1、第一章第一章 计计 数数 原原 理理1.1 分类加法计数原理与分步乘法分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理第第1课时课时 分类加法计数原理与分步乘分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用法计数原理及其简单应用问问题题引引航航1.什么是分类加法计数原理与分步乘法计数什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？原理？2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理有分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？怎样的区别与联系？1.分类加法计数原理分类加法计数原理答答：m+n2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理答答：mn3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别分类加法计数原理与分
2、步乘法计数原理的联系与区别(1)联系：都是涉及做一件事的联系：都是涉及做一件事的_的种数问题的种数问题.(2)区别：分类加法计数原理针对的是区别：分类加法计数原理针对的是“_”问题，其问题，其中各种方法中各种方法_，用其中任何一种方法都可以做，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是完这件事；分步乘法计数原理针对的是“_”问题，问题，各个步骤中的方法各个步骤中的方法_，只有各个步骤都完成才，只有各个步骤都完成才算做完这件事算做完这件事.不同方法不同方法分类分类相互独立相互独立分步分步互相依存互相依存1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)在分类
3、加法计数原理中，两类不同方案在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事方法都能完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成后，这件事
4、情才算完成.()【解析解析】(1)错误错误.在分类加法计数原理中，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，即第两类不同方案中的方法互不相同，即第1类类方案中的方案中的m种方法和第种方法和第2类方案中的类方案中的n种方种方法没有相同的法没有相同的.(2)正确正确.在分类加法计数原理中，每类方案在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法都能完成这件事，否则就中的每一种方法都能完成这件事，否则就是分步了是分步了.(3)正确正确.在分步乘法计数原理中，每个步骤在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同，则可认中完成这个步骤的方法如果相同，则可认为是相同的步骤为是相同的步骤
5、.(4)正确正确.在分步乘法计数原理中，如果事情在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的是分两步完成的，则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事，否则就是分类了步骤都不能完成这件事，否则就是分类了.答案：答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)从从10名任课教师，名任课教师，54名同学中，选名同学中，选1人参加元旦文人参加元旦文艺演出，共有艺演出，共有_种不同的选法种不同的选法.(2)一个袋子里放有一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有个球，另一个袋子里放有8个球，个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一
6、个球，共有每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_种不同的取法种不同的取法.(3)从从3名女同学和名女同学和2名男同学中选名男同学中选1人主持本班的某次人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有主题班会，则不同的选法有_种种.【解析解析】(1)分类完成此事，一类是选教师，有分类完成此事，一类是选教师，有10种选法，另一类是选学生，有种选法，另一类是选学生，有54种选法，由分类种选法，由分类加法计数原理可知，共有加法计数原理可知，共有10+54=64种选法种选法.答案：答案：64(2)由分步乘法计数原理得不同取法的种数为由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848.答案：答案：48(3)分类
7、完成此事，如果选女生，有分类完成此事，如果选女生，有3种选法；种选法；如果选男生，有如果选男生，有2种选法种选法.由分类加法计数由分类加法计数原理可知，共有原理可知，共有3+2=5种选法种选法.答案：答案：5【要点探究要点探究】知识点知识点1 分类加法计数原理分类加法计数原理对分类加法计数原理的三点说明对分类加法计数原理的三点说明(1)核心：原理的核心是核心：原理的核心是“分类分类”，完成一件事要分为若，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成独立，并且用任何一类中任何一种
8、方法都可以单独完成这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类，其次一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类，其次还要注意分类不能重复，不能遗漏还要注意分类不能重复，不能遗漏.(2)目的：原理的目的是求解目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同完成一件事的不同方法数方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事一件什么事，如何完成这件事.(3)推广：原理可以推
9、广到推广：原理可以推广到n类不同的方案类不同的方案【微思考微思考】(1)分类加法计数原理的最主要的特点是什么？分类加法计数原理的最主要的特点是什么？提示：提示：最主要的特点是各类中的各种方法都可以最主要的特点是各类中的各种方法都可以单独完成一件事单独完成一件事.(2)使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？提示：提示：有时分类的划分标准有多个，但不论是以有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循哪一个为标准，都应遵循“标准明确，不重不漏标准明确，不重不漏”的原则的原则.【即时练即时练】从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某从甲地到乙
10、地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有法有()A.2种种 B.3种种 C.5种种 D.6种种【解析解析】选选C.从甲地到乙地有从甲地到乙地有2类办法类办法(坐飞机和坐火坐飞机和坐火车车)，坐飞机有，坐飞机有3种方法种方法(三次航班三次航班)，坐火车有，坐火车有2种方种方法法(两趟火车两趟火车)，所以结合分类加法计数原理，从甲地，所以结合分类加法计数原理，从甲地赶往乙地的方法有赶往乙地的方法有5种种.知识点知识点2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理1.使用分步乘法计数原理的三个关注点使用分步乘法计数原理的三个
11、关注点(1)明确题目中的明确题目中的“完成这件事完成这件事”是什么，确定完成这是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.(3)推广：推广：2.两个计数原理的区别两个计数原理的区别分类加法计
12、数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理区别区别一一每类办法都能独立完成每类办法都能独立完成这件事这件事.它是独立的、它是独立的、一次的且每次得到的是一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方最后结果，只需一种方法就完成法就完成任何一步都不能独立任何一步都不能独立完成这件事，缺少任完成这件事，缺少任何一步也不可，只有何一步也不可，只有各步骤都完成了才能各步骤都完成了才能完成这件事完成这件事区别区别二二各类办法之间是互斥的，各类办法之间是互斥的，并列的，独立的并列的，独立的各步之间是相互依存各步之间是相互依存的，并且既不能重复，的，并且既不能重复，也不能遗漏也不能遗漏【微思考微思考】
13、(1)选用分步乘法计数原理的依据是什么？选用分步乘法计数原理的依据是什么？提示：提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理事才完成，这时就采用分步乘法计数原理.(2)区分区分“完成一件事完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？是分类还是分步的关键是什么？提示：提示：区分区分“完成一件事完成一件事”是分类还是分步，关键是是分类还是分步，关键是看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，看一步能否完成这件事，若能完成，则是分
14、类，否则，就是分步就是分步.【即时练即时练】(2014郑州高二检测郑州高二检测)某乒乓球队里有男队员某乒乓球队里有男队员6人，人，女队员女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有合双打队，不同的组队方法有()A.11种种 B.30种种 C.56种种 D.65种种【解析解析】选选B.先选先选1男有男有6种方法，再选种方法，再选1女有女有5种种方法，故共有方法，故共有65=30种不同的组队方法种不同的组队方法.【题型示范题型示范】类型一类型一 应用分类加法计数原理计数应用分类加法计数原理计数【典例典例1】(1)若若x，yN*，且，且x+y
15、6，则有序自然数对，则有序自然数对(x，y)共有共有_个个.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为数字的两位数的个数为_.【解题探究解题探究】1.题题(1)中满足中满足x，yN*，且，且x+y6的的x，y各可以取哪几个数？各可以取哪几个数？2.题题(2)中要求个位数字大于十位数字，应用分类中要求个位数字大于十位数字，应用分类加法计数原理时应以哪个为主讨论？加法计数原理时应以哪个为主讨论？【探究提示探究提示】1.满足满足x，yN*，且，且x+y6的的x，y各各可以从可以从1，2，3，4，5中取数中取数.2.应用分类加法计数原理时可以以个位数
16、为主讨应用分类加法计数原理时可以以个位数为主讨论，也可以以十位数为主讨论论，也可以以十位数为主讨论.【自主解答自主解答】(1)将满足条件将满足条件x，yN*，且，且x+y6的的x的值的值进行分类：进行分类：当当x=1时，时，y可取的值为可取的值为5，4，3，2，1，共，共5个；个；当当x=2时，时，y可取的值为可取的值为4，3，2，1，共，共4个；个；当当x=3时，时，y可取的值为可取的值为3，2，1，共，共3个；个；当当x=4时，时，y可取的值为可取的值为2，1，共，共2个；个；当当x=5时，时，y可取的值为可取的值为1，共，共1个个.即当即当x=1，2，3，4，5时，时，y的值依次有的值依
17、次有5，4，3，2，1个，个，由分类加法计数原理得，不同的数对由分类加法计数原理得，不同的数对(x，y)共有共有5+4+3+2+1=15(个个).(2)方法一：根据题意，将十位上的数字按方法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成的情况分成8类，在每一类中满足题类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是目条件的两位数分别是8个，个，7个，个，6个，个，5个，个，4个，个，3个，个，2个，个，1个个.由分类加法计数原理知，符合条件由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).故共有故共有36个个.方法二：分析个位数
18、字，可分以下几类：方法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是个位是9，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，8中的一个，中的一个，故共有故共有8个；个；个位是个位是8，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，7中的一个，中的一个，故共有故共有7个；个；同理个位是同理个位是7的有的有6个；个；个位是个位是2的有的有1个个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).故共有故共有36个个.答案：答案：(1)15 (2)36【延伸探究延伸探究】本例本例(2)中条件不变，求个位数字小于中条件不变，求个位数字小于十位数字
19、且为偶数的两位数的个数十位数字且为偶数的两位数的个数.【解析解析】当个位数字是当个位数字是8时，十位数字取时，十位数字取9，只有，只有1个个.当个位数字是当个位数字是6时，十位数字可取时，十位数字可取7，8，9，共，共3个个.当当个位数字是个位数字是4时，十位数字可取时，十位数字可取5，6，7，8，9，共，共5个个.同理可知，当个位数字是同理可知，当个位数字是2时，共时，共7个，当个位数个，当个位数字是字是0时，共时，共9个个.由分类加法计数原理知，符合条件由分类加法计数原理知，符合条件的数共有的数共有1+3+5+7+9=25(个个).【方法技巧方法技巧】1.使用分类加法计数原理计数的两个条件
20、使用分类加法计数原理计数的两个条件(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类准，然后在这个标准下进行分类.(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程利用分类加法计数原理计数时的解题流程【变式训练变式训练】(2014安徽高考安徽高考)从正方体六个面的对角线从正方体六个面的对角
21、线中任取两条作为一对，其中所成的角为中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有的共有()A.24对对 B.30对对 C.48对对 D.60对对【解析解析】选选C.与正方体的一个面上的一条对角线成与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对角线有角的对角线有8条，故共有条，故共有8对，正方体的对，正方体的12条面对角线条面对角线共有共有96对，且每对均重复计算一次，故共有对，且每对均重复计算一次，故共有 =48对对.962【补偿训练补偿训练】有有A，B两种类型的车床各一台，现两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会
22、操作种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工种车床，现在要从三名工人中选人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方名分别去操作以上车床，不同的选派方法有法有()A.6种种 B.5种种 C.4种种 D.3种种【解析解析】选选C.若选甲、乙二人，包括甲操作若选甲、乙二人，包括甲操作A车车床，乙操作床，乙操作B车床，或甲操作车床，或甲操作B车床，乙操作车床，乙操作A车车床，共有床，共有2种选派方法；种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作车床，丙操作A车床这一种选派方法；车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙
23、操作车床，丙操作A车床这一种选派方法，故共有车床这一种选派方法，故共有2+1+14(种种)不同不同的选派方法的选派方法.类型二类型二 应用分步乘法计数原理计数应用分步乘法计数原理计数【典例典例2】(1)(2014淄博高二检测淄博高二检测)设集合设集合A中有中有3个元素，个元素，集合集合B中有中有2个元素，可建立个元素，可建立AB的映射的个数的映射的个数为为_.类型二类型二 应用分步乘法计数原理计数应用分步乘法计数原理计数【典例典例2】(2)已知集合已知集合M=-3，-2，-1，0，1，2，P(a，b)表示平面上的点表示平面上的点(a，bM)，问，问:P可表示平面上多少个不同的点？可表示平面上多
24、少个不同的点？P可表示平面上多少个第二象限的点？可表示平面上多少个第二象限的点？P可表示多少个不在直线可表示多少个不在直线y=x上的点？上的点？【解题探究解题探究】1.题题(1)中能建立中能建立AB的映射的关键的映射的关键是什么？是什么？2.题题(2)中平面上第二象限的点有什么特点？中平面上第二象限的点有什么特点？【探究提示探究提示】1.关键是关键是A中的每个元素在中的每个元素在B中都有中都有元素与之对应元素与之对应.2.平面上第二象限的点的横坐标小于平面上第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大，纵坐标大于于0.【自主解答自主解答】(1)建立映射，即对于建立映射，即对于A中的每一个元中的每一个元
25、素，在素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步乘法计中都有一个元素与之对应，故由分步乘法计数原理得映射有数原理得映射有222=8个个.答案：答案：8(2)确定平面上的点确定平面上的点P(a，b)可分两步完成可分两步完成:第一步确定第一步确定a的值，共有的值，共有6种确定方法；种确定方法；第二步确定第二步确定b的值，也有的值，也有6种确定方法种确定方法.根据分步乘法计数原理，得知根据分步乘法计数原理，得知P可表示平面上的点数可表示平面上的点数是是66=36.确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于由于a0，所以有，所以有3种确定方法；第二步确定
26、种确定方法；第二步确定b，由于，由于b0，所以有，所以有2种确定方法种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是32=6.点点P(a，b)在直线在直线y=x上的充要条件是上的充要条件是a=b.因此因此a和和b必须在集合必须在集合M中取同一元素，共有中取同一元素，共有6种取法，种取法，即在直线即在直线y=x上的点有上的点有6个个.结合得，不在直线结合得，不在直线y=x上的点共有上的点共有36-6=30(个个).【方法技巧方法技巧】1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点使用分步乘法计数原理计数的两个注意点一是要按照事件发生的过程合理分步，即
27、分步是一是要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；有先后顺序的；二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事个步骤都完成才算完成这件事.2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程利用分步乘法计数原理计数时的解题流程【变式训练变式训练】设集合设集合A=-1，0，1，集合，集合B=0，1，2，3，定义，定义A*B=(x，y)|xAB，yAB，则，则A*B中中元素个数是元素个数是()A.7 B.10 C.25 D.52【解析解析】选选B.AB=0，1，AB=-1，0，1，2，3，x有有2种取法，种取法，y有有5种取法种取法.
28、由分步乘法计数原理得由分步乘法计数原理得25=10，故选，故选B.【补偿训练补偿训练】如图所示，在如图所示，在A，B间有四个间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通不通.今发现今发现A，B之间线路不通，则焊接点之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有脱落的不同情况有_种种.【解析解析】每个焊接点都有脱落与不脱落两每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点个或多个焊接点脱落，问题比较复杂脱落，问题比较复杂.但电路通的情况却只但电路通的情况却只有有3种，即种，即2或或3脱落，其他不脱落或全不脱脱落，其他不脱落或
29、全不脱落落.因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有况，故共有2(2+2)2313种情况种情况.答案：答案：13类型三类型三 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【典例典例3】(1)高艳有高艳有4件不同颜色的衬衣、件不同颜色的衬衣、3件不同花件不同花样的裙子，另有样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙套不同样式的连衣裙.“五五一一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有则高艳不同的穿衣服的方式有()A.24种种 B.14种种 C.10种种 D.9种种(2)(2014兰州高二检测兰州高二检测)现有高
30、一四个班的学生现有高一四个班的学生34人，人，其中一、二、三、四班分别有其中一、二、三、四班分别有7人、人、8人、人、9人、人、10人，人，他们自愿组成数学课外小组他们自愿组成数学课外小组.选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？每班选一名组长，有多少种不同的选法？每班选一名组长，有多少种不同的选法？推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？【解题探究解题探究】1.题题(1)中穿衣服的种类有哪些？中穿衣服的种类有哪些？2.题题(2)的中各需要利用什么计数原理？的中各需要
31、利用什么计数原理？【探究提示探究提示】1.两类，一类是穿连衣裙，两类，一类是穿连衣裙，另一类是穿衬衣与裙子另一类是穿衬衣与裙子.2.中利用分类加法计数原理，中利用中利用分类加法计数原理，中利用分步乘法计数原理，中既利用分类加法分步乘法计数原理，中既利用分类加法计数原理，又利用分步乘法计数原理计数原理，又利用分步乘法计数原理.【自主解答自主解答】(1)选选B.其穿衣方式分两类，其穿衣方式分两类，第一类，不选连衣裙有第一类，不选连衣裙有43=12种方法，种方法，第二类，选连衣裙有第二类，选连衣裙有2种方法，种方法，由分类加法计数原理知，共有由分类加法计数原理知，共有12+2=14种方法种方法.(2
32、)分四类：第一类，从一班学生中选分四类：第一类，从一班学生中选1人，有人，有7种选法；种选法；第二类，从二班学生中选第二类，从二班学生中选1人，有人，有8种选法；第三类，从三种选法；第三类，从三班学生中选班学生中选1人，有人，有9种选法；第四类，从四班学生中选种选法；第四类，从四班学生中选1人，有人，有10种选法种选法.所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种种).分四步：第一、二、三、四步分别从一、分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长二、三、四班学生中选一人任组长.所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N=78910=5 040(
33、种种).分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，人，有有78种不同的选法；从一、三班学生中各选种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有人，有910种不同的选法种不同的选法.所以，共有不同的选法所以，共
34、有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种种).【方法技巧方法技巧】利用两个计数原理解题时的三个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便出示意图或树形图，使问
35、题的分析更直观、清楚，便于探索规律于探索规律.(3)混合问题一般是先分类再分步混合问题一般是先分类再分步.【变式训练变式训练】(1)(2013青岛高二检测青岛高二检测)已知一已知一个科技小组中有个科技小组中有4名女同学，名女同学，5名男同学，名男同学，若从中任选一名同学参加学科竞赛，则共若从中任选一名同学参加学科竞赛，则共有不同的选派方法多少种？有不同的选派方法多少种？若从中任选一名女同学和一名男同学参加若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，则共有不同的选派方法多少种？学科竞赛，则共有不同的选派方法多少种？【解析解析】由分类加法计数原理得，从由分类加法计数原理得，从4名女名女同学，同学
36、，5名男同学中任选一名同学参加学科竞名男同学中任选一名同学参加学科竞赛共赛共5+4=9(种种)方法方法.由分步乘法计数原理得由分步乘法计数原理得从从4名女同学，名女同学，5名男同学中任选一名女同学和名男同学中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共一名男同学参加学科竞赛共45=20(种种)方法方法.(2)某地政府召集某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业家企业的负责人开会，已知甲企业有有2人到会，其余人到会，其余4家企业各有家企业各有1人到会，会上有人到会，会上有3人发人发言，则这言，则这3人来自人来自3家不同企业的可能情况为多少种？家不同企业的可能情况为多少种？【解析解析】分两类：第一
37、类是甲企业有分两类：第一类是甲企业有1人发言，有人发言，有2种种情况，另情况，另2个发言人来自其余个发言人来自其余4家企业，有家企业，有6种情况，种情况，根据分步乘法计数原理可得共有根据分步乘法计数原理可得共有26=12(种种)情况；情况；另一类是另一类是3人全来自其余人全来自其余4家企业，共有家企业，共有4种情况种情况.根据根据分类加法计数原理可得共有分类加法计数原理可得共有12+4=16(种种)情况情况.【补偿训练补偿训练】某小组有某小组有10人，每人至少会人，每人至少会英语和法语中的一门，其中英语和法语中的一门，其中8人会英语，人会英语，5人会法语，人会法语，(1)从中任选一个会外语的人
38、，从中任选一个会外语的人，有多少种选法？有多少种选法？(2)从中选出会英语与会法从中选出会英语与会法语的各语的各1人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？【解析解析】由于由于8+5=1310，所以，所以10人中必有人中必有3人人既会英语又会法语，既会英语又会法语，5人只会英语，人只会英语，2人只会法语人只会法语.(1)可分类完成此事：一类是只会英语，一类是既可分类完成此事：一类是只会英语，一类是既会英语也会法语，一类是只会法语，共有会英语也会法语，一类是只会法语，共有5+3+2=10(种种).(2)分分4类，共有类，共有N=52+53+23+32=37(种种)方法方法.【易错误区易错误
39、区】分不清是分类还是分步而导致错误分不清是分类还是分步而导致错误【典例典例】体育场南侧有体育场南侧有4个大门，北侧有个大门，北侧有3个大门，个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有()A.12种种 B.7种种C.14种种 D.49种种【解析解析】选选D.要完成要完成进、出门这件事，需要分两步进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有第一步进门有4+3=7种方法，种方法，第二步出门也有第二步出门也有4+3=7种方法，种方法，由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知进、出门的方案有进、出门
40、的方案有77=49种种.【常见误区常见误区】错解错解 错错 因因 剖剖 析析 A 处把进、出门理解为一边进一边出处把进、出门理解为一边进一边出 C 处应该是分步而错认为是分类处应该是分步而错认为是分类【防范措施防范措施】明确明确“分类分类”与与“分步分步”“分类分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而独立完成所给事情，而“分步分步”必须是把各个步必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分分类类”或是或是“
41、分步分步”，如本例是，如本例是“分步分步”，而非，而非“分类分类”问题问题.【类题试解类题试解】(2014台州高二检测台州高二检测)给一些书编号，给一些书编号，准备用准备用3个字符，其中首字符用个字符，其中首字符用A，B，后两个字，后两个字符用符用a，b，c(允许重复允许重复)，则不同编号的书共有，则不同编号的书共有()A.8本本 B.9本本 C.12本本 D.18本本【解析解析】选选D.需分三步完成，第一步首字符有需分三步完成，第一步首字符有2种编法，第二步，第二个字符有种编法，第二步，第二个字符有3种编法，第三种编法，第三步，第三个字符有步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号共有原理知不同编号共有233=18种种.布置作业布置作业 课堂作业：课堂作业：家庭作业家庭作业：教学反思教学反思
