1、第二章第二章平面向量平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终点的有向线段记作 的长度也叫做有向线 段 的长度,记作 书写有向线段时,起点写在终点的前面,上面 标上箭头.(4)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.做一做1下列说法中正确的个数是()身高是一个向量;AOB的两条边都是向量;温度含零上和零下温度,所以温度是向量;物理学中
2、的加速度是向量.A.0B.1C.2 D.3 解析:由向量的概念知,正确,都不正确,故选B.答案:B 2.向量的表示法(1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量(2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,表示向量.书写时,写成带箭头的小写字母 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示,如以A为起点,以B为终点的向量记为做一做2已知向量a如图所示,下列说法不正确的是()B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M解析:由向量的表示知,A,B,C正确,D不正确.答案:D 3.有关概念 做一做3下列说法中正确的是()
3、B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,ab,a|b|,则ab.()(4)若a=b,b=c,则a=c.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析探究探究一向量的概念及零向量、单位向量向量的概念及零向量、单位向量 【例1】下列说法正确的是()A.数轴是向量B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.单位向量的模都相等D.零向量是没有方向的 解析:数轴没有大小,故不是向量,A不正确;不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故B不正确;单位向量的模都是1,故C正确;零向量的方向是任意的,故D不正确.答案:C 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变
4、式训练1下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定,故零向量不能与任意向量平行 解析:向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.答案:B 探究一探究二探究三思维辨析探究探究二向量的表示向量的表示 【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练2在如图所示的坐标纸中每
5、个小正方形的边长为1,用直尺和圆规画出下列向量:探究一探究二探究三思维辨析解:如图所示.探究一探究二探究三思维辨析探究探究三相等向量与共线向量相等向量与共线向量 【例3】给出下列说法:答案:探究一探究二探究三思维辨析【例4】如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中分别写出:分析:只有大小相等、方向相同的向量是相等向量;若向量共线,则向量所在直线平行或重合.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,D,E,F分别是ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,请分别写出:探究一探究二探究三思
6、维辨析探究一探究二探究三思维辨析混淆向量的有关概念而致错 典例已知下列命题:若|a|=0,则a为零向量;若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若ab,则|a|=|b|;所有单位向量都是相等向量;两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有()A.2个 B.3个 C.4个D.5个 错解:C错因分析:正确;正确;错误;没有正确理解单位向量和相等向量而判断正确;正确.探究一探究二探究三思维辨析正解:正确;由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故错误;错误;所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故不正确;正确.答案:A 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨
7、析变式训练下列说法中正确的个数是()单位向量都平行;若两个单位向量共线,则这两个向量相等;若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;有相同起点的两个非零向量不平行;方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量.A.2B.3C.4D.5 探究一探究二探究三思维辨析解析:因为单位向量可能不共线,共线时方向也可能相反,所以错误;因为0与任意向量共线,如a与b不共线,则a与b均为非零向量,所以正确;中有相同起点的两个非零向量可能平行也可能不平行,所以错误;中两向量方向相反,故共线,所以正确.答案:A 1 2 3 4 51.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,an,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等 解析:因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.答案:D 1 2 3 4 5答案:D 1 2 3 4 53.如图所示,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点或终点,与 相等的向量是 1 2 3 4 54.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:1 2 3 4 5答案:1 2 3 4 55.一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15方向又走了100 m到达点C.解:(1)如图所示.
