.5 ，2222，22.5 22.5 ，2323，23.5 23.5 ，2424，24.
6、5 24.5 ，25;25;一张梯子一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位从高到低每级的宽度依次为（单位cmcm）4040，5050，6060，7070，8080，9090，100100；每级之间的高度相差分别为每级之间的高度相差分别为 4040，4040，4040，4040，4040，40.40.给出一个数列的通项公式，你能证明它给出一个数列的通项公式，你能证明它是等差数列吗？比如是等差数列吗？比如a an n=an+b=an+ba2 a1=d，a3 a2=d，a4 a3=d，则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此得到 a n=a1+(n1)dan1an2
7、=d,an an1=d.这（n1）个式子迭加an a1=(n1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。由定义归纳通项公式由定义归纳通项公式巩固通项公式巩固通项公式若已知一个等差数列的首项若已知一个等差数列的首项a a1 1和公差和公差d d，即可求出，即可求出a an n 例如：例如：a a1 1=1,d=2,=1,d=2,则则 na求通项an=1+(n1)2=2n1已知等差数列已知等差数列8 8，5 5，2 2，求求 a an n及及a a2020(第第2020项项)。解：a1=8,d=58=3a20=49an=8+(
8、n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列已知等差数列3 3，7 7，1111，则 an=_ a4=_ a10=_4n-11539例如例如 ：已知已知a a2020=49,d=49,d=3 3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_61a求首项 例如：已知等差数列已知等差数列8 8，5 5，2 2问问4949是第几项是第几项?解：a1=8,d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20。求项数n【说明说明】在等差数列在等差数列 a an n 的通项公式中的通项公式中 a a1 1、d d、a an n、n n 任知任知 三三
9、 个，可求出另外一个个，可求出另外一个.简言之“知三求四知三求四”在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：一个等差数列：（1）2，()，4 （2）-12，()，0 3-6 如果在如果在x x与与y y中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使x x，A A，y y成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做x x与与y y的的等差中项等差中项2yxA2abab212nnnaaa探究探究(3),(),等差中项等差中项:通过它的通项通过它的通项公式，可以看公式，可以看出它与什么函出它与什么函数有关数有关dnaan111
10、2345678910123456789100的图象12nan等差数列的图像等差数列的图像12345678910 -9 -8-7-6-5-4-3-2-10-10的图象12nan等差数列的图像等差数列的图像通过图像你能说明通过图像你能说明公差对图像有什么影响？公差对图像有什么影响？的图象3na直线的一般形式：直线的一般形式：ykxb等差数列的通项公式为：等差数列的通项公式为：1()nad nad 等差数列的图象为相应直线上的点。等差数列的图象为相应直线上的点。banan讨论：讨论：数列中，第数列中，第n n项与第项与第m m项有什么关系？项有什么关系？)*,(mnNnm，其中，1.1.已知无穷等差
11、数列已知无穷等差数列aan n 中中,首项为首项为a a1 1，公差，公差为为d,d,数列中，第数列中，第n n项与第项与第m m项有什么关系？项有什么关系？1.1.已知无穷等差数列已知无穷等差数列aan n 中中,首项为首项为a a1 1，公差为，公差为d,d,an=am+(n-m)d解解:依题得,a am m=a=a1 1+(m-1)d+(m-1)da an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d讨论：讨论：在等差数列an中，1 1）已知）已知a a1 1=3,a=3,an n=21,d=2,=21,d=2,求求n n2 2）已知）已知d=-1/3,ad=-1/3,a7 7=8,=8
12、,求求a a1 13 3）在等差数列）在等差数列a an n中，已知中，已知a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求a a1212今天我们学了一些什么?等差数列中第等差数列中第m m项与第项与第n n项的关系项的关系a an n=a=am m+(n-m)d+(n-m)d.等差数列的定义等差数列的定义 a an+1n+1-a-an n=d=d等差数列中的等差中项等差数列中的等差中项A=(a+b)/2A=(a+b)/2等差数列的通项公式等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d好好学习天天向上选作：选作：一个首项为一个首项为2323，公差为整数的等差数，公差
13、为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？则它的公差是多少？1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 2.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/111.an是首项是首项a11，公差，公差d3的等差的等差数列，若数列，若an2005，则，则n()A.
14、667 B.668 C.669 D.6702.在在3与与27之间插入之间插入7个数，使它们成个数，使它们成为等差数列，则插入的为等差数列，则插入的7个数的第四个数的第四个数是个数是()A.18 B.9 C.12 D.15 1、试用两种数学语言（、试用两种数学语言（文字语言、符号语言文字语言、符号语言）来表述）来表述一下等差数列的概念：一下等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。如果数列an，满足an-an-1=d（d为常数，n2，且nN*），则数列an叫做以d为公差的等差数列。2、首项是、首项是a1，公差是，公差是d的等差数列的通项公式为的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现这四个量中可知三求一，体现方程思想方程思想；总结反思总结反思3、等差数列的通项公式的推导方法、等差数列的通项公式的推导方法归纳法归纳法（由特殊到（由特殊到一般）和一般）和累加法累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。式的常用方法。4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际实际，又应用于生活实际
