1、1.3 组合组合 课件课件 3 解决组合应用题的基本对策解决组合应用题的基本对策解决组合应用题的基本思想是解决组合应用题的基本思想是“化归化归”，即由实际问题建，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题际问题简单的组合问题简单的组合问题(1)(1)建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题顺序便不是组合问题(2)(2)解组合应用题的基本方法仍然是解组合应用题的基本方法仍然是“直接法直接法”和和“间接间接法法”(3)(3)要注意两个基本原理的运用
2、，即分类与分步的灵活运用，要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复和遗漏在分类和分步时，一定要注意有无重复和遗漏【例例1 1】有有1010名教师，其中男教师名教师，其中男教师6 6名，女教师名，女教师4 4名名(1)(1)现要从中选出现要从中选出2 2名去参加教代会，有多少种不同的选法？名去参加教代会，有多少种不同的选法？(2)(2)现要从中选出男、女教师各现要从中选出男、女教师各2 2名去参加教代会，有多少名去参加教代会，有多少种不同的选法？种不同的选法？【审题指导审题指导】从从1010名教师中任选名教师中任选2 2名和选出男、女教师各名和选出男、
3、女教师各2 2名参加教代会，与顺序无关，因此是组合问题解答本题名参加教代会，与顺序无关，因此是组合问题解答本题可采用直接法，但解答可采用直接法，但解答(2)(2)时需分步考虑时需分步考虑【规范解答规范解答】(1)(1)从从1010名教师中选名去参加教代会，即是名教师中选名去参加教代会，即是从从1010个不同的元素中取出个元素的组合数个不同的元素中取出个元素的组合数 所以所以不同的选法有不同的选法有4545种种(2)(2)从名男教师中选出名的选法有从名男教师中选出名的选法有 种，从名女教种，从名女教师中选名的选法有师中选名的选法有 种，根据分步乘法计数原理，共有种，根据分步乘法计数原理，共有 种
4、不同的选法种不同的选法210C45，26C24C2264C C90【变式训练变式训练】一口袋内装有大小相同的一口袋内装有大小相同的4 4个白球和个白球和2 2个黑球个黑球(1)(1)从中任意取出从中任意取出3 3个球，有多少种不同的取法？个球，有多少种不同的取法？(2)(2)从中取出从中取出3 3个球，使其中含有一个黑球，有多少种不同的个球，使其中含有一个黑球，有多少种不同的取法？取法？【解析解析】(1)(1)从中任意取出个球，即是从个不同的元从中任意取出个球，即是从个不同的元素中取出个元素的组合数，所以共有取法素中取出个元素的组合数，所以共有取法(2)(2)从中取出从中取出3 3个球，使其中
5、含有一个黑球，即是从个球，使其中含有一个黑球，即是从4 4个白个白球中取出球中取出2 2个球，从个球，从2 2个黑球中取出一个球，共有取法个黑球中取出一个球，共有取法36C20种 2142C C12.种 有限制条件的组合问题有限制条件的组合问题 有限制条件的组合问题的解答策略有限制条件的组合问题的解答策略 在涉及在涉及“至多至多”、“至少至少”等组合问题时，等组合问题时，通常使用间接法通常使用间接法.另外应注意另外应注意“至多至多”、“至少至少”、“都不都不是是”、“不都是不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准等词语的确切含义，准确把握分类标准【例例2 2】“抗震救灾，众志成城抗震救灾，众
6、志成城”在我国甘肃舟曲的抗击在我国甘肃舟曲的抗击泥石流的战斗中，某医院从泥石流的战斗中，某医院从1010名医疗专家中抽调名医疗专家中抽调6 6名奔赴某名奔赴某灾区救灾，其中这灾区救灾，其中这1010名医疗专家中有名医疗专家中有4 4名是外科专家问：名是外科专家问：(1)(1)抽调的名专家中恰有名是外科专家的抽调方法有多抽调的名专家中恰有名是外科专家的抽调方法有多少种？少种？(2)(2)至少有名外科专家的抽调方法有多少种？至少有名外科专家的抽调方法有多少种？(3)(3)至多有名外科专家的抽调方法有多少种？至多有名外科专家的抽调方法有多少种？【审题指导审题指导】本题属于组合问题，解答本题的关键是分
7、清本题属于组合问题，解答本题的关键是分清“恰有恰有”、“至少至少”、“至多至多”的含义，正确地分类或分的含义，正确地分类或分步解决步解决【规范解答规范解答】(1)(1)分步：首先从名外科专家中任选名，分步：首先从名外科专家中任选名，有有 不同的选法，再从除外科专家的人中选取人，不同的选法，再从除外科专家的人中选取人，有有 种不同的选法，所以共有种不同的选法，所以共有24C 种46C2446C C90种 抽调方法(2)(2)“至少至少”的含义是不低于，有两种解答方法，的含义是不低于，有两种解答方法，方法一方法一(直接法直接法)：按选取的外科专家的人数分类：按选取的外科专家的人数分类：选选2 2名
8、外科专家，共有名外科专家，共有选选3 3名外科专家，共有名外科专家，共有选选4 4名外科专家，共有名外科专家，共有根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有抽调方法抽调方法.2446C C种选法；3346C C种选法；4246C C种选法；243342464646C CC CC C185种方法二方法二(间接法间接法)：不考虑是否有外科专家，共有：不考虑是否有外科专家，共有 种选种选法，考虑选取法，考虑选取1 1名外科专家参加，有名外科专家参加，有 种选法；没有外种选法；没有外科专家参加，有科专家参加，有 种选法，所以共有：种选法，所以共有：=185=185种抽调方法种抽调方法.610C154
9、6C C66C615610466CC CC(3)(3)“至多至多2 2名名”包括包括“没有没有”、“有有1 1名名”、“有有2 2名名”三三种情况，可分类解答种情况，可分类解答.没有外科专家参加，有没有外科专家参加，有 种选法；种选法；有有1 1名外科专家参加，有名外科专家参加，有有有2 2名外科专家参加，有名外科专家参加，有共有共有66C1546C C种选法；2446C C.种选法6152464646CC CC C14 66 15115.种选法【互动探究互动探究】本题条件不变，所求问题改为：本题条件不变，所求问题改为：(1)(1)抽调的名专家中都不是外科专家的抽调方法有多少种？抽调的名专家中
10、都不是外科专家的抽调方法有多少种？(2)(2)抽调的名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少抽调的名专家中不都是非外科专家的抽调方法有多少种？种？【解析解析】(1)(1)“抽调的名专家中都不是外科专家抽调的名专家中都不是外科专家”即都是即都是非外科专家，抽调方法只有非外科专家，抽调方法只有(2)(2)“抽调的名专家中不都是非外科专家抽调的名专家中不都是非外科专家”即需有外科专即需有外科专家，可考虑利用间接法家，可考虑利用间接法从从1010人中任选人的不同选法有人中任选人的不同选法有 种，都是非外科专家的种，都是非外科专家的选法只有种，所以抽调的名专家中不都是非外科专家选法只有种，所以抽调的名专
11、家中不都是非外科专家的抽调方法有的抽调方法有66C1 种610C610C209种 【误区警示误区警示】解答本题易混淆解答本题易混淆“都不是都不是”与与“不都是不都是”的含义，从而导致解答错误的含义，从而导致解答错误.“都不是都不是”的含义是的含义是“一个也不一个也不是是”，即，即“没有没有”，而，而“不都是不都是”的否定为的否定为“都是都是”与几何图形有关的组合问题与几何图形有关的组合问题 解与几何图形有关的组合应用题的思路解与几何图形有关的组合应用题的思路(1)(1)解决几何图形中的组合问题首先应利用处理组合问题的解决几何图形中的组合问题首先应利用处理组合问题的常规方法，其次要注意从不同类型
12、的几何问题中抽象出组常规方法，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，如线段和向量不同，向量与方向有关，是排列问合问题，如线段和向量不同，向量与方向有关，是排列问题，而线段与方向无关，是组合问题题，而线段与方向无关，是组合问题(2)(2)图形多少问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共图形多少问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多统计面、异面等情形，防止多统计(3)(3)在处理与几何图形相关的组合应用题时，应先明确几何在处理与几何图形相关的组合应用题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中
13、的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象为组合问题来解决线、面之间的关系，将几何问题抽象为组合问题来解决 计算几何图形的个数时，要注意分清计算几何图形的个数时，要注意分清“对应关对应关系系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等一个四面体等【例例3 3】从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为其中直角三角形的个数为()()(A)56 (B)52 (C)48 (D)40(A)56 (B)52 (C)48 (D)40【审题指导审题指导】正方体的八个顶点中任何
14、三点均不共线，所正方体的八个顶点中任何三点均不共线，所以从中任取三点都能构成一个三角形解答本题的关键是以从中任取三点都能构成一个三角形解答本题的关键是确定如何选取三点才能构成直角三角形确定如何选取三点才能构成直角三角形.可从某个顶点作直可从某个顶点作直角三角形的直角顶点的角度考虑，通过分类研究得出整体角三角形的直角顶点的角度考虑，通过分类研究得出整体的结果的结果【规范解答规范解答】选选C C八个顶点中的任八个顶点中的任一点作为直角顶点构成直角三角形的一点作为直角顶点构成直角三角形的机会均等，不妨固定机会均等，不妨固定A A为直角顶点为直角顶点(如如图图)，那么两条直角边只能从，那么两条直角边只
15、能从ABAB、ADAD、AAAA1 1、ACAC、ADAD1 1、ABAB1 1中选取中选取(由于由于ACAC1 1与这六条线段均不垂与这六条线段均不垂直，因此直，因此ACAC1 1不可能成为直角边不可能成为直角边).).从从ABAB、ADAD、AAAA1 1中任取中任取2 2条条作为直角边，有作为直角边，有 种取法；此外，还可取种取法；此外，还可取ABAB和和ADAD1 1、ADAD和和ABAB1 1、AAAA1 1和和ACAC作直角边，有作直角边，有3 3种取法，所以以种取法，所以以A A为直角顶点为直角顶点的直角三角形的个数是的直角三角形的个数是 故所求直角三角形的个数是故所求直角三角形
16、的个数是23C23C3,238(C3)48,C.故选【变式训练变式训练】从正方体八个顶点中选取从正方体八个顶点中选取4 4个点，作为四面体个点，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为的顶点，可得到不同的四面体的个数为_ 【解题提示解题提示】不共面的四点可构成一个四面体，而正不共面的四点可构成一个四面体，而正方体的八个顶点中位于同一面上的四个顶点不能构成一个方体的八个顶点中位于同一面上的四个顶点不能构成一个四面体，因此，解答本题可从反面考虑，即从八个顶点中四面体，因此，解答本题可从反面考虑，即从八个顶点中任取四点，考虑减去四点共面的个数任取四点，考虑减去四点共面的个数【解析解析】从八个顶点
17、中任取从八个顶点中任取4 4个点，有个点，有 种取法，其中共种取法，其中共面的四个点不能构成四面体，因为正方体的任意面上的四面的四个点不能构成四面体，因为正方体的任意面上的四个点共面，对角面上的四个点共面，正方体共个点共面，对角面上的四个点共面，正方体共6 6个面和个面和6 6个个对角面，故前面所取的各组点中，共有对角面，故前面所取的各组点中，共有1212组不能构成四面组不能构成四面体，所以可得到体，所以可得到答案：答案：585848C48C1258.个 四面体【例例】一直线和圆相离，这条直线上有个点，圆周上有一直线和圆相离，这条直线上有个点，圆周上有个点，通过任意两点作直线，最少可作多少条不
18、同的直个点，通过任意两点作直线，最少可作多少条不同的直线？线？【审题指导审题指导】解答本题的关键是所作直线如何才能最少，解答本题的关键是所作直线如何才能最少，应考虑点或更多点共线应考虑点或更多点共线 【规范解答规范解答】要使所作直线最少，应出现点或更多点共要使所作直线最少，应出现点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，所以应让圆上任意点都线的情况，由于直线与圆相离，所以应让圆上任意点都与直线上的一点共线，圆周上点能连成与直线上的一点共线，圆周上点能连成 条直线，条直线，而直线上恰有个点，故这而直线上恰有个点，故这1010个点中最多有个三点共线个点中最多有个三点共线和个六点共线的情况，因此最少可
19、作直线和个六点共线的情况，因此最少可作直线 +6+1=19(+6+1=19(条条)24C62221036C6CC【变式备选变式备选】平面上有个点，其中有个点共线，除此平面上有个点，其中有个点共线，除此外无外无3 3点共线点共线.(1)(1)这这9 9个点可确定多少条直线？个点可确定多少条直线？(2)(2)以这以这9 9个点为顶点，可确定多少个三角形？个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)(3)以这以这9 9个点为顶点，可以确定多少个四边形？个点为顶点，可以确定多少个四边形？【解析解析】两点确定一条直线，不共线的三点确定一个三角两点确定一条直线，不共线的三点确定一个三角形，注意其中有形，注意其中
20、有4 4点共线的情况点共线的情况.方法一：方法一：(直接法直接法)(1)(1)可确定直线可确定直线(2)(2)可确定三角形可确定三角形(3)(3)可确定四边形可确定四边形41124455CC CC31.条2112345455C CC CC80.个2213445455C CC CC105.个方法二：方法二：(间接法间接法)(1)(1)可确定直线可确定直线(2)(2)可确定三角形可确定三角形(3)(3)可确定四边形可确定四边形2294CC131.条3394CC80.个44319445CCC C105.个【典例典例】(12(12分分)某数学研究小组共有某数学研究小组共有1313名学生，其中男生名学生
21、，其中男生人，女生人，从这人，女生人，从这1313人中选出人准备做报告，在选人中选出人准备做报告，在选出的人中，至少要有名女生，共有多少种不同的选法？出的人中，至少要有名女生，共有多少种不同的选法？【审题指导审题指导】至少要有名女生，意义是选出的人中可至少要有名女生，意义是选出的人中可有名、名、名女生，可用直接法或间接法求解有名、名、名女生，可用直接法或间接法求解【规范解答规范解答】方法一方法一(直接法直接法)：按选出的女生数的多少分：按选出的女生数的多少分类考虑类考虑第一类，选出的人中恰有名女生，有第一类，选出的人中恰有名女生，有 种不同选种不同选法；法；3 3分分第二类，选出的人中恰有名女
22、生，有第二类，选出的人中恰有名女生，有 种不同选种不同选法；法；分分第三类，都是女生，有第三类，都是女生，有 种不同选法种不同选法分分根据分类加法计数原理，共有根据分类加法计数原理，共有 同的同的选法选法1212分分1258C C2158C C35C1221358585C CC CC230种不方法二方法二(间接法间接法)：从这：从这1313人中任意选出人的选法有人中任意选出人的选法有 种，种，其中不含女生的选法有其中不含女生的选法有 种，种，分分所以至少要有名女生不同的选法共有所以至少要有名女生不同的选法共有 (种种)12 12分分313C38C33138CC230【误区警示误区警示】对解答本
23、题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】100100件产品中有件次品，现从中任抽取件件产品中有件次品，现从中任抽取件产品，至少有件次品的不同取法有多少种？产品，至少有件次品的不同取法有多少种？【解析解析】从从100100件产品中任意选取件，有件产品中任意选取件，有 种不同取种不同取法，其中不含次品的取法有法，其中不含次品的取法有 种，所以，符合题意的取法种，所以，符合题意的取法有有3100C394C3310094CC27 656种1.1.从从5 5名男生和名男生和5 5名女生中选名女生中选3 3人组队参加某集体项目的比赛，人组队参加某集体项目的比赛，
24、其中至少有一名女生入选的组队方案数为其中至少有一名女生入选的组队方案数为()()(A)100 (B)110 (C)120 (D)180(A)100 (B)110 (C)120 (D)180【解析解析】选选B.10B.10人中任选人中任选3 3人的组队方案有人的组队方案有 没有女没有女生的方案有生的方案有 所以符合要求的组队方案数为所以符合要求的组队方案数为110110种种310C120，35C10，2.2.凸十边形的对角线的条数是凸十边形的对角线的条数是()()(A)10 (B)35 (C)45 (D)90(A)10 (B)35 (C)45 (D)90【解析解析】选选B B凸十边形共有凸十边形
25、共有1010个顶点，任意两点可连成个顶点，任意两点可连成 条线段，再减去条线段，再减去1010条边条边,故对角线的条数为故对角线的条数为210C210C10353.3.从五双不同的鞋子中任取从五双不同的鞋子中任取4 4只，只，4 4只鞋子恰好配成只鞋子恰好配成2 2双的取双的取法有法有_种种.(.(用数字作答用数字作答)【解析解析】即从五双不同的鞋子中任取两双，有即从五双不同的鞋子中任取两双，有 种取种取法法.答案：答案：101025C104.4.从从1 1，2 2，3 3，9 9九个自然数中任取三个数组成有序数九个自然数中任取三个数组成有序数组组a a，b b，c c，且，且a ab bc
26、c，则不同的数组有，则不同的数组有_个个.【解析解析】从从1 1，2 2，3 3，9 9中任取三个数大小顺序确定，中任取三个数大小顺序确定，答案：答案：848439C84.5.5.要从要从1212名同学中选出名同学中选出5 5人参加一项社会实践活动，按下列人参加一项社会实践活动，按下列要求，有多少种不同选法？要求，有多少种不同选法？(1)(1)甲、乙、丙三人必须入选；甲、乙、丙三人必须入选；(2)(2)甲、乙、丙三人不能入选；甲、乙、丙三人不能入选；(3)(3)甲、乙、丙三人中只有甲、乙、丙三人中只有1 1人入选人入选.【解析解析】(1)(1)甲、乙、丙三人必须入选的选法只有甲、乙、丙三人必须入选的选法只有只要从另外的只要从另外的9 9名同学中任选名同学中任选2 2名即可，有选法名即可，有选法(2)(2)甲、乙、丙三人都不能入选，那么应从另外甲、乙、丙三人都不能入选，那么应从另外9 9名同学中名同学中任选任选5 5名，有选法名，有选法(3)(3)分步，第一步先选甲、乙、丙中的分步，第一步先选甲、乙、丙中的1 1人，有人，有 种选法；种选法；第二步再从另外的第二步再从另外的9 9人中任选人中任选4 4名，有名，有 种选法，所以共有种选法，所以共有33C 种，3239C C36.种59C126.种13C49C1439C C378.种选法
